Mathematik Klasse 12 meistern: Kreis- & Trigonometrie-Aufgaben

Schritt 1: Bestimmung des Radius.
Punkt A liegt auf der x-Achse bei \( (8,0) \). Da der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung \( (0,0) \) liegt, entspricht die Distanz vom Ursprung zu Punkt A genau dem Radius. Daher gilt \( R = 8 \).

Schritt 2: Bestimmung des Zentriwinkels \( \theta \).
Wir verwenden die Bogenlängenformel \( s = R \theta \). Wir haben \( s = 20 \) und \( R = 8 \). Setzen Sie diese Werte ein, um nach \( \theta \) im Bogenmaß aufzulösen:

\[ 20 = 8 \theta \implies \theta = \dfrac{20}{8} = 2,5 \text{ Radiant} \]

Schritt 3: Berechnung der Koordinaten von P.
Verwenden Sie die Standardformeln für Kreiskoordinaten \( x = R \cos(\theta) \) und \( y = R \sin(\theta) \). Stellen Sie sicher, dass Ihr Taschenrechner auf Bogenmaß (Radian) eingestellt ist!

\[ x = 8 \cos(2,5) \approx 8(-0,8011) \approx -6,40 \] \[ y = 8 \sin(2,5) \approx 8(0,5984) \approx 4,79 \]

Ergebnis:
Die Koordinaten von Punkt \( P \) sind ungefähr \( (-6,40; 4,79) \). (Dies ist logisch, da der Punkt im zweiten Quadranten liegt, wo x negativ und y positiv ist).

Schritt 1: Bestimmung des Radius \( R \).
Der Radius ist der Abstand vom Ursprung \( (0,0) \) zum Punkt P. Wir verwenden den Satz des Pythagoras:

\[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} \] \[ R = \sqrt{(16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)} = \sqrt{32 + 50} = \sqrt{82} \]

Schritt 2: Bestimmung des Zentriwinkels \( \theta \).
Wir verwenden die Tangens-Definition für den Winkel. Da sowohl x als auch y positiv sind, liegt der Punkt im I. Quadranten.

\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \dfrac{5}{4} = 1,25 \] \[ \theta = \arctan(1,25) \approx 0,8960 \text{ Radiant} \]

Schritt 3: Berechnung der Bogenlänge \( S \).
Unter Verwendung der Formel \( S = R\theta \):

\[ S = \sqrt{82} \cdot \arctan(1,25) \approx 9,055 \cdot 0,8960 \approx 8,11 \text{ Einheiten} \]

Schritt 1: Bestimmung der vergangenen Zeit.
Von 23:10 Uhr bis 23:50 Uhr sind genau 40 Minuten vergangen.

Schritt 2: Bestimmung der Winkeländerung.
Eine Uhr bildet einen Vollkreis (\( 360^\circ \) oder \( 2\pi \) Radiant), was 60 Minuten Zeit entspricht. Wir müssen den Bruchteil des Kreises berechnen, den der Minutenzeiger zurückgelegt hat.

\[ \text{Anteil des Kreises} = \dfrac{40 \text{ Min}}{60 \text{ Min}} = \dfrac{2}{3} \text{ einer vollen Umdrehung} \]

Konvertieren Sie diesen Anteil in Radiant. Eine volle Umdrehung entspricht \( 2\pi \):

\[ \theta = \dfrac{2}{3} \times 2\pi = \dfrac{4\pi}{3} \text{ Radiant} \]

Schritt 3: Berechnung der Bogenlänge.
Der Radius \( R \) entspricht der Länge des Minutenzeigers (4,5 cm). Anwendung der Formel \( S = R \theta \):

\[ S = 4,5 \times \left( \dfrac{4\pi}{3} \right) = \dfrac{18\pi}{3} = \mathbf{6\pi \text{ cm}} \]

a) Koordinaten von P:
Mit Radius \( R = 5 \) und Winkel \( 35^\circ \):

\[ a = 5 \cos(35^\circ) \approx 4,096 \] \[ b = 5 \sin(35^\circ) \approx 2,868 \] \[ P(4,096; 2,868) \]

b) Bogenlänge PQ:
Umwandlung in Radiant: \( \theta = 35^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{7\pi}{36} \).

