Sektoren und Kreise Trigonometrieprobleme werden zusammen mit ihren detaillierten Lösungen präsentiert.
Bei der Lösung der folgenden Probleme werden wir die Definition der trigonometrischen Funktionen des Winkels θ in Bezug auf die Koordinaten des Punktes P(x, y) verwenden, der auf der Endseite eines Winkels θ liegt.
cos(θ) = x / R tan(θ) = y / x sec(θ) = R / x
sin(θ) = y / R cot(θ) = x / y CSC(θ) = R / y
R = √(x2 + y2)
Wir werden auch die Beziehung zwischen der Bogenlänge S, dem Radius R und dem zentralen Winkel θ eines
Sektors verwenden: S = R θ (θ in RADIANS)
.
Wenn die Koordinaten des Punktes A im untenstehenden Kreis (8, 0) sind und der Bogen s eine Länge von 20 Einheiten hat, finden Sie die Koordinaten des Punktes P im folgenden Diagramm.
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Lösung
Der Radius R des gegebenen Kreises beträgt 8. Zuerst verwenden wir die Formel für den Bogen s in Bezug auf den Radius R und den Winkel θ, um θ in Radianten zu finden.
s = R θ
2 0 = 8 θ
θ = 20 / 8 = 2.5 Radianten
Wir verwenden nun die Definitionen von Sinus und Kosinus, um die Koordinaten x und y von P zu finden.
cos(θ) = x / R und sin(θ) = y / R
cos(θ) = x / R gibt x = R cos(θ) = 8 cos(2.5) = -6.40
sin(θ) = y / R gibt y = R sin(θ) = 8 sin(2.5) = 4.79
Der Punkt P hat die Koordinaten (-6.40 , 4.79).
In einem kartesischen Koordinatensystem durchläuft ein Kreis mit seinem Zentrum am Ursprung den Punkt (4√2 , 5√2).
Was ist die Länge des Bogens S?
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Lösung
Wir verwenden die Definition für Tangens, um den Winkel θ zu finden.
tan(θ) = y / x = 5√2 / 4√2 = 5 / 4
θ = arctan(5 / 4)
Verwenden Sie die Formel für s in Bezug auf θ und den Radius R.
S = R θ = √ (4√2)2 + (5√2)2 arctan(5 / 4) ≈ 8.11
Die Länge des Minutenzeigers einer Uhr beträgt 4,5 cm. Finden Sie die Länge des vom Ende des Minutenzeigers zwischen 23:10 Uhr und 23:50 Uhr zurückgelegten Bogens.
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Lösung
Von 23:10 bis 23:50 gibt es
23:50 - 23:10 = 40 Minuten
Eine vollständige Drehung des Minutenzeigers entspricht 60 Minuten und einem Winkel von 360°. Daher können wir schreiben, dass es
360 ° / 60 Minuten = 6 ° / Minuten gibt
Wenn θ der zentrale Winkel ist, der dem vom Minutenzeiger zurückgelegten Bogen entspricht, wird er durch
θ = (6 °/ Minute) × 40 Minuten = 240 °
Der zurückgelegte Bogen S ist dann gegeben durch
S = R θ , (θ in Radianten).
S = R θ = 4,5 cm 240 × π / 180 = 6π
Die Punkte P(a , b), Q(5 , 0) und M(c , -1) liegen auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt O(0 , 0) und einem Radius R von 5 Einheiten, wie unten gezeigt. Berechnen Sie:
a) Die Koordinaten (a,b) des Punktes P.
b) Die Bogenlänge zwischen Q und P im gegen den Uhrzeigersinn.
c) Die x-Koordinate c des Punktes M.
d) Den Winkel θ.
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Lösung
a) Punkt P ist die Endseite eines Winkels im Standardposition mit der Größe von 35°. Daher
a = R cos (35°) = 5 cos (35°) und b = R sin(35°) = 5 sin (35°)
b) Der zentrale Winkel QOP ist bekannt, daher ist die Länge des Bogens PQ gegeben durch
Bogen PQ = r×35 × π / 180 = 5×35 × π / 180 ≈ 3.05 Einheiten
c) Punkt C liegt auf dem Kreis, daher ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises (0,0) zu Punkt C gleich dem Radius.
√ (c - 0)2 + (-1 - 0)2 = 5
Beide Seiten der obigen Gleichung quadrieren und nach c auflösen.
(c - 0)2 + (-1 - 0)2 = 25
c = ± √ 24 = ± 2√ 6
Punkt M liegt im dritten Quadranten und daher ist c negativ. Daher hat Punkt M die Koordinaten
M(- 2√ 6, -1)
d) Punkt M liegt auf der Endseite des Winkels θ+35°. Daher unter Verwendung der Definition des Tangens eines Winkels im Standardposition in Bezug auf die Koordinaten eines Punktes auf der Endseite haben wir
tan(θ + 35 °) = 1 / 2√ 6
Punkt M liegt im dritten Quadranten, daher ist θ + 35 ° größer als 180° und daher
θ + 35 ° = 180 + arctan(1 / 2√ 6)
θ = 180 + arctan(1 / 2√ 6) - 35 ° = 156.54°
Ein Kreis mit Radius R = 4 Einheiten und Zentrum O ist unten dargestellt.
a) Finden Sie die Länge des Bogens zwischen D und P.
b) Finden Sie die Koordinaten (a,b) von P.
c) Finden Sie die Länge des Segments PD.
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Lösung
a) Der zentrale Winkel DOP ist bekannt, daher ist die Länge des Bogens DP gegeben durch (vergessen Sie nicht, Grad in Radian umzuwandeln)
Bogen PQ = R 130 π / 180 = 4 × 130 π / 180 ≈ 9.08 Einheiten
b) Punkt P liegt auf der Endseite eines Winkels im Standardposition. Daher lauten die Koordinaten:
a = R cos(130°) = 4 cos(130°) und b = R sin(130°) = 4 sin(130°)
c) Verwenden Sie die Abstandformel zwischen den beiden Punkten P und D, um die Länge des Liniensegments PD zu finden.
PD = √ (a - 4)2 + (b - 0)2
= √ (4 cos(130°) - 4)2 + (4 sin(130°) - 0)2 ≈ 7.25
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Lösung
Zuerst müssen wir die Größe θ des zentralen Winkels AOB finden.
S = R θ
θ = S / R = 12.5 / 3 Radiant
Jetzt berechnen wir die Koordinaten a und b des Punktes B.
a = R cosθ = 3 cos(12.5 / 3)
b = R cosθ = 3 sin(12.5 / 3)
Der Punkt P hat die Koordinaten (4,1 , b) und befindet sich auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius R = 5 im ersten Quadranten. Finden Sie die Länge des Bogens S.
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Lösung
Zuerst müssen wir die Größe θ des zentralen Winkels DOP mithilfe der x-Koordinate des Punktes P und des Radius berechnen.
4,1 = 5 cos(θ)
cos(θ) = 4,1 / 5
θ = arccos(4,1 / 5)
Wir berechnen den Bogen S.
S = R θ = 5 arccos(4,1 / 5)
Sektoren- und Kreisprobleme
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