Geometrieprobleme mit Lösungen für die 12. Klasse

Das Dreieck \( ABC \) hat zwei Seiten gleicher Länge und ist daher ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis AC. Das Maß des Winkels \( \angle BAC \) ist gegeben durch:

\[ \angle BAC = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ \] Der Winkel \( \angle BOC \) ist ein Mittelpunktswinkel und \( \angle BAC \) ist ein Umfangswinkel, und beide Winkel schneiden denselben Bogen; daher gilt: \[ \text{Maß von } \angle BOC = 2 \times \text{Maß von } \angle BAC = 144^\circ \]

Seien \( R_1, \; R_2 \) und \( R_3 \) die Radien der Kreise C1, C2 und C3, mit \( R_1 = R_2 = R \).

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Sei \( C3O \) der Abstand von C3 zur Strecke C1, C2. Daher \[ h = C3O + R \quad (I) \]

Wende den Satz des Pythagoras auf das Dreieck C3 O C1 an \[ C3O^2 + \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = (R + R_3)^2 \]

woraus folgt \[ C3O = \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]

Unter Verwendung von (I) erhalten wir \[ h = R + C_3O = R + \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]

Seien \( r \), \( R_2 \) und \( R_3 \) die Radien der Kreise \( C1 \), \( C2 \) bzw. \( C3 \), mit \( R_2 = R_3 = R \).

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Satz des Pythagoras, angewandt auf das Dreieck \( M C1 C3 \) \[ C1C3^2 = MC3^2 + MC1^2 \quad (I) \] Einsetzen: \(C1C3 = r+R , \; MC3 = R , \; MC1 = R - r \) in \( (I) \) Ausmultiplizieren, vereinfachen und nach \( R \) auflösen \[ R = 4r = 40 \text{ cm} \]

Die Winkel \( \angle BtA \) und \( \angle CtD \) sind Scheitelwinkel und daher

\[ \angle BtA = 90^\circ \] Da \( \angle BtA = 90^\circ \), ist \( AB \) der Durchmesser des Kreises unter Verwendung der Umkehrung des Satzes von Thales.

Da \( CD \) parallel zu \( AB \) ist, sind das Dreieck \( BtA \) und das Dreieck \( CtD \) ähnlich, und daher ergibt die Proportionalität der entsprechenden Seiten: \[ \dfrac{3}{5} = \dfrac{AB}{x} \] Löse nach dem Durchmesser \( AB \) auf \[ AB = \dfrac{3x}{5} \quad \] \[ \text{Radius} = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3x}{10} \] \[ \text{Fläche} = \pi \times \text{Radius}^2 = \pi \left(\dfrac{3x}{10}\right)^2 = 0.09 \pi x^2 \]

Teilen wir das große Quadrat in vier kleine Quadrate auf, wie im Bild gezeigt.

Betrachten wir ein kleines Quadrat, zum Beispiel das unten links. Das Quadrat unten hat eine Seitenlänge von \( 2x \), was der Hälfte des gegebenen Quadrats entspricht. Ein Teil dieses Quadrats ist schattiert, der andere Teil nicht. Finden wir die Fläche des nicht schattierten (weißen) Teils. Der schattierte Teil ist ein Viertel einer Kreisscheibe.

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\[ \text{Fläche des nicht schattierten Bereichs} = \text{Fläche des Quadrats - 1/4 der Kreisfläche} = (2x)^2 - \dfrac{1}{4} \pi (2x)^2 \]

Wenn wir zur gegebenen Form in Aufgabe 5 zurückkehren, ist die Gesamtfläche des nicht schattierten Teils \( 8 \) mal die nicht schattierte Fläche im Bild des kleinen Quadrats oben, die durch \( (2x)^2 - \dfrac{1}{4} \pi (2x)^2 \) gegeben ist.

