Komplexe Zahlen Probleme mit Lösungen und Antworten - Klasse 12

Komplexe Zahlen sind in angewandter Mathematik wichtig. Probleme und Fragen zu komplexen Zahlen mit ausführlichen Lösungen werden präsentiert.

Fragen

1. Bewerten Sie die folgenden Ausdrücke
   a) (3 + 2i) - (8 - 5i)
   b) (4 - 2i)*(1 - 5i)
   c) (- 2 - 4i) / i
   d) (- 3 + 2i) / (3 - 6i)
   

2. Wenn (x + yi) / i = ( 7 + 9i ) , wobei x und y reale Zahlen sind, was ist der Wert von (x + yi)(x - yi)?


3. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, die die Gleichung erfüllen
   z + 3 z' = 5 - 6i
   wobei z' das komplexe Konjugierte von z ist.
   

4. Finden Sie alle komplexen Zahlen der Form z = a + bi , wobei a und b reale Zahlen sind, so dass z z' = 25 und a + b = 7
   wobei z' das komplexe Konjugierte von z ist.
   

5. Die komplexe Zahl 2 + 4i ist eine der Wurzeln der quadratischen Gleichung x² + bx + c = 0, wobei b und c reale Zahlen sind.
   a) Finden Sie b und c
   b) Schreiben Sie die zweite Wurzel auf und überprüfen Sie sie.
   

6. Finden Sie alle komplexen Zahlen z, so dass z² = -1 + 2 sqrt(6) i.
   

7. Finden Sie alle komplexen Zahlen z, so dass (4 + 2i)z + (8 - 2i)z' = -2 + 10i, wobei z' das komplexe Konjugierte von z ist.
   

8. Angenommen, die komplexe Zahl z = -2 + 7i ist eine Wurzel der Gleichung:
   z³ + 6 z² + 61 z + 106 = 0
   Finden Sie die reale Wurzel der Gleichung.
   

9. a) Zeigen Sie, dass die komplexe Zahl 2i eine Wurzel der Gleichung ist
   z⁴ + z³ + 2 z² + 4 z - 8 = 0
   b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung.
   

10. P(z) = z⁴ + a z³ + b z² + c z + d ist ein Polynom, wobei a, b, c und d reale Zahlen sind. Finden Sie a, b, c und d, wenn zwei Nullen des Polynoms die folgenden komplexen Zahlen sind: 2 - i und 1 - i.
    

Lösungen zu den obigen Fragen

1. a) -5 + 7i
   b) -6 - 22i
   c) -4 + 2i
   d) -7/15 - 4i/15


2. (x + yi) / i = ( 7 + 9i )
   (x + yi) = i(7 + 9i) = -9 + 7i
   (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) = 81 + 49 = 130


3. Sei z = a + bi , z' = a - bi ; a und b reale Zahlen.
   Setzen Sie z und z' in die gegebene Gleichung ein
   a + bi + 3*(a - bi) = 5 - 6i
   a + 3a + (b - 3b) i = 5 - 6i
   4a = 5 und -2b = -6
   a = 5/4 und b = 3
   z = 5/4 + 3i


4. z z' = (a + bi)(a - bi)
   = a² + b² = 25
   a + b = 7 gibt b = 7 - a
   Setzen Sie das oben in die Gleichung a² + b² = 25 ein
   a² + (7 - a)² = 25
   Lösen Sie die obige quadratische Funktion nach a und verwenden Sie b = 7 - a, um b zu finden.
   a = 4 und b = 3 oder a = 3 und b = 4
   z = 4 + 3i und z = 3 + 4i haben die Eigenschaft z z' = 25.


