Möchten Sie verstehen, wie man logarithmische Gleichungen löst? Dieser umfassende Leitfaden bietet klare, schrittweise Lösungen für gängige Arten von Logarithmusproblemen. Sie lernen, wichtige Logarithmusregeln und -eigenschaften anzuwenden, um Gleichungen effektiv zu lösen.
\[ \log_b A + \log_b B = \log_b (AB) \] \[ \log_b A - \log_b B = \log_b \left( \dfrac{A}{B} \right) \] \[ \log_b \left( A^n \right) = n \log_b A \] \[ \text{Wenn } \log_b A = \log_b B, \text{ dann } A = B \]
Auch die grafische Annäherung an die Lösungen von Gleichungen der Form \[ f(x) = g(x) \] werden als die x-Achsenabschnitte des Graphen der Funktion \[ h(x) = f(x) - g(x) \] dargestellt.
Schreiben Sie die Gleichung mit den Logarithmustermen auf einer Seite um. \[ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 \]
Schreiben Sie die Gleichung um, indem Sie \( -2 \) durch \( \log 10^{-2} \) ersetzen. \[ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} \]
Verwenden Sie die Logarithmusregel \( \quad \log A - \log B = \log \left(\dfrac{A}{B}\right) \quad \), um die Gleichung wie folgt umzuschreiben: \[ \log\left( \dfrac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} \]
Da die Funktion \( \log(x) \) eineindeutig ist, können wir die Gleichung ableiten: \[ \dfrac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} \]
Lösen Sie die obige Gleichung. \[ 2x - 3 = \dfrac{3 - x}{100} \] \[ 200x - 300 = 3 - x \] \[ 201x = 303 \] \[ x = \dfrac{303}{201} = \dfrac{101}{67} \approx 1,51 \]
Überprüfen Sie die gefundene Lösung.
Linke Seite: \[ \log\left(2 \cdot \dfrac{101}{67} - 3\right) = \log\left( \dfrac{1}{67}\right) = -\log(67) \]
Rechte Seite: \[ \log\left(3 - \dfrac{101}{67}\right) - 2 = \log\left( \dfrac{100}{67}\right) - 2 = \log(100) - \log(67) - 2 = 2 - \log(67) - 2 = -\log(67) \]
Die gegebene Gleichung hat eine Lösung: \( x = \dfrac{101}{67} \approx 1,51 \)
Der x-Achsenabschnitt des Graphen der Funktion \( q(x) = \log(2x - 3) - \log(3 - x) + 2 \) (die linke Seite der gegebenen Gleichung, wobei ihre rechte Seite gleich Null gesetzt ist) ist unten dargestellt. Beachten Sie, dass der x-Achsenabschnitt nahe der oben analytisch ermittelten Lösung liegt.
Verwenden Sie die Logarithmusregel \(\log A - \log B = \log \left( \dfrac{A}{B}\right)\), um die linke Seite der Gleichung als einen Term umzuschreiben, und die Regel \(n \log(x) = \log(x^n)\), um die rechte Seite als Logarithmus einer Potenz umzuschreiben. \[ \log \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) \]
Da die Funktion \(\log(x)\) eineindeutig ist, können wir schreiben: \[ \dfrac{x}{x^2 - 1} = (x - 1)^{-2} \]
Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Gleichung mit \((x - 1)^2\) und vereinfachen Sie. \[ (x - 1)^2 \cdot \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = (x - 1)^2 \cdot (x - 1)^{-2} \] \[ (x - 1)^2 \cdot \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = 1 \]
Expandieren Sie \((x - 1)^2\) und \((x^2 - 1)\) und vereinfachen Sie. \[ \dfrac{x(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = 1 \] \[ \dfrac{x(x - 1)}{x + 1} = 1 \]
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \(x + 1\) und vereinfachen Sie. \[ x(x - 1) = x + 1 \] \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Zwei Lösungen: \[ x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2,41 \quad \text{und} \quad x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0,41\]
Überprüfen Sie die gefundenen Lösungen.
\(x_1 = 1 + \sqrt{2}\)
Linke Seite der Gleichung: \(\log(1 + \sqrt{2}) - \log((1 + \sqrt{2})^2 - 1) = \log(1 + \sqrt{2}) - \log(2 + 2\sqrt{2}) = -\log(2)\)
Rechte Seite der Gleichung: \(-2 \log(1 + \sqrt{2} - 1) = -2 \log(\sqrt{2}) = -\log(2)\)
\(x_2 = 1 - \sqrt{2}\)
Linke Seite der Gleichung: \(\log(1 - \sqrt{2}) - \log((1 - \sqrt{2})^2 - 1)\) ist undefiniert, weil \(1 - \sqrt{2}\) negativ ist und der Term \(\log(1 - \sqrt{2})\) undefiniert ist.
