Trigonometrische Gleichungen lösen

Wie löst man trigonometrische Gleichungen? Fragen werden zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1

Finden Sie alle Lösungen der trigonometrischen Gleichung √ 3 sec(θ) + 2 = 0
Lösung:
Unter Verwendung der Identität sec(θ) = 1 / cos(θ) schreiben wir die Gleichung in der Form um
cos(θ) = - √3 / 2
Finden Sie den Referenzwinkel θr, indem Sie die obige Gleichung ohne das Minuszeichen lösen:
cos(θr) = √3 / 2     wobei θr akut und gleich dem Referenzwinkel ist.
dessen Lösung gegeben ist durch
θr = π/6
Verwenden Sie den Referenzwinkel θr, um die Lösungen θ1 und θ2 im Intervall [0 , 2π) der gegebenen Gleichung zu bestimmen. Die Gleichung cos(θ) = - √3 / 2 legt nahe, dass cos(θ) negativ ist, und das bedeutet, dass die Endseite des Winkels θ Lösung der gegebenen Gleichung entweder in den Quadranten II oder III liegt, wie unten im Einheitskreis dargestellt.

graphical solution of cos(x) = 1/2


Daher sind die Lösungen im Intervall [0 , 2π):
θ1 = π - θr = π - π/6 = 5π/6
θ2 = π + θr = π + π/6 = 7π/6

Verwenden Sie die Lösungen im Intervall [0 , 2π) und fügen Sie Vielfache von 2π hinzu, um alle Lösungen wie folgt zu finden:
θ1 = 5π/6 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
θ2 = 7π/6 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...

Im Folgenden sind die grafischen Lösungen im Intervall [0 , 2π) dargestellt.

graphical solution of cos(x) = 1/2.


Beispiel 2

Lösen Sie die trigonometrische Gleichung 2 sin(θ) = -1
Lösung:

Schreiben Sie die obige Gleichung in einfacher Form um, wie unten gezeigt.
sin(θ) = -1/2

Finden Sie den Referenzwinkel θr, indem Sie die Gleichung ohne das Minuszeichen lösen:
sin(θ) = 1/2
θ ist akut und gleich
θr = π/6

Verwenden Sie den Referenzwinkel θr, um die Lösungen θ1 und θ2 im Intervall [0 , 2π) der gegebenen Gleichung zu bestimmen. Die Gleichung sin(θ) = - 1 / 2 legt nahe, dass sin(θ) negativ ist, und das bedeutet, dass die Endseite des Winkels θ entweder in den Quadranten III oder VI liegt, wie im Einheitskreis unten gezeigt.

graphical solution of sin(x) = - 1/2


Daher die Lösungen:
θ1 = π + θr = 7π/6
θ2 = 2π - θr = 11π/6

Verwenden Sie die Lösungen im Intervall [0 , 2π) und fügen Sie Vielfache von 2π hinzu, um alle Lösungen wie folgt zu finden:
θ1 = 7π/6 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
θ2 = 11π/6 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...

graphical solution of cos(x) = 1/2.


Beispiel 3

Lösen Sie die trigonometrische Gleichung √2 cos(3x + π/4) = - 1

Lösung:
Setzen Sie θ = 3x + π/4 und schreiben Sie die Gleichung in einfacher Form um.
√2 cos(θ) = - 1
cos(θ) = -1/√2

Finden Sie den Referenzwinkel θr, indem Sie cos(θ) = 1/√2 für θr akut lösen.
θr = π/4

Verwenden Sie den Referenzwinkel θr, um die Lösungen θ1 und θ2 im Intervall [0 , 2π) der gegebenen Gleichung zu bestimmen. Die Gleichung cos(θ) = - 1/√2 legt nahe, dass cos(θ) negativ ist, und das bedeutet, dass die Endseite des Winkels θ entweder in den Quadranten II oder III liegt. Daher sind die beiden Lösungen der Gleichung cos(θ) = - 1/√2 im Intervall [0 , 2π) gegeben durch
θ1 = π - θr = 3π/4
θ2 = π + θr = 5π/4

Wir schreiben nun die allgemeinen Lösungen, indem wir Vielfache von 2π hinzufügen, wie folgt:
θ1 = 3π/4 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
θ2 = 5π/4 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...

Wir setzen nun θ1 und θ2 durch den Ausdruck 3x + π/4 ein
3x + π/4 = 3π/4 + 2nπ
3x + π/4 = 5π/4 + 2nπ

und lösen nach x, um die Lösungen für x zu erhalten.
x = π/6 + 2nπ/3 , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
x = π/3 + 2nπ/3 , n = 0, ± 1 , ± 2, ...


Beispiel 4

Lösen Sie die trigonometrische Gleichung - 2 sin 2x - cos x = - 1

Lösung:
Die obige Gleichung kann faktorisiert werden, wenn alle trigonometrischen Funktionen in dieser Gleichung dieselben sind. Daher können wir unter Verwendung der Identität sin 2x = 1 - cos 2x die obige Gleichung mit derselben trigonometrischen Funktion cos x wie folgt umschreiben:
- 2 (1 - cos 2x) - cos x = - 1

Vereinfachen und umschreiben als
2 cos 2x - cos x - 1 = 0

Faktorisieren Sie die linke Seite
(2 cos x + 1)(cos x - 1) = 0

Daher die beiden Gleichungen zu lösen
(1) 2 cos x + 1 = 0 und (2) cos x - 1 = 0

Lösen Sie Gleichung (1) unter Verwendung des Referenzwinkels, wie in den obigen Beispielen durchgeführt wurde.
cos x = -1/2
x1 = 2π/3 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...
x2 = 4π/3 + 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...

Lösen Sie Gleichung (2)
cos x = 1
x3 = 2nπ , n = 0, ± 1 , ± 2, ...


Weitere Referenzen und Links