Logarithmische Gleichungen mit Lösungen für die 12. Klasse
Wie man logarithmische Gleichungen löst? Es werden Fragen mit detaillierten Lösungen präsentiert. Die folgenden Regeln und Eigenschaften von Logarithmen werden verwendet, um diese Gleichungen zu lösen.
Eigenschaften von Logarithmen
LogbA + LogbB = Logb(A B)
LogbA - LogbB = Logb(A / B)
n LogbA = LogbAn
Wenn LogbA = LogbB, dann A = B
Auch die grafische Näherung an die Lösungen jeder Gleichung der Form f(x) = g(x) wird als die x-Koordinaten der x-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion h(x) = f(x) - g(x) gezeigt. Dies geschieht, indem man zuerst die Gleichung schreibt, die mit ihrer rechten Seite gleich null ist, und dann die linke Seite graphisch darstellt und die x-Achsenabschnitte lokalisiert.
Fragen: Lösen Sie logarithmische Gleichungen
Frage 1
Lösen Sie die Gleichung: log(2x - 3) = log(3 - x) - 2.
Lösung
Schreiben Sie die Gleichung mit den Logarithmus-Termen auf einer Seite um.
log(2x - 3) - log(3 - x) = - 2
Schreiben Sie die Gleichung um, indem Sie -2 durch log 10-2 ersetzen
log(2x - 3) - log(3 - x) = log 10-2
Verwenden Sie die Logarithmusregel log A - Log B = log (A/B), um die Gleichung umzuschreiben als
log ((2x - 3)/(3 - x)) = log 10-2
Da die Funktion log(x) eine injektive Funktion ist, können wir schreiben
(2x - 3)/(3 - x) = 10-2
Lösen Sie die obige Gleichung
2x - 3 = (3 - x) / 100
200x - 300 = 3 - x
201x = 303
x = 303 / 201 = 101 / 67 ≈ 1,51
Überprüfen Sie die gefundene Lösung.
linke Seite: log(2(101/67) - 3) = log(1/67) = - log(67)
rechte Seite: log(3 - 101 / 67) - 2 = log(100/67) - 2 = log(100) - log(67) - 2 = 2 - log(67) - 2 = - log(67)
Die gegebene Gleichung hat eine Lösung.
x = 101 / 67 ≈ 1,51
Der x-Achsenabschnitt des Graphen der Funktion q(x) = log(2x - 3) - log(3 - x) + 2 (die linke Seite der gegebenen Gleichung, geschrieben mit ihrer rechten Seite gleich null) ist unten dargestellt. Beachten Sie, dass die x-Koordinate des x-Achsenabschnitts der Lösung, die analytisch oben erhalten wurde, nahekommt.
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Frage 2
Lösen Sie die Gleichung: log x - log(x2 - 1) = - 2 log(x - 1).
Lösung
Verwenden Sie die Logarithmusregel log A - Log B = log (A/B), um die linke Seite der Gleichung als einen Term und die Regel n log(x) = log(xn) um die rechte Seite als den Logarithmus einer Potenz umzuschreiben.
log (x/(x2 - 1)) = log (x - 1)-2
Da die Funktion log(x) eine injektive Funktion ist, können wir schreiben
x / (x2 - 1) = (x - 1)-2
Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Gleichung mit (x - 1)2 und vereinfachen Sie
(x - 1)2 (x /(x2 - 1)) = (x - 1)2 (x - 1)-2
(x - 1)2 (x /(x2 - 1)) = 1
Erweitern Sie (x - 1)2 und (x2 - 1)) und vereinfachen Sie
x(x - 1)(x - 1) / ((x + 1)(x - 1)) = 1
x(x - 1) / (x + 1) = 1
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x + 1 und vereinfachen Sie.
x(x - 1) = x + 1
x2 - 2 x - 1 = 0
Zwei Lösungen: x1 = 1 + √ 2 ≈ 2,41 und x2 = 1 - √ 2 ≈ - 0,41
Überprüfen Sie die gefundenen Lösungen.
x1 = 1 + √ 2
linke Seite: log (1 + √ 2) - log((1 + √ 2)2 - 1) = log (1 + √ 2) - log( 2 + 2 √ 2) = - log(2)
Rechte Seite: - 2 log(1 + √ 2 - 1) = -2 log(√ 2) = - log (2)
x2 = 1 - √ 2
Linke Seite: log (1 - √ 2) - log((1 - √ 2)2 - 1) ist undefiniert, weil 1 - √ 2 negativ ist und der Term log (1 - √ 2) undefiniert ist.
Die gegebene Gleichung hat eine Lösung.
x = 1 + √ 2 ≈ 2,41
Der x-Achsenabschnitt der Funktion r(x) = log x - log(x2 - 1) + 2 log(x - 1) ist unten dargestellt, und seine x-Koordinate kommt der Lösung der Gleichung nahe.
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Frage 3
Lösen Sie die Gleichung: log2(2x - 9) = 2 - log2(x - 1).
