Entdecken Sie eine Vielzahl von Problemen mit komplexen Zahlen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen. Lernen Sie, wie man komplexe Zahlen löst, einschließlich Operationen, Polarform und Anwendungen. Komplexe Zahlen spielen eine entscheidende Rolle in der angewandten Mathematik, Physik, Elektrotechnik und anderen technischen Bereichen.
Im Folgenden ist \( i \) die imaginäre Einheit.
Werten Sie die folgenden Ausdrücke aus:
Wenn \( \dfrac{x + yi}{i} = 7 + 9i \), wobei \( x \) und \( y \) reell sind, was ist der Wert von \( (x + yi)(x - yi) \)?
\[ \dfrac{x + yi}{i} = 7 + 9i \] \[ x + yi = i(7 + 9i) = -9 + 7i \] \[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) = 81 + 49 = 130 \]
Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen \( z \), die die Gleichung erfüllen: \[ z + 3z' = 5 - 6i \] wobei \( z' \) die komplex Konjugierte von \( z \) bezeichnet.
Sei \( z = a + bi \), und seine Konjugierte \( z' = a - bi \); \( a \) und \( b \) reelle Zahlen.
Durch Einsetzen von \( z \) und \( z' \) in die gegebene Gleichung erhält man
\[ a + bi + 3(a - bi) = 5 - 6i \] \[ a + 3a + (b - 3b)i = 5 - 6i \] Vereinfachen durch Gruppieren der Terme auf der linken Seite: \[ 4 a - 2b i = 5 - 6i \] Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sowohl ihre Real- als auch ihre Imaginärteile gleich sind. Daher \[ 4a = 5 \quad \text{und} \quad -2b = -6 \] \[ a = \dfrac{5}{4} \quad \text{und} \quad b = 3 \] \[ z = \dfrac{5}{4} + 3i \]Finden Sie alle komplexen Zahlen der Form \( z = a + bi \), wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind, so dass: \[ z z' = 25 \quad \text{und} \quad a + b = 7 \] wobei \( z' \) die komplex Konjugierte von \( z \) darstellt.
Sei \( z = a + b i \)
Daher ist seine Konjugierte \[ z' = a - b i \] somit \[ z z' = (a + b i)(a - b i) \] \[ = a^2 + b^2 = 25 \] \[ a + b = 7 \quad \text{ergibt} \quad b = 7 - a \] Oben in die Gleichung \( a^2 + b^2 = 25 \) einsetzen \[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]Lösen Sie die obige quadratische Funktion für \( a \) und verwenden Sie \( b = 7 - a \), um \( b \) zu finden. \[ a = 4 \quad \text{und} \quad b = 3 \] oder \[ a = 3 \quad \text{und} \quad b = 4 \] Die komplexen Zahlen \[ z = 4 + 3i \] und \[ z = 3 + 4i \] erfüllen \( z z' = 25 \).
Überprüfen Sie, dass: \[ z = 4 + 3i \] und \[ z = 3 + 4i \] die Eigenschaft \[ z z' = 25 \] haben.
Die komplexe Zahl \( 2 + 4i \) ist eine der Wurzeln der quadratischen Gleichung
\[ x^2 + bx + c = 0, \] wobei \( b \) und \( c \) reelle Zahlen sind.a) Finden Sie \( b \) und \( c \)
b) Notieren Sie die zweite Wurzel und überprüfen Sie sie.
a) Setzen Sie die Wurzel in die Gleichung ein: \[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \] Erweitern Sie die Terme in der Gleichung und schreiben Sie um als: \[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \] Realteil und Imaginärteil sind beide gleich Null. \[ -12 + 2b + c = 0 \quad \text{und} \quad 16 + 4b = 0 \] Lösen Sie nach \( b \): \[ b = -4 \] Ersetzen Sie und lösen Sie nach \( c \): \[ c = 20 \]
b) Da die gegebene Gleichung reelle Zahlen hat, ist die zweite Wurzel die komplex Konjugierte der gegebenen Wurzel:
\( 2 - 4i \) ist die zweite Lösung.
