Aufgaben zu komplexen Zahlen mit Lösungen - Klasse 12

a) \( (3 + 2i) - (8 - 5i) \)

Verteilen Sie das negative Vorzeichen und fassen Sie die Real- und Imaginärteile zusammen:

\[ = 3 + 2i - 8 + 5i \]

\[ = (3 - 8) + (2 + 5)i = \mathbf{-5 + 7i} \]

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b) \( (4 - 2i)(1 - 5i) \)

Multiplizieren Sie die Binome aus, und denken Sie daran, dass \( i^2 = -1 \) ist:

\[ = 4(1) + 4(-5i) - 2i(1) - 2i(-5i) \]

\[ = 4 - 20i - 2i + 10i^2 \]

\[ = 4 - 22i + 10(-1) \]

\[ = (4 - 10) - 22i = \mathbf{-6 - 22i} \]

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c) \( \dfrac{-2 - 4i}{i} \)

Um die imaginäre Einheit aus dem Nenner zu entfernen, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( -i \) (dem Konjugierten von \( i \)):

\[ = \dfrac{(-2 - 4i)(-i)}{(i)(-i)} = \dfrac{2i + 4i^2}{-i^2} \]

Setzen Sie \( i^2 = -1 \) ein:

\[ = \dfrac{2i + 4(-1)}{-(-1)} = \dfrac{-4 + 2i}{1} = \mathbf{-4 + 2i} \]

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d) \( \dfrac{-3 + 2i}{3 - 6i} \)

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem komplex Konjugierten des Nenners, was \( 3 + 6i \) ist:

\[ = \dfrac{(-3 + 2i)(3 + 6i)}{(3 - 6i)(3 + 6i)} \]

Erweitern Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner:

Zähler: \( -9 - 18i + 6i + 12i^2 = -9 - 12i - 12 = -21 - 12i \)

Nenner: \( 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45 \)

Teilen Sie beide Terme durch 45 und vereinfachen Sie die Brüche:

\[ = \dfrac{-21 - 12i}{45} = \dfrac{-21}{45} - \dfrac{12}{45}i = \mathbf{-\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15}i} \]

Zuerst isolieren wir die komplexe Zahl \( x + yi \), indem wir beide Seiten der gegebenen Gleichung mit \( i \) multiplizieren:

\[ \dfrac{x + yi}{i} \cdot i = (7 + 9i) \cdot i \]

\[ x + yi = 7i + 9i^2 \]

Setzen Sie \( i^2 = -1 \) ein und schreiben Sie es in Standardform:

\[ x + yi = -9 + 7i \]

Der Ausdruck, den wir auswerten müssen, ist \( (x + yi)(x - yi) \). Beachten Sie, dass \( (x - yi) \) einfach die komplex konjugierte Zahl zu \( (x + yi) \) ist. Daher:

\[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) \]

Dies entspricht der 3. binomischen Formel (Differenz von Quadraten): \( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \). Unter Anwendung dieser Regel:

\[ = (-9)^2 + (7)^2 = 81 + 49 = \mathbf{130} \]

Sei die unbekannte komplexe Zahl \( z = a + bi \), wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind. Ihre komplex konjugierte Zahl ist daher \( z' = a - bi \).

Setzen Sie \( z \) und \( z' \) in die gegebene Gleichung ein:

\[ (a + bi) + 3(a - bi) = 5 - 6i \]

Erweitern und gruppieren Sie die reellen und imaginären Terme auf der linken Seite:

\[ a + bi + 3a - 3bi = 5 - 6i \]

\[ (a + 3a) + (b - 3b)i = 5 - 6i \]

\[ 4a - 2bi = 5 - 6i \]

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre entsprechenden Real- und Imaginärteile strikt gleich sind. Indem wir die Teile gleichsetzen, bilden wir ein System aus zwei einfachen linearen Gleichungen:

Realteile: \( 4a = 5 \implies a = \dfrac{5}{4} \)

Imaginärteile: \( -2b = -6 \implies b = 3 \)

Schließlich setzen Sie \( a \) und \( b \) wieder in unsere ursprüngliche Definition von \( z \) ein:

\[ \mathbf{z = \dfrac{5}{4} + 3i} \]

Sei \( z = a + bi \), was bedeutet, dass die Konjugierte \( z' = a - bi \) ist.