Lösung
Schreiben Sie die Gleichung um, indem Sie Terme mit Logarithmen auf derselben Seite haben und ersetzen Sie 2 durch log24.
log2(2x - 9) + log2(x - 1) = log24
Verwenden Sie die Regel log2A + log2B = log2 (A B), um die Gleichung wie folgt umzuschreiben.
log2( (2x - 9)(x - 1) ) = log24
Was gibt
(2x - 9)(x - 1) = 4
Erweitern Sie und schreiben Sie in Standardform.
2 x2 - 11 x + 5 = 0
Lösen Sie die obige quadratische Gleichung, um
Zwei Lösungen zu erhalten: x1 = 1 / 2 und x2 = 5
Überprüfen Sie die gefundenen Lösungen.
x1 = 1 / 2
linke Seite: log2(2(1/2) - 9) undefiniert, da das Argument des Logarithmus negativ ist.
x2 = 5
Linke Seite: log2(2(5) - 9) = 0
Linke Seite: 2 - log2(5 - 1) = 2 - log2 4 = 0
Die gegebene Gleichung hat eine Lösung.
x = 5
Die grafische Lösung wird unten als der x-Achsenabschnitt der Funktion s(x) = log2(2x - 9) - 2 + log2(x - 1) gezeigt.
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Frage 4
Lösen Sie die Gleichung: $$ log_{x^2}(\dfrac{16}{25}) = - 1 / 2.$$
Lösung
Verwenden Sie die inverse Beziehung zwischen der exponentiellen und logarithmischen Funktion zur gleichen Basis, um die Gleichung wie folgt umzuschreiben:
(x2)-1/2 = 16 / 25
Beachten Sie, dass (x2)-1/2 = 1 / (x2)1/2 = 1 / | x | und schreiben Sie die Gleichung wie folgt um:
1 / | x | = 16 / 25 oder | x | = 25 / 16
Was die Lösungen gibt
Zwei Lösungen: x1 = 25/16 und x2 = -25/16
Überprüfen Sie die gefundenen Lösungen.
x1 = 25/16
Linke Seite: log(25/16)2(16/25) = log(25/16)2(25/16)-1 = log(25/16)2((25/16)-2)1/2 = log(25/16)2((25/16) 2)-1/2 = - 1 / 2
x2 = - 25/16
Linke Seite: log( - 25/16)2(16/25) = log(25/16)2(16/25) = - 1 / 2
Die gegebene Gleichung hat zwei Lösungen.
x = 25 / 16 und x = - 25 / 16
Die grafische Lösung wird unten als die x-Achsenabschnitte von \( f_1(x) = log_{x^2}(\dfrac{16}{25}) + 1 / 2\).
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Frage 5
Lösen Sie die Gleichung: 2 ln(x + 3) - ln(x + 1) = 3 ln 2
Lösung
Verwenden Sie die Regeln n ln x = ln xn und ln (A/B) = ln A - ln B, um die Gleichung wie folgt umzuschreiben:
ln(x + 3)2 - ln(x + 1) = ln 23
ln ((x + 3)2 / (x + 1)) = ln 8
ln x ist eine injektive Funktion, daher
(x + 3)2 (x + 1) = 8 oder (x + 3)2 = 8(x + 1)
Schreiben Sie die obige quadratische Gleichung in Standardform.
x2 - 2 x + 1 = 0
Was eine Lösung gibt
Eine Lösung: x = 1
Überprüfen Sie die gefundene Lösung.
Linke Seite: 2 ln(1 + 3) - ln(1 + 1) = 2 ln 4 - ln 2 = 4 ln 2 - ln 2 = 3 ln 2
Die grafische Lösung wird unten als der x-Achsenabschnitt von h1(x) = 2 ln(x + 3) - ln(x + 1) - 3 ln 2.
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Frage 6
Lösen Sie die Gleichung: (log2(x))2 - Log2(x2) = 8.
Lösung
Verwenden Sie die Regeln n Log2 x = Log2 xn um die Gleichung wie folgt umzuschreiben:
(log2(x))2 - 2 Log2 (x) = 8
Nehmen Sie u = log2(x) und schreiben Sie die Gleichung in Standardform und in Abhängigkeit von u.
u2 - 2 u - 8 = 0
Was zwei Lösungen ergibt
Eine Lösung: u = -2 und u = 4
Wir lösen jetzt nach x.
u = = - 2 = log2(x) gibt x = 2-2 = 1/4
u = = 4 = log2(x) gibt x = 24 = 16
Die grafischen Lösungen werden unten als die x-Achsenabschnitte von p1(x) = (log2(x))2 - Log2(x2) = 8.
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Frage 7
Lösen Sie die Gleichung: 10 log(log(x)) = 1.
Lösung
Teilen Sie beide Seiten durch 10
log(log(x)) = 0.1
Was gibt
log(x) = 100.1
Was x als ergibt
x = 10(100.1) ≈ 18.15
Wir lösen jetzt nach x.
Die grafische Lösung zeigt unten die x-Achsenabschnitte von f(x) = 10 log(log(x)) - 1.
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