Geometrie Probleme mit Lösungen und Antworten für Klasse 12

Klasse 12 Geometrie Probleme mit detaillierten Lösungen werden präsentiert. Diese geometrischen Probleme werden hier vorgestellt, um Ihnen zu helfen, nachzudenken und zu lernen, wie man Probleme löst. Geben Sie nicht schnell auf, wenn ein Problem anspruchsvoll ist. Nehmen Sie sich Zeit, diese Probleme zu lösen, und arbeiten Sie möglichst in Gruppen, da Gruppenarbeit dazu ermutigt, Ideen zu diskutieren und voneinander zu lernen. Wir lernen, indem wir Probleme lösen, die wir anfangs nicht wissen, wie wir sie lösen sollen.

    Probleme

  1. Im Dreieck ABC haben die Seiten AB und CB gleiche Längen, und der Messwert des Winkels ABC beträgt 36 Grad. Was ist der Maß des Winkels BOC, wobei O der Mittelpunkt des Kreises ist?

    Problem 1.

  2. Die Kreise C1 und C2 haben gleiche Radien und sind tangential zu derselben Linie L. Kreis C3 ist tangential zu C1 und C2. x ist der Abstand zwischen den Zentren von C1 und C2. Finden Sie den Abstand h vom Zentrum von C3 zur Linie L in Abhängigkeit von x und den Radien der drei Kreise.

    Problem 2.

  3. Alle drei Kreise sind tangential zur gleichen Linie und zueinander. Die Kreise C2 und C3 haben gleiche Radien. Finden Sie den Radius von C2, wenn der Radius von C1 10 cm beträgt.

    Problem 2.

  4. CD ist parallel zu AB und der Messwert des Winkels t beträgt 90 Grad. Finden Sie den Flächeninhalt des Kreises in Abhängigkeit von x.

    Problem 3.

  5. Die schattierte Region unten ist der gemeinsame Bereich von vier Halbkreisen, deren Durchmesser die Seiten des Quadrats mit der Seitenlänge 4x sind. Finden Sie den Flächeninhalt der schattierten Region in Abhängigkeit von x.

    Problem 4.

  6. Die beiden Kreise unten sind konzentrisch (haben denselben Mittelpunkt). Die Länge der zur kleineren Kreis tangentialen Sehne beträgt 20 mm. Was ist der Flächeninhalt des Rings (schattierte Bereich) zwischen den beiden Kreisen?

    Problem 6.

  7. Finden Sie a, b und c, so dass das Viereck ein Parallelogramm mit einem Flächeninhalt von 80 Quadrat-Einheiten ist.

    Problem 7.

  8. Ein rechtwinkliges Dreieck ist unten dargestellt. Finden Sie die Längen x, y und z.

    Problem 8.

  9. Ein Rechteck ist unten dargestellt. Finden Sie die Länge x.

    Problem 9.

  10. Die beiden Kreise unten haben gleiche Radien von jeweils 4 Einheiten, und der Abstand zwischen ihren Zentren beträgt 6 Einheiten. Finden Sie den Flächeninhalt der schattierten Region.

    Problem 10.

Lösungen zu den obigen Problemen


  1. Maß des Winkels BAC = (180 - 36)/2 = 72 Grad: gleichschenkliges Dreieck
    Maß des Winkels BOC = 2 * Maß des Winkels BAC = 144 Grad: eingeschriebener Winkel und Zentralwinkel, die denselben Bogen abschneiden.

  2. Seien R1, R2 und R3 die Radien der Kreise C1, C2 und C3 mit R1 = R2 = R
    h = C3O + R
    C3O2 + (x/2)2 = (R + R3)2: Satz des Pythagoras auf das Dreieck C3OC1 angewendet.
    h = R + C3O = R + √[ (R + R3)2 - (x/2)2 ]

    Lösung zu Problem 2.


  3. Seien r, R2 und R3 die Radien der Kreise C1, C2 und C3 mit R2 = R3 = R
    (r + R)2 = R2 + (R - r)2: Satz des Pythagoras auf das Dreieck MC1C3 angewendet
    R = 4r = 40 cm: erweitern und nach R auflösen.

    Lösung zu Problem 2.