Überprüfung: \[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \] Erweitern: \[ = 4 - 16i + 16i - 16 + 8 - 20 + 20 \] \[ = (4 - 16 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]Finden Sie alle komplexen Zahlen \( z \) mit: \[ z^2 = -1 + 2 \sqrt{6} i \]
Sei \( z = a + bi \)
In die gegebene Gleichung einsetzen: \( (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \)
Erweitern: \( a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \)
Real- und Imaginärteile müssen gleich sein. \[ a^2 - b^2 = -1 \quad \text{und} \quad 2ab = 2\sqrt{6} \] Gleichung \( 2ab = 2\sqrt{6} \) ergibt: \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \)
Ersetzen: \( a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \) \[ a^4 - 6 = -a^2 \] Lösen Sie die obige Gleichung und wählen Sie nur reelle Wurzeln: \( a = \sqrt{2} \) und \( a = -\sqrt{2} \)
Ersetzen Sie, um \( b \) zu finden, und schreiben Sie die beiden komplexen Zahlen, die die gegebene Gleichung erfüllen. \[ z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i, \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i \]
Finden Sie alle komplexen Zahlen \( z \) mit \[ (4 + 2i)z + (8 - 2i)z' = -2 + 10i, \] wobei \( z' \) die komplex Konjugierte von \( z \) ist.
Sei \( z = a + bi \), wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind. Die komplex Konjugierte \( z' \) wird in Bezug auf \( a \) und \( b \) wie folgt geschrieben: \( z' = a - bi \).
Setzen Sie \( z \) und \( z' \) in die gegebene Gleichung ein \[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \] Erweitern und trennen Sie Real- und Imaginärteile. \[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (4b + 2a - 8b - 2a)i = -2 + 10i \] Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihre Realteile und Imaginärteile gleich sind. Fassen Sie gleiche Terme zusammen. \[ 12a - 4b = -2 \quad \text{und} \quad -4b = 10 \] Lösen Sie das System für die Unbekannten \( a \) und \( b \), um zu finden: \[ b = -\dfrac{5}{2} \quad \text{und} \quad a = -1 \] \[ z = -1 - \dfrac{5}{2}i \]
Angenommen, die komplexe Zahl \( z = -2 + 7i \) ist eine Wurzel der Gleichung: \[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = 0 \] finden Sie die reelle Wurzel der Gleichung.
Da \( z = -2 + 7i \) eine Wurzel der Gleichung ist und alle Koeffizienten in den Termen der Gleichung reelle Zahlen sind, ist auch \( z' \), die komplex Konjugierte von \( z \), eine Lösung. Daher können wir die linke Seite wie folgt faktorisieren: \[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i))q(z) \] \[ = (z^2 + 4z + 53)q(z) \] \[ q(z) = \dfrac{z^3 + 6z^2 + 61z + 106}{z^2 + 4z + 53} = z + 2 \] \( z + 2 \) ist ein Faktor von \( z^3 + 6z^2 + 61z + 106 \) und daher ist \( z = -2 \) die reelle Wurzel der gegebenen Gleichung.
a) Zeigen Sie, dass die komplexe Zahl \( 2i \) eine Wurzel der Gleichung ist
\[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0 \] b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung.a) Setzen Sie \( z \) durch \( 2i \) in die linke Seite des Ausdrucks ein:
\[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 \] \[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \] \[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 = 0 \]was zeigt, dass \( 2i \) eine Wurzel der gegebenen Gleichung ist.
b) Da \( 2i \) eine Wurzel ist und alle Koeffizienten reell sind, ist \( -2i \) ebenfalls eine Wurzel (komplex konjugiert). Daher können wir die linke Seite der gegebenen Gleichung wie folgt faktorisieren: \[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = (z - 2i)(z + 2i)q(z) \] \[ = (z^2 + 4)q(z) \] \[ q(z) = \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]
Die anderen beiden Wurzeln der Gleichung sind die Wurzeln von \( q(z) = z^2 + z - 2\) und sind gegeben durch: \[ z = 1 \quad \text{und} \quad z = -2 \].
\( P(z) = z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \) ist ein Polynom, wobei \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \) reelle Zahlen sind.
Finden Sie \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \), wenn zwei Nullstellen des Polynoms \( P \) die folgenden komplexen Zahlen sind: \( 2 - i \) und \( 1 - i \).
Da alle Koeffizienten des Polynoms P reell sind, sind die komplex Konjugierten \[ 2 + i \quad \text{und} \quad 1 + i \] zu den gegebenen Nullstellen ebenfalls Nullstellen des Polynoms \( P \). Daher ist \( P(z) \) in faktorisierter Form: \[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i))(z - (1 - i))(z - (1 + i)) = \] \[ = z^4 - 6 z^3 + 15 z^2 - 18 z + 10 \]
Identifizieren Sie \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \), um zu erhalten: \[ a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18 , \quad d = 10. \]