Die Fläche A des schattierten Teils in der Form von Aufgabe 5 ist gegeben durch: \[ A = \text{Gesamtfläche des großen Quadrats} - \text{Gesamte nicht schattierte Fläche} \] \[ = (4x)^2 - 8 \left[ (2x)^2 - \dfrac{1}{4} \pi (2x)^2 \right] \] \[ = 16x^2 \left( \dfrac{\pi}{2} - 1 \right) \]

Das rechtwinklige Dreieck im Bild hat eine Hypotenuse der Länge \( R \), eine Seite \( r \) und die zweite Seite die Hälfte der Sehne mit der Länge \( 20 / 2 \) mm.

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Verwende den Satz des Pythagoras

\[ R^2 = r^2 + 10^2 \quad (I) \] Die Fläche \( A \) des Rings wird durch Subtrahieren der Fläche des kleinen Kreises von der des großen Kreises ermittelt: \[ A = \pi (R^2 - r^2) \quad (II) \] Die erste Gleichung \( I \) ergibt \[ R^2 - r^2 = 10^2 = 100 \] Setze dies in \( (II) \) ein, um die Fläche des Rings zu erhalten \[ A = 100 \pi \] \]

Die Fläche eines Parallelogramms kann mit dem Kreuzprodukt der Vektoren \(\mathbf{AB}\) und \(\mathbf{AD}\) wie folgt berechnet werden: \[ \text{Fläche} = \left| \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} \right| \] wobei \(\mathbf{AB}\) und \(\mathbf{AD}\) dreidimensionale Vektoren sind, deren \( z \)-Komponente gleich Null ist, damit wir das Kreuzprodukt \( \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} \) bilden können.

Jeder Vektor wird mit den Koordinaten der Punkte, die den Vektor definieren, wie folgt berechnet: \[ \mathbf{AB} = \langle 2 - (-2) , b - (- 2), 0 - 0 \rangle = \langle 4 , b + 2, 0 \rangle \] \[ \mathbf{AD} = \langle 4-(-2), 2 - (-2) , 0 \rangle = \langle 6, 4, 0 \rangle \] Berechnung der Größe des Kreuzprodukts: \[ \left| \langle 4, b+2, 0 \rangle \times \langle 6, 4, 0 \rangle \right| = 80 \] Die Determinantenform des Kreuzprodukts in drei Dimensionen ist: \[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & b+2 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix} \] Entwicklung nach der ersten Zeile: \[ = \mathbf{i} \begin{vmatrix} b+2 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 4 & b+2 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} \] was ergibt \[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = (16 - 6(b+2)) \mathbf{k} = (4 - 6b) \mathbf{k} \] Bildung der Größe: \[ |4 - 6b| = 80 \] Löse nach \( b \): \[ 4 - 6b = 80 \quad \text{oder} \quad 4 - 6b = -80 \] \[ b = -\dfrac{38}{3}, \quad b = 14 \] Da Punkt \( B(2, b) \) im ersten Quadranten liegt, wählen wir \( b = 14 \). Da \( ABCD \) ein Parallelogramm ist, gilt: \[ \mathbf{AB} = \mathbf{DC} \] Somit, \[ \mathbf{AB} = \langle 4, 16, 0 \rangle \] \[ \mathbf{DC} = \langle c - 4, d - 2, 0 \rangle \] Gleichsetzen der entsprechenden Komponenten: \[ c - 4 = 4, \quad d - 2 = 16 \] Lösen: \[ c = 8, \quad d = 18 \] Daher: \( b = 14 \), \( c = 8\) und \( d = 18 \)

Es gibt 3 rechtwinklige Dreiecke. Verwende den Satz des Pythagoras, um eine Gleichung für jedes Dreieck aufzustellen: \[ y^2 + z^2 = 12^2 \quad (I) \] \[ x^2 + z^2 = 9^2 \quad (II) \] \[ (y + x)^2 = 12^2 + 9^2 = 225 \quad (III) \] Löse Gleichung \((III)\) durch Ziehen der Quadratwurzel \[ x + y = 15 \] Subtrahiere Gleichung \((II)\) von Gleichung \((I)\), wir erhalten: \[ y^2 - x^2 = 12^2 - 9^2 = 63 \quad (IV) \] Faktorisiere die linke Seite der obigen Gleichung: \[ (y - x)(y + x) = 63 \] Setze \( x + y = 15 \) in die obige Gleichung ein und vereinfache, um zu erhalten: \[ y - x = \dfrac{21}{5} \] Löse das System, das aus den Gleichungen besteht \[ \begin{cases} x + y = 15 \\ y - x = \dfrac{21}{5} \end{cases} \]