  4. Das Maß des Winkels BtA ist gleich 90 Grad: Stufenwinkel
    AB ist der Durchmesser des Kreises: Umkehrung des Thales-Theorems
    Die Dreiecke BtA und CtD sind ähnlich: CD parallel zu AB
    3/5 = AB/x: entsprechende Seiten proportional.
    AB = 3x/5: Nach AB auflösen
    Radius = AB/2 = 3x/10
    Fläche = Pi(3x/10)2 = 0,09 Pi x2

  5. Das Quadrat unten hat eine Seitenlänge von 2x, die Hälfte des gegebenen Quadrats. Ein Teil davon ist schattiert und der andere Teil ist nicht schattiert. Lassen Sie uns den Flächeninhalt des nicht schattierten Teils (weiß) berechnen. Der schattierte Teil ist ein Viertel einer Scheibe (Kreis).
    Fläche des nicht schattierten Bereichs = (2x)2 - (1/4) Pi (2x)2
    Wenn wir zur gegebenen Form in Problem 5 zurückkehren, ist die Fläche des nicht schattierten Teils 8-mal so groß wie die nicht schattierte Fläche in der vorliegenden Form, die oben berechnet wurde.
    Fläche des schattierten Teils in der Form von Problem 5 = Gesamtfläche des Quadrats - gesamte nicht schattierte Fläche = (4x)2 - 8*[ (2x)2 - (1/4) Pi (2x)2 ]
    = 16x2(Pi/2 - 1)

    Lösung zu Problem 5.


  6. R2 = r2 + 102: Satz des Pythagoras
    Pi(R2 - r2) = 100 Pi: Fläche des Rings

    Lösung zu Problem 7.


  7. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms kann mit dem Vektorprodukt der Vektoren AB und AD wie folgt berechnet werden.
    Fläche = |AB x AD|, wobei AB und AD 3-dimensionale Vektoren sind.
    Vektor AB = < 4 , b + 2 , 0 >: Dritte Komponente auf null setzen, da die gegebene Form 2-dimensional ist.
    Vektor AD = < 6 , 4 , 0 >
    |< 4 , b + 2 , 0 > x < 6 , 4 , 0 >| = 80: Betrag des Kreuzprodukts ist gleich der Fläche
    |4 - 6b| = 80
    b = 14 und b = -38/3: Wir wählen die Lösung b = 14, da der Punkt B(2,b) im ersten Quadranten liegt.
    Da ABCD ein Parallelogramm ist, ist Vektor AB = Vektor DC
    Vektor AB = < 4 , 16 , 0 >
    Vektor DC = < c - 4 , d - 2 , 0 >
    c - 4 = 4 und d - 2 = 16: Wenn zwei Vektoren gleich sind, sind ihre entsprechenden Komponenten gleich.
    c = 8 und d = 18: Löse die obigen Gleichungen.

  8. y2 + z2 = 122: Satz des Pythagoras
    x2 + z2 = 92: Satz des Pythagoras
    (y + x)2 = 122 + 92: Satz des Pythagoras
    x + y = 15: Löse die Gleichung C, indem du die Quadratwurzel extrahierst
    y2 - x2 = 63: Subtrahiere die Gleichungen A und B
    (y - x)(y + x) = 63: Faktorisierung des linken Terms der Gleichung E.
    y - x = 21/5
    x = 27/5, y = 48/5 und z = 36/5: Löse das System, das aus den Gleichungen D und G besteht.

  9. Teile das gegebene Rechteck in 4 andere Rechtecke auf, wie gezeigt.
    a2 + c2 = 42: Satz des Pythagoras auf das obere linke rechtwinklige Dreieck angewendet.
    b2 + c2 = x2: Satz des Pythagoras auf das untere linke rechtwinklige Dreieck angewendet.
    b2 + d2 = 52: Satz des Pythagoras auf das untere rechte rechtwinklige Dreieck angewendet.
    a2 + d2 = 62: Satz des Pythagoras auf das untere rechte rechtwinklige Dreieck angewendet.
    a2 - b2 = 42 - x2: Subtrahiere die Gleichungen B und C.
    a2 - b2 = 62 - 52: Subtrahiere die Gleichungen D und E.
    42 - x2 = 62 - 52: Kombiniere die Gleichungen F und G.
    x = √5: Löse die obige Gleichung nach x.

    Lösung zu Problem 9.


  10. Aufgrund der Symmetrie kann die schattierte Region als aus zwei gleich großen (flächenmäßig) Regionen betrachtet werden. Der Flächeninhalt des linken Halbschattierten Bereichs ergibt sich aus dem Flächeninhalt des Sektors BOC minus dem Flächeninhalt des Dreiecks BOC.
    Länge von OM = 3 (nach Symmetrie), da der Abstand zwischen den Zentren 6 beträgt und der Radius r = 4 beträgt.
    Lassen Sie t das Maß des Winkels BOM sein.
    cos(t) = OM/OB = 3/4, t = arccos(3/4): Verwendung des rechtwinkligen Dreiecks BOM.
    Fläche des Sektors BOC = (1/2)(2t)r2
    Fläche des Dreiecks BOC = (1/2)sin(2t)r2
    Fläche der schattierten Region = 2 [ (1/2)(2t)r2 - (1/2)sin(2t)r2 ]
    = [2t - sin(2t)] r2 = 7,25 Quadrat-Einheiten (auf 3 Dezimalstellen gerundet)

    Lösung zu Problem 10.

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