Eine Polynomgleichung anhand ihres Graphen finden: Aufgaben mit Lösungen

Schritt 1: Nullstellen und Vielfachheiten identifizieren
Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse glatt bei \( x = -1 \). Dies weist auf eine Nullstelle mit der Vielfachheit 1 hin, was dem Faktor \( (x + 1) \) entspricht.
Der Graph berührt die x-Achse bei \( x = 3 \) und kehrt um. Dies weist auf eine Nullstelle mit der Vielfachheit 2 hin (parabelförmig), was dem Faktor \( (x - 3)^2 \) entspricht.

Schritt 2: Gleichung aufstellen
Basierend auf den Faktoren hat die Funktion \( g \) die allgemeine Form:
\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \] wobei \( k \) ein unbekannter konstanter Multiplikator ist.

Schritt 3: Nach \( k \) auflösen
Wir können \( k \) mit dem markierten Punkt auf dem Graphen mit den Koordinaten \( (1, 3) \) ermitteln:
\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \] \[ k(2)(-2)^2 = 3 \] \[ 8k = 3 \implies k = \dfrac{3}{8} \]

Fazit:
Die genaue Gleichung für \( g(x) \) lautet:
\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]

Schritt 1: Nullstellen und Vielfachheiten identifizieren
Durch die Analyse der x-Achsenabschnitte finden wir drei unterschiedliche Berührungspunkte:
* Ein gerader Schnitt bei \( x = 2 \), was einer Vielfachheit von 1 entspricht und den Faktor \( (x - 2) \) ergibt.
* Ein gerader Schnitt bei \( x = -2 \), was einer Vielfachheit von 1 entspricht und den Faktor \( (x + 2) \) ergibt.
* Ein Berühren und Umkehren bei \( x = -1 \), was einer Vielfachheit von 2 entspricht und den Faktor \( (x + 1)^2 \) ergibt.

Schritt 2: Gleichung aufstellen
Das Multiplizieren dieser Faktoren ergibt unser Basispolynom 4. Grades:
\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \] wobei \( k \) eine Konstante ist.

Schritt 3: Nach \( k \) auflösen
Der Graph zeigt einen klaren y-Achsenabschnitt bei \( (0, -1) \). Setzen Sie \( x = 0 \) und \( y = -1 \) ein:
\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \] \[ k(-2)(2)(1)^2 = -1 \] \[ -4k = -1 \implies k = \dfrac{1}{4} \]

Fazit:
Die Gleichung lautet:
\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]

Schritt 1: Nullstellen und Vielfachheiten identifizieren
Der Graph hat x-Achsenabschnitte bei \( x = 0 \) und \( x = \dfrac{5}{2} \). Da der Graph die x-Achse an beiden Punkten schneidet, müssen beide Nullstellen eine ungerade Vielfachheit haben.
* Bei \( x = 0 \) weist der Graph eine abgeflachte „S“- oder kubische Form auf. Dies deutet auf eine Vielfachheit von 3 hin, was den Faktor \( x^3 \) liefert.
* Bei \( x = \dfrac{5}{2} \) ist der Schnitt direkt und relativ linear, was auf eine Vielfachheit von 1 hindeutet und den Faktor \( \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \) liefert.

Schritt 2: Gleichung aufstellen
Anhand dieser Beobachtungen notieren wir die allgemeine Form:
\[ f(x) = k(x)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Schritt 3: Nach \( k \) auflösen
Wir verwenden den gegebenen Referenzpunkt \( (2, -4) \), um \( k \) zu finden:
\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right) \] \[ -4 = k(8) \left(-\dfrac{1}{2}\right) \] \[ -4 = -4k \implies k = 1 \]

Fazit:
Die Gleichung des Polynoms lautet:
\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]

Schritt 1: Faktorisierte Form aufstellen
Das Polynom hat den Grad 3. Der Graph zeigt eine Nullstelle mit der Vielfachheit 1 bei \( x = -2 \) (Faktor: \( x + 2 \)) und eine Nullstelle mit der Vielfachheit 2 bei \( x = 1 \) (Faktor: \( (x - 1)^2 \)).
\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]

Schritt 2: Finde \( k \)
Verwenden Sie den klaren y-Achsenabschnitt bei \( (0, 1) \):
\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 \] \[ 1 = 2k \implies k = \dfrac{1}{2} = 0.5 \]

Schritt 3: In die Normalform ausmultiplizieren
Multiplizieren Sie nun das faktorisierte Polynom aus, um die einzelnen Koeffizienten aufzudecken:
\[ y = 0.5(x + 2)(x^2 - 2x + 1) \] \[ y = 0.5(x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2) \] \[ y = 0.5(x^3 - 3x + 2) \] \[ y = 0.5x^3 - 1.5x + 1 \]

Fazit:
Vergleicht man dies mit \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), so folgern wir:
\[ a = 0.5, \quad b = 0, \quad c = -1.5, \quad d = 1 \]