Das Produkt einer komplexen Zahl und ihrer Konjugierten ergibt immer die Summe der Quadrate ihrer Komponenten:

\[ z z' = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \]

Es ist gegeben, dass \( zz' = 25 \), also lautet unsere erste Gleichung:

\[ a^2 + b^2 = 25 \]

Wir haben auch die lineare Gleichung \( a + b = 7 \) gegeben. Wir können dieses System durch Einsetzen lösen. Isolieren Sie \( b \) in der linearen Gleichung:

\[ b = 7 - a \]

Setzen Sie diesen Ausdruck für \( b \) in die quadratische Gleichung ein:

\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]

Erweitern Sie das Binom:

\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]

Fassen Sie ähnliche Terme zu einer quadratischen Standardgleichung zusammen (\( Ax^2 + Bx + C = 0 \)):

\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]

Teilen Sie die gesamte Gleichung zur Vereinfachung durch 2:

\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]

Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung:

\[ (a - 4)(a - 3) = 0 \]

Dies liefert zwei mögliche Werte für \( a \). Wir verwenden \( b = 7 - a \), um die entsprechenden Werte für \( b \) zu finden:

• Wenn \( a = 4 \), dann ist \( b = 7 - 4 = 3 \). Dies ergibt die komplexe Zahl \( z_1 = 4 + 3i \).
• Wenn \( a = 3 \), dann ist \( b = 7 - 3 = 4 \). Dies ergibt die komplexe Zahl \( z_2 = 3 + 4i \).

Die komplexen Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen, lauten daher:

\[ \mathbf{z = 4 + 3i \quad \text{und} \quad z = 3 + 4i} \]

Methode 1: Direktes Einsetzen (wie unten gezeigt)

a) Da \( x = 2 + 4i \) eine Wurzel ist, muss das Einsetzen in die Gleichung null ergeben:

\[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \]

Multiplizieren Sie das quadrierte Binom aus und verteilen Sie das \( b \):

\[ (4 + 16i + 16i^2) + 2b + 4bi + c = 0 \]

Setzen Sie \( i^2 = -1 \) ein und vereinfachen Sie:

\[ 4 + 16i - 16 + 2b + 4bi + c = 0 \]

\[ -12 + 16i + 2b + 4bi + c = 0 \]

Gruppieren Sie die Real- und Imaginärteile:

\[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \]

Damit eine komplexe Zahl 0 ist, müssen sowohl ihr Real- als auch ihr Imaginärteil 0 sein:

Imaginärteil: \( 16 + 4b = 0 \implies 4b = -16 \implies \mathbf{b = -4} \)

Realteil: \( -12 + 2b + c = 0 \). Setzen Sie \( b = -4 \) ein:

\[ -12 + 2(-4) + c = 0 \implies -12 - 8 + c = 0 \implies \mathbf{c = 20} \]

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b) Da die Koeffizienten des Polynoms (\( 1, b, c \)) allesamt reelle Zahlen sind, besagt der Satz über komplex konjugierte Wurzeln, dass die Wurzeln in konjugierten Paaren auftreten müssen. Daher lautet die zweite Wurzel \( 2 - 4i \).

Überprüfung: Setzen Sie \( x = 2 - 4i \), \( b = -4 \) und \( c = 20 \) in die Gleichung ein:

\[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \]

\[ = (4 - 16i + 16i^2) - 8 + 16i + 20 \]

\[ = (4 - 16i - 16) - 8 + 16i + 20 \]

\[ = -12 - 16i - 8 + 16i + 20 = (-12 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]

(Alternative Methode: Verwenden Sie den Satz von Vieta. Die Summe der Wurzeln ist \( -b \) und das Produkt ist \( c \). Bei gegebenen Wurzeln \( 2+4i \) und \( 2-4i \), Summe = \( 4 \implies b = -4 \). Produkt = \( (2)^2 + (4)^2 = 20 \implies c = 20 \)).

Sei \( z = a + bi \), wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind.