Die gegebene Gleichung hat eine Lösung: \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2,41 \)
Der \(x\)-Achsenabschnitt der Funktion \(r(x) = \log x - \log(x^2 - 1) + 2 \log(x - 1)\) ist unten dargestellt, und seine \(x\)-Koordinate liegt nahe der Lösung der Gleichung.
Lösen Sie die Gleichung: \[ \log_2(2x - 9) = 2 - \log_2(x - 1) \]
Schreiben Sie die Gleichung mit den Logarithmustermen auf die gleiche Seite um und ersetzen Sie \( 2 \) durch \( \log_2 4 \). \[ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 \]
Verwenden Sie die Regel \( \log_2 A + \log_2 B = \log_2(AB) \), um die Gleichung wie folgt umzuschreiben. \[ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 \]
Daraus ergibt sich: \[ (2x - 9)(x - 1) = 4 \]
Expandieren und in Standardform schreiben. \[ 2x^2 - 11x + 5 = 0 \]
Lösen Sie die obige quadratische Gleichung, um zu erhalten:
Zwei Lösungen: \[ x_1 = \dfrac{1}{2} \quad \text{und} \quad x_2 = 5 \]
Überprüfen Sie die gefundenen Lösungen.
\( x_1 = \dfrac{1}{2} \)
Linke Seite der Gleichung: \( \log_2(2 \cdot \dfrac{1}{2} - 9) = \log_2(-8) \) undefiniert, da das Argument des Logarithmus negativ ist.
\( x_2 = 5 \)
Linke Seite der Gleichung: \( \log_2(2 \cdot 5 - 9) = \log_2(1) = 0 \)
Rechte Seite der Gleichung: \( 2 - \log_2(5 - 1) = 2 - \log_2 4 = 0 \)
Die gegebene Gleichung hat eine Lösung. \( x = 5 \)
Die grafische Lösung ist unten als der x-Achsenabschnitt der Funktion \( s(x) = \log_2(2x - 9) - 2 + \log_2(x - 1) \) dargestellt.
Verwenden Sie die Regeln \( n \ln x = \ln x^n \) und \( \ln \left( \dfrac{A}{B} \right) = \ln A - \ln B \), um die Gleichung wie folgt umzuschreiben: \[ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln 2^3 \] \[ \ln \left( \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 \]
\( \ln x \) ist eine eineindeutige Funktion, daher: \[ \dfrac{(x + 3)^2}{ x + 1} = 8 \quad \text{oder} \quad (x + 3)^2 = 8(x + 1) \]
Schreiben Sie die obige quadratische Gleichung in Standardform: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Daraus ergibt sich eine Lösung: \[ x = 1 \]
Überprüfen Sie die gefundene Lösung:
Linke Seite der Gleichung: \( 2 \ln(1 + 3) - \ln(1 + 1) = 2 \ln 4 - \ln 2 = 4 \ln 2 - \ln 2 = 3 \ln 2 \)
Die grafische Lösung ist unten als der x-Achsenabschnitt der Funktion dargestellt:
\[
h_1(x) = 2 \ln(x + 3) - \ln(x + 1) - 3 \ln 2
\]
Lösen Sie die Gleichung: \[ \left( \log_2(x) \right)^2 - \log_2(x^2) = 8 \]
Verwenden Sie die Regeln \( n \log_{2} x = \log_{2} x^{n} \), um die Gleichung wie folgt umzuschreiben: \[ (\log_{2}(x))^{2} - 2 \log_{2}(x) = 8 \]
Setzen Sie \( u = \log_{2}(x) \) und schreiben Sie die Gleichung in Standardform und in Termen von \( u \). \[ u^{2} - 2u - 8 = 0 \]
Daraus ergeben sich zwei Lösungen: \[ u = -2 \quad \text{und} \quad u = 4 \]
Wir lösen nun nach \( x \) auf: \[ u = -2 = \log_{2}(x) \Rightarrow x = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} \] \[ u = 4 = \log_{2}(x) \Rightarrow x = 2^{4} = 16 \]
Die grafischen Lösungen sind unten als die \( x \)-Achsenabschnitte von
\[
p_{1}(x) = (\log_{2}(x))^{2} - \log_{2}(x^{2}) = 8
\]
dargestellt.
Lösen Sie die Gleichung: \[ 10 \log(\log(x)) = 1 \].
Teilen Sie beide Seiten durch 10. \[ \log(\log(x)) = 0,1 \]
Daraus ergibt sich: \[ \log(x) = 10^{0,1} \]
Daraus ergibt sich \( x \) als: \[ x = 10^{10^{0,1}} \approx 18,15 \]
Die grafische Lösung ist unten als der \( x \)-Achsenabschnitt von \( f(x) = 10 \log(\log(x)) - 1 \) dargestellt.