\[ \text{Bogen } PQ = R\theta = 5 \cdot \left(\dfrac{7\pi}{36}\right) = \dfrac{35\pi}{36} \approx 3,05 \text{ Einheiten} \]

c) x-Koordinate von M:
Da M auf dem Kreis liegt, gilt \( c^2 + (-1)^2 = 5^2 \).

\[ c^2 + 1 = 25 \implies c^2 = 24 \implies c = \pm \sqrt{24} \]

Punkt M liegt im III. Quadranten (x negativ):

\[ c = -2\sqrt{6} \approx -4,899 \]

d) Winkel \( \theta \) für M:
Sei \( \alpha \) der Gesamtwinkel. Laut Skizze: \( \alpha = \theta + 35^\circ \). Berechnung von \( \alpha \) über den Punkt M:

\[ \tan(\alpha) = \dfrac{-1}{-2\sqrt{6}} \implies \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\dfrac{1}{2\sqrt{6}}\right) \approx 191,54^\circ \]

Abzug des Offsets von \( 35^\circ \):

\[ \theta = 191,54^\circ - 35^\circ = \mathbf{156,54^\circ} \]

a) Bogenlänge DP:
Umrechnung in Radiant: \( \theta = 130^\circ \times (\dfrac{\pi}{180^\circ}) = \dfrac{13\pi}{18} \).

\[ \text{Bogen } DP = 4 \cdot \dfrac{13\pi}{18} = \dfrac{26\pi}{9} \approx 9,08 \]

b) Koordinaten von P:
Mit \( R = 4 \):

\[ a = 4 \cos(130^\circ) \approx -2,57 \] \[ b = 4 \sin(130^\circ) \approx 3,06 \]

c) Länge PD:
Punkt D liegt bei \( (4,0) \). Mit der Abstandsformel:

\[ PD = \sqrt{(4 \cos(130^\circ) - 4)^2 + (4 \sin(130^\circ))^2} \approx \mathbf{7,25} \]

Schritt 1: Winkel \( \theta \) in Radiant.
\[ \theta = \dfrac{S}{R} = \dfrac{12,5}{3} \approx 4,167 \text{ Radiant} \]

Schritt 2: Koordinaten berechnen.
\[ a = 3 \cos(4,167) \approx -1,57 \] \[ b = 3 \sin(4,167) \approx -2,56 \] Koordinaten von B: \( (-1,57; -2,56) \).

Schritt 1: Winkel \( \theta \).
\[ \cos(\theta) = \dfrac{4,1}{5} = 0,82 \implies \theta = \arccos(0,82) \approx 0,6094 \text{ Radiant} \]

Schritt 2: Bogenlänge.
\[ S = R \theta = 5 \cdot 0,6094 \approx \mathbf{3,05 \text{ Einheiten}} \]

Schritt 1: Aufstellen der Gleichungen.
Der Umfang eines Sektors besteht aus zwei Radien und der Bogenlänge \( S \). Daher gilt \( P = 2R + S \). Da \( S = R\theta \), können wir die Umfangsgleichung wie folgt schreiben:

\[ 100 = 2R + R\theta \]

Die Fläche eines Sektors ist gegeben durch \( A = \dfrac{1}{2}R^2\theta \).

Schritt 2: Ausdrücken der Fläche durch eine Variable.
Lösen Sie die Umfangsgleichung nach \( \theta \) auf:

\[ R\theta = 100 - 2R \implies \theta = \dfrac{100 - 2R}{R} \]

Setzen Sie dieses \( \theta \) in die Flächengleichung ein, um eine Funktion zu erstellen, die nur von \( R \) abhängt:

\[ A(R) = \dfrac{1}{2}R^2 \left( \dfrac{100 - 2R}{R} \right) = \dfrac{1}{2}R(100 - 2R) = 50R - R^2 \]

Schritt 3: Maximierung der Flächenfunktion.
Die Flächengleichung \( A(R) = -R^2 + 50R \) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das Maximum liegt im Scheitelpunkt. Unter Verwendung der Scheitelpunktformel \( R = \dfrac{-b}{2a} \):

\[ R = \dfrac{-50}{2(-1)} = 25 \text{ cm} \]

(Alternativ: Bilden Sie die Ableitung: \( A'(R) = 50 - 2R = 0 \implies R = 25 \)).