Setzen Sie dies in die gegebene Gleichung ein:

\[ (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]

Erweitern Sie die linke Seite:

\[ a^2 + 2abi + b^2i^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]

\[ a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \]

Setzen Sie den Real- und Imaginärteil gleich, um ein Gleichungssystem zu bilden:

1) \( a^2 - b^2 = -1 \)

2) \( 2ab = 2\sqrt{6} \)

Aus Gleichung 2 isolieren Sie \( b \):

\[ ab = \sqrt{6} \implies b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \]

Setzen Sie diesen Ausdruck für \( b \) in Gleichung 1 ein:

\[ a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \]

\[ a^2 - \dfrac{6}{a^2} = -1 \]

Multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit \( a^2 \), um den Nenner aufzulösen:

\[ a^4 - 6 = -a^2 \]

\[ a^4 + a^2 - 6 = 0 \]

Dies ist eine quadratische Gleichung in Bezug auf \( a^2 \). Wir können sie faktorisieren als:

\[ (a^2 + 3)(a^2 - 2) = 0 \]

Dies ergibt \( a^2 = -3 \) oder \( a^2 = 2 \). Da \( a \) eine reelle Zahl sein muss, kann \( a^2 \) nicht negativ sein. Daher verwerfen wir \( a^2 = -3 \).

Die Lösung \( a^2 = 2 \) liefert zwei reelle Wurzeln: \( a = \sqrt{2} \) und \( a = -\sqrt{2} \).

Verwenden Sie nun \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \), um die entsprechenden Werte für \( b \) zu finden:

• Wenn \( a = \sqrt{2} \), dann ist \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{6}{2}} = \sqrt{3} \).
• Wenn \( a = -\sqrt{2} \), dann ist \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{3} \).

Durch Einsetzen in unsere komplexe Zahl \( z = a + bi \) erhalten wir zwei Lösungen:

\[ \mathbf{z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i \quad \text{und} \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i} \]

Sei \( z = a + bi \) und \( z' = a - bi \), wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind.

Setzen Sie diese Ausdrücke in die gegebene Gleichung ein:

\[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \]

Multiplizieren Sie beide Produkte sorgfältig aus:

Erstes Produkt: \( 4a + 4bi + 2ai + 2bi^2 = 4a - 2b + (2a + 4b)i \)

Zweites Produkt: \( 8a - 8bi - 2ai + 2bi^2 = 8a - 2b + (-2a - 8b)i \)

Addieren Sie die erweiterten Ausdrücke:

\[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (2a + 4b - 2a - 8b)i = -2 + 10i \]

Vereinfachen Sie, indem Sie gleiche Terme gruppieren:

\[ (12a - 4b) + (-4b)i = -2 + 10i \]

Setzen Sie den Real- und Imaginärteil gleich, um ein Gleichungssystem zu bilden:

Imaginärteil: \( -4b = 10 \implies \mathbf{b = -\dfrac{5}{2}} \)

Realteil: \( 12a - 4b = -2 \). Setzen Sie den Wert für \( b \) ein:

\[ 12a - 4\left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 \]

\[ 12a + 10 = -2 \]

\[ 12a = -12 \implies \mathbf{a = -1} \]

Daher lautet die komplexe Zahl \( z \):

\[ \mathbf{z = -1 - \dfrac{5}{2}i} \]

Da alle Koeffizienten im kubischen Polynom (\( 1, 6, 61, 106 \)) reelle Zahlen sind, garantiert der Satz über komplex konjugierte Wurzeln, dass wenn \( z_1 = -2 + 7i \) eine Wurzel ist, ihre Konjugierte \( z_2 = -2 - 7i \) ebenfalls eine Wurzel sein muss.

Wenn wir zwei Wurzeln kennen, können wir den entsprechenden quadratischen Faktor bilden, indem wir \( (z - z_1)(z - z_2) \) multiplizieren:

\[ (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) \]

Um dies leichter zu multiplizieren, gruppieren wir die inneren Terme um, um eine Differenz von Quadraten zu erzeugen:

\[ = ((z + 2) - 7i)((z + 2) + 7i) \]

\[ = (z + 2)^2 - (7i)^2 \]

\[ = (z^2 + 4z + 4) - 49(-1) \]

\[ = z^2 + 4z + 53 \]

Dieser quadratische Ausdruck muss ein Faktor unseres ursprünglichen kubischen Polynoms sein. Sei die verbleibende reelle Wurzel \( r \). Das kubische Polynom kann wie folgt faktorisiert werden:

\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z^2 + 4z + 53)(z - r) \]

Wir können den fehlenden linearen Faktor \( (z - r) \) finden, indem wir eine Polynomdivision durchführen und das kubische Polynom durch den quadratischen Faktor teilen. Alternativ können wir eine Abkürzung nehmen, indem wir den führenden Term und den konstanten Term betrachten:

• Der führende Term \( z^3 \) geteilt durch \( z^2 \) ergibt \( z \).
• Der konstante Term \( 106 \) geteilt durch \( 53 \) ergibt \( +2 \).

