Geometrie-Aufgaben mit Lösungen für die 12. Klasse

Das Dreieck $ABC$ hat zwei gleich lange Seiten und ist daher ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $AC$. Das Maß des Winkels $\angle BAC$ ergibt sich aus:

$$ \angle BAC = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ $$

Der Winkel $\angle BOC$ ist ein Zentriwinkel und $\angle BAC$ ist ein Peripheriewinkel, und beide Winkel schließen denselben Bogen $BC$ ein. Nach dem Peripheriewinkelsatz gilt:

$$ \text{Maß von } \angle BOC = 2 \times \text{Maß von } \angle BAC = 2 \times 72^\circ = \mathbf{144^\circ} $$

Seien $R_1, R_2$ und $R_3$ die Radien der Kreise $C_1, C_2$ und $C_3$, wobei $R_1 = R_2 = R$.

Sei $C_3O$ der vertikale Abstand vom Zentrum von $C_3$ zur horizontalen Linie, die die Zentren $C_1$ und $C_2$ verbindet. Daher gilt: $$ h = C_3O + R \quad (I) $$

Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck $C_3 O C_1$ an: $$ C_3O^2 + \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = (R + R_3)^2 $$

Auflösen nach $C_3O$: $$ C_3O = \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} $$

Unter Verwendung von Gleichung (I) substituieren wir $C_3O$, um die endgültige Höhe $h$ zu erhalten: $$ \mathbf{h = R + \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2}} $$

Seien $r, R_2$ und $R_3$ die Radien der Kreise $C_1, C_2$ und $C_3$, wobei $R_2 = R_3 = R$. Es gilt $r = 10$ cm.

Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck $M C_1 C_3$ an: $$ C_1C_3^2 = MC_3^2 + MC_1^2 \quad (I) $$

Aus der Geometrie der Figur können wir die Seitenlängen durch Radien ausdrücken: $C_1C_3 = r + R$ $MC_3 = R$ $MC_1 = R - r$

Einsetzen in Gleichung (I): $$ (r + R)^2 = R^2 + (R - r)^2 $$

Ausmultiplizieren und Vereinfachen der Gleichung: $$ r^2 + 2rR + R^2 = R^2 + R^2 - 2rR + r^2 $$ $$ 2rR = R^2 - 2rR $$ $$ 4rR = R^2 $$

Da $R > 0$, teilen wir beide Seiten durch $R$: $$ R = 4r $$

Einsetzen von $r = 10$ cm: $$ \mathbf{R = 4(10) = 40 \text{ cm}} $$

Die Winkel $\angle BtA$ und $\angle CtD$ sind Scheitelwinkel, daher gilt: $$ \angle BtA = 90^\circ $$

Da $\angle BtA = 90^\circ$ ein Peripheriewinkel ist, muss $AB$ der Durchmesser des Kreises sein (Satz des Thales).

Da $CD$ parallel zu $AB$ ist, sind das Dreieck $BtA$ und das Dreieck $CtD$ ähnliche Dreiecke. Das Verhältnis ihrer entsprechenden Höhen und Basen ergibt: $$ \dfrac{3}{5} = \dfrac{AB}{x} $$

Auflösen nach dem Durchmesser $AB$: $$ AB = \dfrac{3x}{5} $$

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers: $$ \text{Radius} = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3x}{10} $$

Berechnung der Kreisfläche: $$ \text{Fläche} = \pi \times \text{Radius}^2 = \pi \left(\dfrac{3x}{10}\right)^2 = \mathbf{0.09\pi x^2} $$

Unterteilen wir das große Quadrat durch horizontale und vertikale Linien durch das Zentrum in vier kleinere Quadrate.

Betrachten Sie ein kleines Quadrat (z. B. unten links). Dieses Quadrat hat eine Seitenlänge von $2x$ (die Hälfte von $4x$). Ein Teil dieses Quadrats ist schraffiert, während der andere Teil weiß (nicht schraffiert) ist. Der schraffierte Teil wird durch einen Viertelkreis begrenzt. Konzentrieren wir uns zuerst auf den weißen Teil.

Die Fläche der nicht schraffierten (weißen) Ecke in einem kleinen Quadrat ist die Fläche des kleinen Quadrats minus der Fläche des Viertelkreises: $$ \text{Fläche eines weißen Bereichs} = (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 = 4x^2 - \pi x^2 $$

Im gesamten großen Quadrat gibt es 8 identische weiße Bereiche (2 in jedem der 4 kleinen Quadrate).

Die Fläche $A$ des schraffierten Teils der gesamten Form ist die Gesamtfläche des großen Quadrats abzüglich der 8 nicht schraffierten Bereiche: $$ A = (4x)^2 - 8 \left[ (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 8 \left[ 4x^2 - \pi x^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 32x^2 + 8\pi x^2 $$ $$ A = 8\pi x^2 - 16x^2 $$ $$ \mathbf{A = 16x^2 \left( \dfrac{\pi}{2} - 1 \right)} $$

Zeichnen Sie einen Radius zum Berührungspunkt (dies bildet einen rechten Winkel) und einen Radius zum Ende der Sehne. Dies bildet ein rechtwinkliges Dreieck.

