Frage 1
Finden Sie die Gleichung der kubischen Polynomfunktion g, die unten gezeigt wird.
.
Lösung
Die Grafik der Funktion hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei x = -1, was der Faktor x + 1 entspricht, und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei x = 3 (die Grafik berührt, schneidet jedoch nicht die x-Achse), was dem Faktor (x - 3)2 entspricht. Daher hat die Funktion g die Gleichung:
g(x) = k (x + 1)(x - 3)2, wobei k eine Konstante ist.
Die Konstante k kann mit dem Punkt (1 , 3) auf der Grafik gefunden werden.
g(1) = k (1 + 1)(1 - 3)2 = 3
Vereinfachen und nach k auflösen.
k = 3 / 8
g(x) ist gegeben durch.
g(x) = (3 / 8)(x + 1)(x - 3)2
Frage 2
Finden Sie die Polynomfunktion vierten Grades f, deren Graphik in der Abbildung unten gezeigt wird.
.
Lösung
Die Grafik des Polynoms hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei x = 2, was dem Faktor (x - 2) entspricht, eine weitere Nullstelle der Vielfachheit 1 bei x = -2, was dem Faktor (x + 2) entspricht, und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei x = -1 (die Grafik berührt, schneidet jedoch nicht die x-Achse), was dem Faktor (x + 1)2 entspricht. Daher hat das Polynom f die Gleichung:
f(x) = k (x - 2)(x + 2)(x + 1)2, wobei k eine Konstante ist.
Die Konstante k kann mit dem y-Achsenabschnitt f(0) = -1 auf der Grafik gefunden werden.
f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)2 = -1
Vereinfachen und nach k auflösen.
k = 1 / 4
f(x) ist gegeben durch.
f(x) = (1/4)(x - 2)(x + 2)(x + 1)2
Frage 3
Finden Sie die Gleichung des Polynoms f vierten Grades, das unten grafisch dargestellt ist.
.
Lösung
Die Grafik hat x-Achsenabschnitte bei x = 0 und x = 5 / 2. Diese x-Achsenabschnitte sind die Nullen des Polynoms f(x). Da die Grafik die x-Achse bei x = 0 und x = 5 / 2 schneidet, haben beide Nullen eine ungerade Vielfachheit. Die Grafik bei x = 0 hat eine "kubische" Form, und daher hat die Null bei x = 0 eine Vielfachheit von 3. Die Form der Grafik bei x = 1/2 ist nahezu linear, daher hat die Null bei x = 5 / 2 eine Vielfachheit von 1. Unter Verwendung der Nullen bei x = 0 und x = 5 / 2 kann f(x) geschrieben werden als
f(x) = k (x - 0)3 (x - 5 / 2), wobei k eine Konstante ist.
Wir verwenden nun den Punkt (2 , -4), um k zu finden.
- 4 = k(2)3 (2 - 5 / 2), löse für k: k = 1
Die Gleichung des Polynoms f(x) lautet.
f(x) = x3 (x - 5 / 2)
Frage 4
Die Grafik eines kubischen Polynoms y = a x^3 + b x^2 +c x + d ist unten dargestellt. Finden Sie die Koeffizienten a, b, c und d.
.
Lösung
Das Polynom hat den Grad 3. Die Grafik des Polynoms hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei x = -2, was dem Faktor x + 2 entspricht, und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei x = 1, was dem Faktor (x - 1)2 entspricht. Daher kann das Polynom geschrieben werden als
y = k(x + 2)(x - 1)2
Wir müssen nun k mithilfe des y-Achsenabschnitts (0 , 1) auf der Grafik finden.
1 = k(0 + 2)(0 - 1)2 = 2 k
Löse für k.
k = 1 / 2
Wir entwickeln nun das Polynom, schreiben es in Normalform und identifizieren die Koeffizienten a, b, c und d.
y = (1 / 2)(x + 2)(x - 1)2 = 0,5 x3 - 1,5 x + 1
Wir vergleichen nun den Ausdruck des oben gefundenen Polynoms mit
y = a x3 + b x2 +c x + d
und erhalten die Werte der Koeffizienten
a = 0,5 , b = 0 , c = -1,5 und d = 1
Frage 5
Die Grafik des Polynoms $$y=a x^4+bx^3+c x^2+d x+e$$ ist unten dargestellt. Finden Sie die Koeffizienten b, d und e.
.
Lösung
Die Grafik des Polynoms ist bezüglich der y-Achse symmetrisch, und daher muss die oben gegebene Funktion ein gerade Funktion sein. Die Terme b x3 und d x im obigen Ausdruck des Polynoms sind nicht gerade, und daher sind ihre Koeffizienten gleich 0. Daher gilt:
b = 0 , d = 0
und daher ist y gegeben durch
y = a x4 + c x2 + e
Der Koeffizient e wird mithilfe des y-Achsenabschnitts (0 , -2) aus der Grafik gefunden.
-2 = a (0)4 + c (0)2 + e
e = -2