5. a) Setzen Sie die Lösung in die Gleichung ein: (2 + 4i)² + b(2 + 4i) + c = 0
   Erweitern Sie die Terme in der Gleichung und schreiben Sie sie um: (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0
   Realteil und Imaginärteil gleich Null.
   -12 + 2b + c = 0 und 16 + 4b = 0
   Lösen Sie nach b: b = -4 , setzen Sie ein und lösen Sie nach c: c = 20
   b) Da die gegebene Gleichung reale Zahlen hat, ist die zweite Wurzel das komplexe Konjugat der gegebenen Wurzel: 2 - 4i ist die zweite Lösung.
   Überprüfung: (2 - 4i)² - 4 (2 - 4i) + 20
   (Expandieren) = 4 - 16 - 16i - 8 + 16i + 20
   = (4 - 16 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0


6. Sei z = a + bi
   Setzen Sie in die gegebene Gleichung ein: (a + bi)² = -1 + 2 sqrt(6) i
   Erweitern Sie: a² - b² + 2 ab i = - 1 + 2 sqrt(6) i
   Realteil und Imaginärteil müssen gleich sein.
   a² - b² = - 1 und 2 ab = 2 sqrt(6)
   Gleichung 2 ab = 2 sqrt(6) ergibt: b = sqrt(6) / a
   Setzen Sie ein: a² - ( sqrt(6) / a )²) = - 1
   a⁴ - 6 = - a²
   Lösen Sie die obige Gleichung und wählen Sie nur reale Wurzeln aus: a = sqrt(2) und a = - sqrt(2)
   Setzen Sie ein, um b zu finden, und schreiben Sie die beiden komplexen Zahlen auf, die die gegebene Gleichung erfüllen.
   z1 = sqrt(2) + sqrt(3) i , z2 = - sqrt(2) - sqrt(3) i


7. Sei z = a + bi, wobei a und b reale Zahlen sind. Das komplexe Konjugierte z' wird in Bezug auf a und b wie folgt geschrieben: z' = a - bi. Setzen Sie z und z' in die gegebene Gleichung ein
   (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i
   Erweitern und trennen Sie Real- und Imaginärteile.
   (4a - 2b + 8a - 2b) + (4b + 2a - 8b - 2a )i = -2 + 10i
   Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind. Gruppieren Sie ähnliche Terme.
   12a - 4b = -2 und - 4b = 10
   Lösen Sie das System der Unbekannten a und b, um zu finden:
   b = -5/2 und a = -1
   z = -1 - (5/2)i


8. Da z = -2 + 7i eine Wurzel der Gleichung ist und alle Koeffizienten in den Termen der Gleichung reale Zahlen sind, ist auch z', das komplexe Konjugat von z, eine Lösung. Daher
   z³ + 6 z² + 61 z + 106 = (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) q(z)
   = (z² + 4z + 53) q(z)
   q(z) = [ z³ + 6 z² + 61 z + 106 ] / [ z² + 4z + 53 ] = z + 2
   Z + 2 ist ein Faktor von z³ + 6 z² + 61 z + 106 und daher ist z = -2 die reale Wurzel der gegebenen Gleichung.


9. a) (2i)⁴ + (2i)³ + 2 (2i)² + 4 (2i) - 8
   = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 = 0
   b) 2i ist eine Wurzel, -2i ist auch eine Wurzel (komplexes Konjugat, da alle Koeffizienten reale Zahlen sind).
   z⁴ + z³ + 2 z² + 4 z - 8 = (z - 2i)(z + 2i) q(z)
   = (z² + 4)q(z)
   q(z) = z² + z - 2
   Die anderen beiden Wurzeln der Gleichung sind die Wurzeln von q(z): z = 1 und z = -2.


10. Da alle Koeffizienten des Polynoms P reale Zahlen sind, sind die komplexen Konjugierten zu den gegebenen Nullen ebenfalls Nullen von P. Daher
    P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i))(z - (1 - i))(z - (1 + i)) =
    = z⁴ - 6 z³ + 15 z² - 18 z + 10
    Daher: a = -6, b = 15, c = -18 und d = 10.

Weitere Referenzen und Links