Das rechtwinklige Dreieck hat eine Hypotenuse der Länge $R$, eine Kathete der Länge $r$ und die zweite Kathete ist genau die Hälfte der Sehnenlänge ($20 / 2 = 10$ mm). Verwenden Sie den Satz des Pythagoras:

$$ R^2 = r^2 + 10^2 \quad (I) $$ $$ R^2 - r^2 = 100 $$

Die Fläche $A$ des Rings wird gefunden, indem die Fläche des kleinen Kreises von der des großen Kreises abgezogen wird: $$ A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \quad (II) $$

Einsetzen von $R^2 - r^2 = 100$ in die Flächenformel: $$ \mathbf{A = 100\pi \text{ mm}^2} $$

Die Fläche eines Parallelogramms kann mithilfe des Betrags des Kreuzprodukts der Vektoren $\mathbf{AB}$ und $\mathbf{AD}$ berechnet werden:

$$ \text{Fläche} = | \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} | $$

Berechnen Sie zuerst die Vektoren aus den gegebenen Punkten $A(-2, -2), B(2, b), D(4, 2)$: $$ \mathbf{AB} = \langle 2 - (-2), b - (-2), 0 \rangle = \langle 4, b + 2, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{AD} = \langle 4 - (-2), 2 - (-2), 0 \rangle = \langle 6, 4, 0 \rangle $$

Berechnen Sie die Determinantenform des Kreuzprodukts: $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & b+2 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}((4)(4) - (6)(b+2)) $$ $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = (16 - 6b - 12)\mathbf{k} = (4 - 6b)\mathbf{k} $$

Bilden des Betrags und Gleichsetzen mit 80: $$ |4 - 6b| = 80 $$ $$ 4 - 6b = 80 \quad \text{oder} \quad 4 - 6b = -80 $$ $$ -6b = 76 \implies b = -\dfrac{38}{3} $$ $$ -6b = -84 \implies b = 14 $$

Da Punkt $B(2, b)$ auf dem Graphen eindeutig im ersten Quadranten liegt, wählen wir $b = 14$.

Da $ABCD$ ein Parallelogramm ist, sind gegenüberliegende Vektoren gleich: $\mathbf{AB} = \mathbf{DC}$. $$ \mathbf{AB} = \langle 4, 14 + 2, 0 \rangle = \langle 4, 16, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{DC} = \langle c - 4, d - 2, 0 \rangle $$

Gleichsetzen der entsprechenden Komponenten: $c - 4 = 4 \implies c = 8$ $d - 2 = 16 \implies d = 18$

Fazit: $$ \mathbf{b = 14, \; c = 8, \; d = 18} $$

Es gibt 3 rechtwinklige Dreiecke. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um eine Gleichung für jedes aufzustellen:

$$ y^2 + z^2 = 12^2 \quad (I) $$ $$ x^2 + z^2 = 9^2 \quad (II) $$ $$ (x + y)^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \quad (III) $$

Lösen Sie Gleichung (III) durch Ziehen der Quadratwurzel (da Längen positiv sein müssen): $$ x + y = 15 $$

Subtrahieren Sie Gleichung (II) von Gleichung (I), um $z^2$ zu eliminieren: $$ (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = 144 - 81 $$ $$ y^2 - x^2 = 63 $$

Faktorisieren der Differenz von Quadraten: $$ (y - x)(y + x) = 63 $$

Einsetzen von $x + y = 15$ in die faktorisierte Gleichung: $$ (y - x)(15) = 63 \implies y - x = \dfrac{63}{15} = \dfrac{21}{5} $$

Lösen des Gleichungssystems: $$ y + x = 15 = \dfrac{75}{5} $$ $$ y - x = \dfrac{21}{5} $$ Addition ergibt: $2y = \dfrac{96}{5} \implies \mathbf{y = \dfrac{48}{5}}$. Subtraktion ergibt: $2x = \dfrac{54}{5} \implies \mathbf{x = \dfrac{27}{5}}$.

Verwenden von Gleichung (I), um $z$ zu finden: $$ \left(\dfrac{48}{5}\right)^2 + z^2 = 144 \implies z^2 = 144 - \dfrac{2304}{25} = \dfrac{3600 - 2304}{25} = \dfrac{1296}{25} $$ $$ \mathbf{z = \dfrac{36}{5}} $$

Unterteilen Sie das Rechteck in 4 kleinere Rechtecke, indem Sie vertikale und horizontale Linien durch den inneren Punkt ziehen.

Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf die vier rechtwinkligen Dreiecke an den Ecken an (seien die Katheten $a, b, c, d$ wie im Diagramm):

$$ a^2 + c^2 = 4^2 \quad (I) \text{ (Oben links)} $$ $$ b^2 + c^2 = x^2 \quad (II) \text{ (Unten links)} $$ $$ b^2 + d^2 = 5^2 \quad (III) \text{ (Unten rechts)} $$ $$ a^2 + d^2 = 6^2 \quad (IV) \text{ (Oben rechts)} $$

Subtrahieren Sie Gleichung (II) von (I): $$ a^2 - b^2 = 4^2 - x^2 $$

Subtrahieren Sie Gleichung (III) von (IV): $$ a^2 - b^2 = 6^2 - 5^2 $$

Setzen Sie die beiden Ausdrücke für $(a^2 - b^2)$ gleich: $$ 4^2 - x^2 = 6^2 - 5^2 $$ $$ 16 - x^2 = 36 - 25 $$ $$ 16 - x^2 = 11 $$ $$ x^2 = 5 $$ $$ \mathbf{x = \sqrt{5}} $$

Aufgrund der Symmetrie kann die schraffierte Region in zwei gleiche linke und rechte Hälften geteilt werden. Berechnen wir die Fläche der linken Hälfte.

Die linke Hälfte der Überlappungsregion ist die Fläche des Kreissektors $BOC$ minus der Fläche des Dreiecks $BOC$. Da der Abstand zwischen den Zentren 6 ist, beträgt die Länge von $OM$ (die Hälfte des Abstands) 3.

Das Dreieck $BOM$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, daher können wir den Winkel $BOM$ bestimmen: $$ \cos(\angle BOM) = \dfrac{OM}{OB} = \dfrac{3}{4} $$ $$ \angle BOM = \arccos(0,75) $$

Der volle Zentriwinkel $BOC$ ist doppelt so groß wie $\angle BOM$. Daher gilt:

1. Fläche Sektor $BOC = \dfrac{1}{2} (2 \angle BOM) r^2$ (im Bogenmaß)

2. Fläche Dreieck $BOC = \dfrac{1}{2} \sin(2 \angle BOM) r^2$

Die gesamte schraffierte Fläche ist das Doppelte der linken Hälfte: $$ \text{Gesamtfläche} = 2 \left[ \dfrac{1}{2}(2 \angle BOM)r^2 - \dfrac{1}{2}\sin(2 \angle BOM)r^2 \right] $$ $$ \text{Gesamtfläche} = r^2 \left( 2 \angle BOM - \sin(2 \angle BOM) \right) $$

Einsetzen von $r = 4$ und $\angle BOM = \arccos(0,75)$: $$ \text{Gesamtfläche} = 4^2 \left( 2\arccos(0,75) - \sin(2\arccos(0,75)) \right) $$ $$ \text{Gesamtfläche} = 16 \left( 1,445 - 0,992 \right) \approx \mathbf{7,25 \text{ Flächeneinheiten}} $$

1. Satz identifizieren:
Diese Aufgabe erfordert den Sehnensatz. Er besagt, dass, wenn sich zwei Sehnen innerhalb eines Kreises schneiden, das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne ist.

2. Gleichung aufstellen:
$$ AP \times PB = CP \times PD $$

3. Einsetzen und Lösen:
$$ 4 \times 6 = 3 \times PD $$ $$ 24 = 3 \times PD $$ $$ \mathbf{PD = 8} $$

1. Zerlegung des Sechsecks:
Ein regelmäßiges Sechseck, das in einen Kreis einbeschrieben ist, kann durch Linien vom Kreismittelpunkt zu den 6 Eckpunkten in genau 6 identische gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Da es ein regelmäßiges Sechseck ist, ist die Seitenlänge des Sechsecks genau gleich dem Radius des Umkreises ($s = R = 10$).

2. Fläche eines gleichseitigen Dreiecks:
Die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Seite $s$ lautet: $$ A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 $$ Einsetzen von $s = 10$: $$ A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(100) = 25\sqrt{3} $$

3. Gesamtfläche:
Multiplizieren Sie mit den 6 Dreiecken, aus denen das Sechseck besteht: $$ A_{\text{Gesamt}} = 6 \times 25\sqrt{3} = \mathbf{150\sqrt{3}} $$

1. Satz identifizieren:
Um die Länge einer Seitenhalbierenden zu finden, wenn alle drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind, verwenden wir den Satz des Apollonius, der die Länge einer Seitenhalbierenden mit den Längen ihrer Seiten in Beziehung setzt: $$ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) $$

2. Segmente bestimmen:
Da $AM$ eine Seitenhalbierende ist, teilt $M$ die Seite $BC$ perfekt in zwei Hälften. $$ BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{9}{2} = 4,5 $$

3. Einsetzen und Lösen:
$$ 7^2 + 8^2 = 2\left(AM^2 + 4,5^2\right) $$ $$ 49 + 64 = 2(AM^2 + 20,25) $$ $$ 113 = 2AM^2 + 40,5 $$ $$ 72,5 = 2AM^2 $$ $$ AM^2 = 36,25 = \dfrac{145}{4} $$ $$ \mathbf{AM = \dfrac{\sqrt{145}}{2}} \approx 6,02 $$