Logarithmusgleichungen lösen mit Lösungen für die 12. Klasse

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
Die Argumente der Logarithmen müssen positiv sein:
$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$
Daher ist der Definitionsbereich für diese Gleichung $1.5 < x < 3$.

Schritt 2: Schreiben Sie die Gleichung so um, dass die Logarithmus-Terme auf einer Seite stehen:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 $$

Schritt 3: Ersetzen Sie $-2$ durch $\log 10^{-2}$:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} $$

Schritt 4: Verwenden Sie die Quotientenregel $\log A - \log B = \log\left(\dfrac{A}{B}\right)$:
$$ \log\left( \dfrac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} $$

Schritt 5: Die Funktion $\log(x)$ ist injektiv (eindeutig), also folgern wir:
$$ \dfrac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} $$

Schritt 6: Nach $x$ auflösen:
$$ 100(2x - 3) = 3 - x $$
$$ 200x - 300 = 3 - x $$
$$ 201x = 303 \Rightarrow x = \dfrac{303}{201} = \dfrac{101}{67} $$

Schritt 7: Mit dem Definitionsbereich abgleichen.
$\dfrac{101}{67} \approx 1.507$. Da $1.507$ zwischen $1.5$ und $3$ liegt, ist die Lösung gültig.
Endgültige Lösung: $x = \dfrac{101}{67}$

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
$x > 0$
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ oder $x < -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
Die Schnittmenge dieser Bedingungen ist $x > 1$. Der Definitionsbereich ist $(1, \infty)$.

Schritt 2: Verwenden Sie die Logarithmusregeln, um beide Seiten umzuschreiben (Quotientenregel links, Potenzregel rechts):
$$ \log \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) $$

Schritt 3: Logarithmen aufheben (Injektivität):
$$ \dfrac{x}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$

Schritt 4: Da $x > 1$, ist $x - 1 \neq 0$. Multiplizieren Sie beide Seiten mit $(x - 1)^2(x + 1)$, um die Nenner zu beseitigen:
$$ x(x - 1) = x + 1 $$

Schritt 5: Quadratische Gleichung lösen:
$$ x^2 - x = x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 $$
Lösungen: $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ und $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41$

Schritt 6: Mit dem Definitionsbereich abgleichen.
$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ ist nicht größer als $1$, daher wird sie verworfen (Scheinlösung).
Endgültige Lösung: $x = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
$2x - 9 > 0 \Rightarrow x > 4.5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
Die Schnittmenge ist $x > 4.5$. Der Definitionsbereich ist $(4.5, \infty)$.

Schritt 2: Bringen Sie die Logarithmen auf eine Seite und ersetzen Sie $2$ durch $\log_2 4$:
$$ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 $$

Schritt 3: Produktregel anwenden:
$$ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 $$

Schritt 4: Argumente gleichsetzen und ausmultiplizieren:
$$ (2x - 9)(x - 1) = 4 $$
$$ 2x^2 - 11x + 9 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 5 = 0 $$

Schritt 5: Quadratische Gleichung durch Faktorisieren lösen:
$$ (2x - 1)(x - 5) = 0 $$
Lösungen: $x = \dfrac{1}{2}$ und $x = 5$.

Schritt 6: Mit dem Definitionsbereich abgleichen.
$x = \dfrac{1}{2}$ ist kleiner als $4.5$ und somit eine Scheinlösung. Nur $x = 5$ fällt in den Definitionsbereich.
Endgültige Lösung: $x = 5$

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
Die Schnittmenge ist $x > -1$. Der Definitionsbereich ist $(-1, \infty)$.

Schritt 2: Potenzregel auf beiden Seiten anwenden:
$$ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln(2^3) $$

Schritt 3: Quotientenregel anwenden:
$$ \ln \left( \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 $$

Schritt 4: Natürliche Logarithmen aufheben und lösen:
$$ \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} = 8 \Rightarrow (x + 3)^2 = 8(x + 1) $$
$$ x^2 + 6x + 9 = 8x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 $$

Schritt 5: Quadratische Gleichung faktorisieren:
$$ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $$

Schritt 6: Mit dem Definitionsbereich abgleichen.
$x = 1$ ist größer als $-1$, also ist die Lösung gültig.
Endgültige Lösung: $x = 1$

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
Aus $\log_2(x)$ folgt $x > 0$.
Aus $\log_2(x^2)$ folgt $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
Die Schnittmenge ist $x > 0$. Der Definitionsbereich ist $(0, \infty)$.

Schritt 2: Verwenden Sie die Potenzregel, um den zweiten Term zu vereinfachen:
$$ (\log_2(x))^2 - 2 \log_2(x) = 8 $$

Schritt 3: Substitution anwenden. Sei $u = \log_2(x)$:
$$ u^2 - 2u - 8 = 0 $$

Schritt 4: Durch Faktorisieren nach $u$ auflösen:
$$ (u - 4)(u + 2) = 0 \Rightarrow u = 4 \text{ oder } u = -2 $$

Schritt 5: Rücksubstitution, um nach $x$ aufzulösen:
$$ \log_2(x) = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 $$
$$ \log_2(x) = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} $$

Schritt 6: Mit dem Definitionsbereich abgleichen.
Sowohl $16$ als auch $\dfrac{1}{4}$ sind strikt größer als $0$.
Endgültige Lösung: $x = 16$ und $x = \dfrac{1}{4}$

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
Für den inneren Logarithmus: $x > 0$.
Für den äußeren Logarithmus: $\log(x) > 0 \Rightarrow x > 1$.
Die Schnittmenge ist $x > 1$. Der Definitionsbereich ist $(1, \infty)$.

Schritt 2: Beide Seiten durch $10$ teilen:
$$ \log(\log(x)) = 0.1 $$

Schritt 3: Den äußeren Logarithmus in die Exponentialform umwandeln (Basis 10):
$$ \log(x) = 10^{0.1} $$

Schritt 4: Den inneren Logarithmus in die Exponentialform umwandeln:
$$ x = 10^{\left(10^{0.1}\right)} \approx 10^{1.2589} \approx 18.15 $$

Schritt 5: Mit dem Definitionsbereich abgleichen.
$18.15 > 1$, die Lösung ist also gültig.
Endgültige Lösung: $x = 10^{\left(10^{0.1}\right)}$