um \( x = \dfrac{27}{5} \) und \( y = \dfrac{48}{5} \) zu finden

Verwende Gleichung \( (I) \), um \( z \) zu finden \[ \left(\dfrac{48}{5}\right)^2 + z^2 = 12^2 \] \[ z^2 = 12^2 - \left(\dfrac{48}{5}\right)^2 = \dfrac{1296}{25} \] Daher \[ z = \dfrac{36}{5} \] Die Werte von \( x, y \) und \( z \) sind \[ x = \dfrac{27}{5}, \quad y = \dfrac{48}{5}, \quad z = \dfrac{36}{5} \]

Teile das gegebene Rechteck in 4 weitere Rechtecke wie gezeigt.

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Der Satz des Pythagoras, angewandt auf das obere linke rechtwinklige Dreieck mit Seite \( a \) und Hypotenuse \( 4 \), ergibt: \[ a^2 + c^2 = 4^2 \quad (I) \] Der Satz des Pythagoras, angewandt auf das untere linke rechtwinklige Dreieck, ergibt: \[ b^2 + c^2 = x^2 \quad (II) \] Der Satz des Pythagoras, angewandt auf das untere rechte rechtwinklige Dreieck: \[ b^2 + d^2 = 5^2 \quad (III) \] Der Satz des Pythagoras, angewandt auf das obere rechte rechtwinklige Dreieck: \[ a^2 + d^2 = 6^2 \quad (IV) \] Subtrahiere Gleichung \( (II) \) von \( (I) \) \[ a^2 - b^2 = 4^2 - x^2 \] Subtrahiere Gleichung \( (III) \) von \( (IV) \) \[ a^2 - b^2 = 6^2 - 5^2 \] Setze \( a^2 - b^2 = 4^2 - x^2 \) in die obige Gleichung ein, um zu erhalten: \[ 4^2 - x^2 = 6^2 - 5^2 \] Löse nach \( x \) auf. \[ x = \sqrt{5} \]

Aufgrund der Symmetrie kann der schattierte Bereich als aus zwei flächengleichen Bereichen bestehend betrachtet werden. Die Fläche der linken Hälfte des schattierten Bereichs ist gegeben durch die Fläche des Sektors \( BOC \) minus die Fläche des Dreiecks \( BOC \).

Da der Abstand zwischen den Mittelpunkten \( 6 \) beträgt, ist die Länge von \( OM \) gegeben durch: \[ OM = 6/2 = 3 \] \( BOM \) ist ein rechtwinkliges Dreieck, daher \[ \cos \angle BOM = \dfrac{OM}{OB} = \dfrac{3}{4} \] \[ \angle BOM = \arccos\left(\dfrac{3}{4}\right) \] Die Fläche des Sektors \( BOC \) ist: \[ \text{Fläche des Sektors } BOC = \dfrac{1}{2} (2 \angle BOM ) r^2 \] Die Fläche des Dreiecks \( BOC \) ist: \[ \text{Fläche des Dreiecks } BOC = \dfrac{1}{2} \sin(2 \angle BOM ) r^2 \] Somit ist die Fläche des schattierten Bereichs: \[ 2 \left[ \dfrac{1}{2} (2 \angle BOM) r^2 - \dfrac{1}{2} \sin(2 \angle BOM ) r^2 \right] \] Ersetze \( \angle BOM \) durch \( \arccos\left(\dfrac{3}{4}\right) \) und \( r = 4 \) \[ = \left(2 \arccos\left(\dfrac{3}{4}\right) - \sin \left(2 \arccos\left(\dfrac{3}{4}\right) \right) \right) 4^2 \] \[ \approx 7.25 \text{ Quadrateinheiten} \quad \text{(gerundet auf 3 Dezimalstellen)} \]