Trigonometrische Gleichungen lösen

Mithilfe der Kehrwert-Identität \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \) können wir die Gleichung umschreiben, um den Kosinus zu isolieren:

\[ \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Finden Sie den Referenzwinkel \( \theta_r \), indem Sie den Betrag nehmen: \( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \]

Da \( \cos(\theta) \) negativ ist, müssen die tatsächlichen Winkel im II. oder III. Quadranten liegen.

\[ \text{Quadrant II: } \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]

\[ \text{Quadrant III: } \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]

Allgemeine Lösungen: Addieren Sie \( 2n\pi \), um die periodische Natur des Kosinus zu berücksichtigen (wobei \(n\) eine ganze Zahl ist).

\[ \theta = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{und} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \]

Isolieren Sie die Sinusfunktion, indem Sie beide Seiten durch 2 dividieren:

\[ \sin(\theta) = -\dfrac{1}{2} \]

Der Referenzwinkel, bei dem der Sinus \( 1/2 \) ist, ist \( \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \). Da der Sinuswert negativ ist, müssen die Winkel im III. und IV. Quadranten liegen.

\[ \text{Quadrant III: } \theta_1 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]

\[ \text{Quadrant IV: } \theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \]

Allgemeine Lösungen:

\[ \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{und} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]

Ersetzen Sie zuerst das innere Argument durch eine temporäre Variable. Sei \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \). Isolieren Sie den Kosinus:

\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]

Der Referenzwinkel ist \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \). Der Kosinus ist im II. und III. Quadranten negativ. Finden Sie die Lösungen für \(\theta\):

\[ \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]

\[ \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]

Setzen Sie nun \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \) wieder für \(\theta\) ein und lösen Sie nach \(x\) auf.

Erste Gleichung:

\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]

\[ 3x = \dfrac{2\pi}{4} + 2n\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \]

\[ x_1 = \mathbf{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]

Zweite Gleichung:

\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]

\[ 3x = \dfrac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi \]

\[ x_2 = \mathbf{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]

Wenn eine Gleichung sowohl Sinus zum Quadrat als auch Kosinus enthält, verwenden Sie den pythagoreischen Identitätssatz \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \), um alles in Kosinus umzuwandeln.

\[ -2(1 - \cos^2 x) - \cos x = -1 \]

\[ -2 + 2\cos^2 x - \cos x = -1 \]

Bringen Sie alles auf eine Seite, um eine quadratische Standardgleichung (\(ax^2+bx+c=0\)) zu bilden:

\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]

Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung (behandeln Sie \(\cos x\) dabei wie eine Variable \(u\)):

\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]

Lösen Sie jeden Faktor unabhängig auf:

Fall 1: \( 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \)

\[ x = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi} \quad \text{und} \quad x = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi} \]

Fall 2: \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)

Der Kosinus ist bei 0 im Bogenmaß gleich 1.

\[ x = 0 + 2n\pi \Rightarrow \mathbf{x = 2n\pi} \]

Schritt 1: Wenden Sie die Doppelwinkel-Identität für den Sinus an: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]

Schritt 2: Klammern Sie den gemeinsamen Term \( \cos(x) \) aus.

\[ \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \]

Schritt 3: Setzen Sie jeden Faktor gleich Null und lösen Sie die Gleichung.

Faktor 1: \( \cos(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi} \)

Faktor 2: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\dfrac{1}{2} \)

\[ \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{und} \quad \mathbf{x = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]

Schritt 1: Verwenden Sie die Identität \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \), um alles als Sekans auszudrücken.

\[ (\sec^2(x) - 1) - \sec(x) = 1 \]

Schritt 2: Formen Sie zu einer quadratischen Gleichung um und setzen Sie sie gleich Null.

\[ \sec^2(x) - \sec(x) - 2 = 0 \]

Schritt 3: Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung.

\[ (\sec(x) - 2)(\sec(x) + 1) = 0 \]

Schritt 4: Lösen Sie nach dem Kosinus auf, indem Sie die Kehrwert-Identitäten verwenden.

Faktor 1: \( \sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 2n\pi} \)

Faktor 2: \( \sec(x) = -1 \Rightarrow \cos(x) = -1 \Rightarrow \mathbf{x = \pi + 2n\pi} \)

Schritt 1: Quadrieren Sie beide Seiten der Gleichung. Warnung: Das Quadrieren kann Scheinlösungen (Fremdlösungen) einführen, daher müssen Sie Ihre Endergebnisse überprüfen.

\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 1^2 \]

\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]

Schritt 2: Verwenden Sie die Identitäten \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) und \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \).

\[ 1 - \sin(2x) = 1 \]

\[ \sin(2x) = 0 \]

Schritt 3: Lösen Sie nach \( 2x \) auf. Der Sinus ist bei ganzzahligen Vielfachen von \( \pi \) gleich Null.

\[ 2x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n\pi}{2} \]

Im Intervall \( [0, 2\pi) \) sind die möglichen Winkel \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \).

Schritt 4: Überprüfen Sie auf Scheinlösungen in der ursprünglichen Gleichung \( \sin(x) - \cos(x) = 1 \).

• \( x = 0 \): \( 0 - 1 = -1 \neq 1 \) (Verwerfen)
• \( x = \pi/2 \): \( 1 - 0 = 1 \) (Gültig)
• \( x = \pi \): \( 0 - (-1) = 1 \) (Gültig)
• \( x = 3\pi/2 \): \( -1 - 0 = -1 \neq 1 \) (Verwerfen)

Antwort: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}} \) und \( \mathbf{x = \pi} \)