Schritt 1: Symmetriekonzepte nutzen
Da der Graph perfekt achsensymmetrisch zur y-Achse ist, muss die Funktion eine gerade Funktion sein (wobei \( f(x) = f(-x) \)).
Damit ein Polynom eine gerade Funktion ist, darf es nur gerade Potenzen von \( x \) enthalten. Die Terme \( bx^3 \) und \( dx \) sind ungerade Funktionen. Damit das gesamte Polynom gerade bleibt, müssen deren Koeffizienten null sein:
\[ b = 0, \quad d = 0 \]

Schritt 2: Die Konstante \( e \) finden
Das Polynom vereinfacht sich zu \( y = a x^4 + c x^2 + e \).
Der Koeffizient \( e \) repräsentiert den y-Achsenabschnitt. Betrachtet man den Graphen, liegt der y-Achsenabschnitt deutlich bei \( (0, -2) \):
\[ -2 = a(0)^4 + c(0)^2 + e \] \[ e = -2 \]

Fazit:
Die gesuchten Koeffizienten sind:
\[ b = 0, \quad d = 0, \quad e = -2 \]

Schritt 1: Faktorbildung
* Direkter Schnitt bei \( x = -2 \implies \) Vielfachheit 1: Faktor \( (x + 2) \).
* Tangential bei \( x = 1 \implies \) Vielfachheit 2: Faktor \( (x - 1)^2 \).
* Tangential bei \( x = 4 \implies \) Vielfachheit 2: Faktor \( (x - 4)^2 \).
(Überprüfung des Grades: 1 + 2 + 2 = 5. Dies stimmt perfekt mit dem angegebenen Grad überein.)

Schritt 2: Gleichung aufstellen
\[ P(x) = k(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Schritt 3: Nach \( k \) auflösen
Verwenden Sie den y-Achsenabschnitt \( (0, -16) \):
\[ -16 = k(0 + 2)(0 - 1)^2(0 - 4)^2 \] \[ -16 = k(2)(-1)^2(-4)^2 \] \[ -16 = k(2)(1)(16) \] \[ -16 = 32k \implies k = -\dfrac{1}{2} \]

Fazit:
\[ P(x) = -0.5(x + 2)(x - 1)^2(x - 4)^2 \]

Schritt 1: Ungerade Symmetrie verstehen
Eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (\( Q(-x) = -Q(x) \)). Das bedeutet, was auch immer für ein grafisches Verhalten auf der positiven x-Achse geschieht, muss (diagonal) auf der negativen x-Achse gespiegelt werden.
* Tangential bei \( x = 2 \implies \) Tangential bei \( x = -2 \).
* Verläuft durch den Ursprung \( \implies \) Nullstelle bei \( x = 0 \).

Schritt 2: Faktorbildung (kleinstmöglicher Grad)
* Nullstelle bei \( 0 \) mit Durchschneiden \( \implies \) Vielfachheit 1: Faktor \( (x) \).
* Tangential bei \( 2 \implies \) Vielfachheit 2: Faktor \( (x - 2)^2 \).
* Tangential bei \( -2 \implies \) Vielfachheit 2: Faktor \( (x + 2)^2 \).
(Der kleinstmögliche Grad ist 1 + 2 + 2 = 5).

Schritt 3: Nach \( k \) auflösen
\[ Q(x) = k(x)(x - 2)^2(x + 2)^2 \]
Nutzen Sie den Punkt \( (1, -9) \):
\[ -9 = k(1)(1 - 2)^2(1 + 2)^2 \] \[ -9 = k(1)(-1)^2(3)^2 \] \[ -9 = k(1)(1)(9) \] \[ 9k = -9 \implies k = -1 \]

Fazit:
\[ Q(x) = -x(x - 2)^2(x + 2)^2 \]

Schritt 1: Von der Form zur Vielfachheit
* Parabelförmige Berührung bei \( x = -3 \implies \) Gerade Vielfachheit. Minimaler Grad = 2. Faktor: \( (x + 3)^2 \).
* Gerader Linienschnitt bei \( x = 2 \implies \) Vielfachheit 1. Faktor: \( (x - 2) \).
* Flacher "S"-Schnitt bei \( x = 5 \implies \) Ungerade Vielfachheit größer als 1. Minimaler Grad = 3. Faktor: \( (x - 5)^3 \).

Schritt 2: Gleichung aufstellen
Die Multiplikation dieser Faktoren ergibt ein Polynom 6. Grades:
\[ H(x) = k(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]

Schritt 3: Nach \( k \) auflösen
Setzen Sie den Punkt \( (3, -72) \) ein:
\[ -72 = k(3 + 3)^2(3 - 2)(3 - 5)^3 \] \[ -72 = k(6)^2(1)(-2)^3 \] \[ -72 = k(36)(-8) \] \[ -72 = -288k \]
\[ k = \dfrac{-72}{-288} = \dfrac{1}{4} \]

Fazit:
\[ H(x) = 0.25(x + 3)^2(x - 2)(x - 5)^3 \]