Daher lautet der lineare Faktor \( (z + 2) \). Dies bedeutet, dass die vollständig faktorisierte kubische Gleichung wie folgt lautet:

\[ (z^2 + 4z + 53)(z + 2) = 0 \]

Das Nullsetzen des linearen Faktors liefert uns die reelle Wurzel:

\[ z + 2 = 0 \implies \mathbf{z = -2} \]

a) Um zu zeigen, dass \( 2i \) eine Wurzel ist, setzen wir \( z = 2i \) in das Polynom ein und überprüfen, ob es null ergibt.

Berechnen Sie zuerst die Potenzen von \( 2i \):

• \( (2i)^2 = 4i^2 = -4 \)
• \( (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -8i \)
• \( (2i)^4 = 16i^4 = 16(1) = 16 \)

Setzen Sie diese in das Polynom ein:

\[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \]

\[ = 16 + (-8i) + 2(-4) + 8i - 8 \]

\[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 \]

\[ = (16 - 8 - 8) + (-8i + 8i) = \mathbf{0} \]

Da das Ergebnis 0 ist, ist \( 2i \) tatsächlich eine Wurzel.

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b) Da das Polynom reelle Koeffizienten besitzt, besagt der Satz über komplex konjugierte Wurzeln, dass auch \( -2i \) eine Wurzel ist.

Die zu diesen beiden Wurzeln gehörenden Faktoren sind \( (z - 2i) \) und \( (z + 2i) \). Multipliziert man sie miteinander, erhält man einen quadratischen Faktor:

\[ (z - 2i)(z + 2i) = z^2 - (2i)^2 = z^2 - 4(-1) = z^2 + 4 \]

Um die verbleibenden Wurzeln zu finden, dividieren wir das ursprüngliche Polynom 4. Grades durch diesen quadratischen Faktor \( z^2 + 4 \). Dazu können Sie die Polynomdivision verwenden:

\[ \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]

Das Polynom lässt sich also wie folgt faktorisieren:

\[ (z^2 + 4)(z^2 + z - 2) = 0 \]

Die verbleibenden Wurzeln ergeben sich durch Lösen der quadratischen Gleichung \( z^2 + z - 2 = 0 \). Faktorisieren ergibt:

\[ (z + 2)(z - 1) = 0 \]

Dies liefert \( z = -2 \) und \( z = 1 \). Daher lautet die vollständige Menge der Wurzeln für die Gleichung:

\[ \mathbf{z = 2i, \quad z = -2i, \quad z = 1, \quad z = -2} \]

Da das Polynom ausschließlich reelle Koeffizienten hat, müssen alle komplexen Wurzeln in konjugierten Paaren auftreten. Da zwei komplexe Wurzeln gegeben sind, kennen wir sofort die anderen beiden Wurzeln:

Gegebene Wurzeln: \( 2 - i \) und \( 1 - i \)

Konjugierte Wurzeln: \( 2 + i \) und \( 1 + i \)

Wir können das Polynom bilden, indem wir die mit diesen vier Wurzeln verbundenen Faktoren multiplizieren:

\[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i)) \cdot (z - (1 - i))(z - (1 + i)) \]

Multiplizieren wir zunächst die konjugierten Paare. Dies führt zu zwei quadratischen Termen mit reellen Koeffizienten. Umgruppieren zur Nutzung der Differenz von Quadraten:

Erstes Paar:

\[ ((z - 2) + i)((z - 2) - i) = (z - 2)^2 - i^2 = (z^2 - 4z + 4) + 1 = \mathbf{z^2 - 4z + 5} \]

Zweites Paar:

\[ ((z - 1) + i)((z - 1) - i) = (z - 1)^2 - i^2 = (z^2 - 2z + 1) + 1 = \mathbf{z^2 - 2z + 2} \]

Multiplizieren Sie nun diese beiden quadratischen Polynome miteinander, um \( P(z) \) zu erhalten:

\[ P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z^2 - 2z + 2) \]

Verteilen Sie jeden Term des ersten Polynoms auf das zweite:

\[ = z^2(z^2 - 2z + 2) - 4z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) \]

\[ = (z^4 - 2z^3 + 2z^2) - (4z^3 - 8z^2 + 8z) + (5z^2 - 10z + 10) \]

Fassen Sie gleichartige Terme zusammen:

• \( z^4 \)-Term: \( z^4 \)
• \( z^3 \)-Terme: \( -2z^3 - 4z^3 = -6z^3 \)
• \( z^2 \)-Terme: \( 2z^2 + 8z^2 + 5z^2 = 15z^2 \)
• \( z \)-Terme: \( -8z - 10z = -18z \)
• Konstanter Term: \( 10 \)

\[ P(z) = z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10 \]

Durch Vergleich mit dem gegebenen Format \( z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \) finden wir unsere Koeffizienten:

\[ \mathbf{a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18, \quad d = 10} \]

Das Erweitern eines Binoms zur 6. Potenz ist mühsam. Stattdessen können wir die komplexe Zahl in ihre Polarform \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) umwandeln und den Satz von de Moivre anwenden: \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \).

Finden Sie zunächst den Betrag \( r \) für die komplexe Zahl \( z = \sqrt{3} + i \):

\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]

Suchen Sie als nächstes das Argument (den Winkel) \( \theta \):

\[ \tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \]

Da beide Komponenten positiv sind, liegt der Winkel im ersten Quadranten: \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \) (oder 30°).

Die Polarform lautet also \( z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \).

Wenden Sie nun den Satz von de Moivre für \( n = 6 \) an:

\[ z^6 = 2^6 \left( \cos\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) \right) \]

\[ z^6 = 64 (\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \]

Wir wissen, dass \( \cos(\pi) = -1 \) und \( \sin(\pi) = 0 \):

\[ z^6 = 64 (-1 + 0i) = -64 \]

Die Standardform lautet: \( -64 + 0i \).

Sei die komplexe Variable \( z = x + yi \), wobei \( x \) und \( y \) kartesische Koordinaten darstellen.

Setzen Sie dies in die gegebene Betragsgleichung ein:

\[ |(x + yi) - 2| = |(x + yi) + 2i| \]

Gruppieren Sie die reellen und imaginären Komponenten innerhalb der Betragsstriche:

\[ |(x - 2) + yi| = |x + (y + 2)i| \]

Der Betrag einer komplexen Zahl \( a+bi \) ist \( \sqrt{a^2+b^2} \). Wenden Sie dies auf beide Seiten an:

\[ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} \]

Quadrieren Sie beide Seiten, um die Quadratwurzeln zu entfernen:

\[ (x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \]

Multiplizieren Sie die perfekten quadratischen Binome auf beiden Seiten aus:

\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4 \]

Subtrahieren Sie \( x^2 \), \( y^2 \) und \( 4 \) auf beiden Seiten. Sie heben sich schön auf und lassen übrig:

\[ -4x = 4y \]

Teilen Sie durch 4, um die endgültige kartesische Gleichung zu erhalten:

\( y = -x \)

Geometrische Beschreibung: Der geometrische Ort ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft und eine Steigung von -1 hat. (Konzeptionell beschreibt \( |z - A| = |z - B| \) immer die Mittelsenkrechte der Strecke, die die Punkte A und B in der komplexen Ebene verbindet. Hier ist A (2, 0) und B (0, -2). Ihre Mittelsenkrechte ist in der Tat die Gerade y = -x.)

Um die Kubikwurzeln zu finden, schreiben wir die Zahl \( 8i \) zunächst in Polarform.

Der Betrag ist \( 8 \), und da er auf der positiven imaginären Achse liegt, beträgt sein Winkel \( \dfrac{\pi}{2} \). Die allgemeine Polarform ist:

\[ 8i = 8 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) \]

Um die Kubikwurzeln zu finden (\( z = (8i)^{1/3} \)), verwenden wir die Wurzelformel von de Moivre: Ziehen Sie die Kubikwurzel aus dem Betrag und teilen Sie das Argument durch 3:

\[ z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) \right) \]

\[ z_k = 2 \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) \right) \]

Wir finden die drei verschiedenen Wurzeln durch Einsetzen von \( k = 0, 1, 2 \):

Für k = 0:

\[ z_0 = 2 \left( \cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{\sqrt{3} + i} \]

Für k = 1:

\[ \text{Winkel} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]

\[ z_1 = 2 \left( \cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{-\sqrt{3} + i} \]

Für k = 2:

\[ \text{Winkel} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2} \]

\[ z_2 = 2 \left( \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2(0 + (-1)i) = \mathbf{-2i} \]

Die drei Wurzeln sind: \( \sqrt{3} + i \), \( -\sqrt{3} + i \) und \( -2i \).