Finden Sie ein Polynom anhand seines Graphen - Fragen mit Lösungen
Lernen Sie, wie Sie eine Polynomfunktion anhand ihres Graphen bestimmen. Diese Seite enthält Beispielaufgaben mit schrittweisen Lösungen und klaren Erklärungen, die Ihnen helfen, den Prozess zu verstehen.
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Frage 1 - Kubisches Polynom mit mehrfachen Nullstellen
Finden Sie die Gleichung der unten gezeigten kubischen Polynomfunktion \( g \).
Der Graph der Funktion hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -1 \), was dem Faktor \( x + 1 \) entspricht, und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = 3 \) (der Graph berührt die x-Achse, schneidet sie aber nicht), was dem Faktor \( (x - 3)^2 \) entspricht, daher hat die Funktion \( g \) die Gleichung:
\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \]wobei \( k \) eine Konstante ist.
Die Konstante \( k \) kann mit dem im Graphen gezeigten Punkt mit den Koordinaten \( (1, 3) \) ermittelt werden.
\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \]Vereinfachen und nach \( k \) auflösen.
\[ k = \dfrac{3}{8} \]\( g(x) \) ist gegeben durch:
\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]Frage 2 - Polynom vierten Grades mit Vielfachheiten
Finden Sie die Polynomfunktion vierten Grades \( f \), deren Graph in der folgenden Abbildung dargestellt ist.
Der Graph des Polynoms hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = 2 \), was dem Faktor \( (x - 2) \) entspricht, eine weitere Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -2 \), was dem Faktor \( (x + 2) \) entspricht, und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = -1 \) (der Graph berührt die x-Achse, schneidet sie aber nicht), was dem Faktor \( (x + 1)^2 \) entspricht, daher hat das Polynom \( f \) die Gleichung:
\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]wobei \( k \) eine Konstante ist.
Die Konstante \( k \) kann mit dem im Graphen gezeigten y-Achsenabschnitt \( f(0) = -1 \) ermittelt werden.
\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \]Vereinfachen und nach \( k \) auflösen.
\[ k = \dfrac{1}{4} \]\( f(x) \) ist gegeben durch:
\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]Frage 3 - Polynom 4. Grades mit verschiedenen Vielfachheiten
Finden Sie die Gleichung des unten gezeichneten Polynoms vierten Grades \( f \).
Der Graph hat \( x \)-Achsenabschnitte bei \( x = 0 \) und \( x = \dfrac{5}{2} \). Diese \( x \)-Achsenabschnitte sind die Nullstellen des Polynoms \( f(x) \). Da der Graph die \( x \)-Achse bei \( x = 0 \) und \( x = \dfrac{5}{2} \) schneidet, haben beide Nullstellen eine ungerade Vielfachheit. Der Graph bei \( x = 0 \) hat eine kubische Form, daher hat die Nullstelle bei \( x = 0 \) die Vielfachheit 3. Die Form des Graphen bei \( x = \dfrac{5}{2} \) ist nahezu linear, daher hat die Nullstelle bei \( x = \dfrac{5}{2} \) die Vielfachheit 1. Unter Verwendung der Nullstellen bei \( x = 0 \) und \( x = \dfrac{5}{2} \) kann \( f(x) \) geschrieben werden als
\[ f(x) = k(x - 0)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right), \quad \text{wobei } k \text{ eine Konstante ist.} \]Wir verwenden nun den Punkt \( (2, -4) \), um \( k \) zu finden.
\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right), \quad \text{löse nach } k \text{ auf, um zu erhalten} \quad k = 1 \]Die Gleichung des Polynoms \( f(x) \) ist gegeben durch
\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]Frage 4 - Koeffizienten eines kubischen Polynoms
Der Graph eines kubischen Polynoms \( y = a x^3 + b x^2 +c x + d \) ist unten dargestellt. Finden Sie die Koeffizienten \( a, b, c \) und \( d \).
Das Polynom hat den Grad 3. Der Graph des Polynoms hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -2 \), was dem Faktor \( x + 2 \) entspricht, und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = 1 \), was dem Faktor \( (x - 1)^2 \) entspricht. Daher kann das Polynom geschrieben werden als
\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]Wir müssen nun \( k \) mit dem im Graphen gezeigten y-Achsenabschnitt \( (0 , 1) \) bestimmen.
\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 = 2k \]Löse nach \( k \) auf.
\[ k = \dfrac{1}{2} \]Wir entwickeln nun das Polynom, schreiben es in Standardform und identifizieren die Koeffizienten \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \).
\[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)^2 = 0.5x^3 - 1.5x + 1 \]Wir vergleichen nun den oben gefundenen Ausdruck des Polynoms mit
\[ y = ax^3 + bx^2 + cx + d \]und erhalten die Werte der Koeffizienten
\[ a = 0.5, \quad b = 0, \quad c = -1.5, \quad d = 1 \]Frage 5 - Symmetrie einer geraden Polynomfunktion
Der Graph des Polynoms \( y=a x^4+bx^3+c x^2+d x+e \) ist symmetrisch zur y-Achse, wie unten gezeigt. Finden Sie die Koeffizienten \( b, d \) und \( e \).
Der Graph des Polynoms ist symmetrisch zur y-Achse und daher muss die oben angegebene Polynomfunktion eine gerade Funktion sein. Die Terme \( b x^3 \) und \( d x \), die im obigen Ausdruck des Polynoms enthalten sind, sind nicht gerade, daher sind ihre Koeffizienten gleich 0. Somit
\[ b = 0 , \quad d = 0 \]und daher ist \( y \) gegeben durch
\[ y = a x^4 + c x^2 + e \]Der Koeffizient \( e \) wird mit dem y-Achsenabschnitt \( (0 , -2) \) aus dem Graphen ermittelt.
\[ -2 = a (0)^4 + c (0)^2 + e \] \[ e = -2 \]