Schritt 4: Bestimmung des zugehörigen Winkels \( \theta \).
Setzen Sie \( R = 25 \) zurück in unsere Gleichung für \( \theta \) ein:

\[ \theta = \dfrac{100 - 2(25)}{25} = \dfrac{50}{25} = \mathbf{2 \text{ Radiant}} \]

Bemerkenswerterweise wird die Fläche eines Sektors bei jedem festen Umfang immer dann maximiert, wenn der Zentriwinkel exakt 2 Radiant beträgt!

Schritt 1: Bestimmung der Länge der geraden Abschnitte.
Zeichnen Sie eine Linie parallel zum geraden Riemenabschnitt durch den Mittelpunkt des kleineren Kreises. Dies erzeugt ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse, die dem Abstand zwischen den Mittelpunkten entspricht (\( d = 13 \)), und einer Kathete, die der Differenz der Radien entspricht (\( r_2 - r_1 = 8 - 3 = 5 \)).
Sei \( L \) die Länge eines geraden Riemenabschnitts. Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras:

\[ L^2 + 5^2 = 13^2 \implies L^2 + 25 = 169 \implies L^2 = 144 \implies L = 12 \text{ cm} \]

Da es zwei gerade Abschnitte gibt (oben und unten), beträgt ihre Gesamtlänge \( 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \).

Schritt 2: Bestimmung des Zentriwinkels der Berührungspunkte.
Sei \( \alpha \) der Winkel im rechtwinkligen Dreieck, der an die Mittelpunkte angrenzt.
\( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{5}{13} \). Somit ist \( \alpha = \arccos(\dfrac{5}{13}) \approx 1.176 \text{ Radiant} \).

Schritt 3: Berechnung der Bogenlängen um die Riemenscheiben.
Durch geometrische Herleitung ergibt sich, dass der Winkel, an dem der Riemen die kleinere Scheibe berührt, \( 2\alpha \) beträgt.
Bogen an der kleinen Scheibe: \( S_1 = r_1(2\alpha) = 3(2 \times 1.176) = 3(2.352) = 7.056 \text{ cm} \).

Der Winkel, an dem der Riemen die größere Scheibe berührt, ist der Hauptbogen, welcher \( 2\pi - 2\alpha \) entspricht.
Hauptwinkel: \( 2\pi - 2.352 \approx 6.283 - 2.352 = 3.931 \text{ Radiant} \).
Bogen an der großen Scheibe: \( S_2 = r_2(3.931) = 8(3.931) = 31.448 \text{ cm} \).

Schritt 4: Summieren der Teile.
Gesamtlänge = Gerade Abschnitte + Kleiner Bogen + Großer Bogen
\[ \text{Gesamtlänge} \approx 24 + 7.056 + 31.448 = \mathbf{62.5 \text{ cm}} \]

Schritt 1: Bestimmung der Schnittpunkte.
Setzen Sie die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein:

\[ x^2 + (2x + 5)^2 = 25 \] \[ x^2 + (4x^2 + 20x + 25) = 25 \] \[ 5x^2 + 20x = 0 \]

Klammern Sie \( 5x \) aus:

\[ 5x(x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ oder } x = -4 \]

Bestimmen Sie die zugehörigen y-Werte mithilfe von \( y = 2x+5 \):
Wenn \( x = 0, y = 5 \). Punkt 1: \( (0, 5) \).
Wenn \( x = -4, y = -3 \). Punkt 2: \( (-4, -3) \).

Schritt 2: Bestimmung des Zentriwinkels zwischen diesen Punkten.
Seien die Vektoren \( \vec{A} = (0, 5) \) und \( \vec{B} = (-4, -3) \). Wir können den Winkel \( \theta \) zwischen ihnen mithilfe der Formel für das Skalarprodukt finden: \( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta) \).

Skalarprodukt: \( (0)(-4) + (5)(-3) = -15 \)
Beträge (beide entsprechen dem Radius): \( |\vec{A}| = 5 \), \( |\vec{B}| = 5 \).

\[ -15 = (5)(5) \cos(\theta) \implies \cos(\theta) = \dfrac{-15}{25} = -\dfrac{3}{5} \] \[ \theta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 2,214 \text{ Radiant} \]

Schritt 3: Berechnung der Bogenlänge.
Wir wissen, dass der Radius \( R = 5 \) beträgt. Mit \( S = R\theta \):

\[ S = 5 \cdot \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right) \approx 5 \cdot 2,214 \approx \mathbf{11,07 \text{ Einheiten}} \]