Skalarprodukt und Kreuzprodukt von 3D-Vektoren

Das Skalarprodukt (oder Punktprodukt) und das Kreuzprodukt von 3D-Vektoren werden definiert und ihre Eigenschaften diskutiert und zur Lösung von 3D-Problemen verwendet.

Skalarprodukt (oder Punktprodukt) zweier Vektoren

Das Skalarprodukt (oder Punktprodukt) zweier Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) ist eine skalare Größe, definiert durch: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = || \vec{u} || \, || \vec{v} || \cos \theta \] wobei \( || \vec{u} || \) der Betrag von Vektor \( \vec{u} \), \( || \vec{v} || \) der Betrag von Vektor \( \vec{v} \) und \( \theta \) der Winkel zwischen den Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) ist.

Wenn die Komponenten der Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) bekannt sind: \( \vec{u} = (u_x , u_y ,u_z)\) und \( \vec{v} = (v_x , v_y , v_z) \), kann gezeigt werden, dass das Skalarprodukt wie folgt ausgedrückt werden kann: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \]

Theoreme zum Skalarprodukt

Wenn \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) Vektoren sind und k ein Skalar ist, dann gilt:

1. ) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)
2. ) \( \vec{u} \cdot (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)
3. ) \( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u} ||^2 \)
4. ) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \; \) genau dann, wenn \( \; \theta = \pi/2 \), falls sowohl \( \vec{u} \) als auch \( \vec{v} \) Nicht-Null-Vektoren sind.
5. ) \( (k \vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) \)
6. ) \(|\vec{u} \cdot \vec{v} | \le ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \)
7. ) \(||\vec{u} + \vec{v} || \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| \)

Beispiel 1

Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{v} = \lt -2,3,1> \text{und} \; \vec{u} = \lt 0,-1,4>\) auf Grad genau gerundet.

Lösung

Drücken Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren mit Hilfe des Betrags und des Winkels \( \theta \) zwischen ihnen sowie der Koordinaten wie folgt aus: \[\vec{v} \cdot \vec{u} = ||\vec{v} || || \vec{u} || \cos \theta = (-2)(0) + (3)(-1) + (1)(4) = 1 \] \[ ||\vec{v} || = \sqrt{(-2)^2+3^2+1^2} = \sqrt{14}\] \[ ||\vec{u} || = \sqrt{0^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{17} \] \[ \cos\theta = \dfrac{1}{||\vec{v} || || \vec{u} ||} = \dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} \] \[ \theta = \arccos(\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} ) \approx 86^{\circ}\]

Weitere Erläuterungen zur Bestimmung des Winkels zwischen Vektoren in einem Video.

Beispiel 2

Finden Sie \( a \) so, dass die Vektoren \( \lt a,-6,3 \gt \) und \( \lt1,0,-2> \) senkrecht aufeinander stehen.

Lösung

Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss ihr Skalarprodukt gleich Null sein. \[ \lt a,-6,3 \gt \cdot \lt1,0,-2> = a(1) + (-6)(0)+(3)(-2) = a - 6 = 0 \] Lösen Sie nach a auf \[ a = 6\]

Skalare und vektorielle Projektion eines Vektors auf einen anderen

In vielen Anwendungen ist es wichtig, die Komponente eines Vektors in Richtung eines anderen Vektors zu finden. Wie unten gezeigt, wird der Vektor \( \vec{u}\) auf den Vektor \( \vec{v}\) projiziert, indem man ein Lot vom Endpunkt von \( \vec{u}\) auf die Linie durch \( \vec{v}\) fällt. Die Komponente von \( \vec{u}\) entlang \( \vec{v}\) ist eine skalare Größe, die als skalare Projektion bezeichnet wird und gegeben ist durch:

Kreuzprodukt (oder vektorielles Produkt) zweier Vektoren

Das Kreuzprodukt (oder vektorielle Produkt) zweier Vektoren \( \vec{u} = (u_x , u_y ,u_z)\) und \( \vec{v} = (v_x , v_y , v_z) \) ist eine vektorielle Größe, definiert durch: \[ \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}} \] \[ = {\begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}u_x & u_z\\ v_x & v_z\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}u_x & u_y\\ v_x & v_y\end{vmatrix}} \vec{k} \] Das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \) steht senkrecht auf sowohl \( \vec{v} \) als auch \( \vec{u} \).

Die Rechte-Hand-Regel zur Bestimmung der Richtung des Kreuzprodukts lautet wie folgt: Zeigen Sie mit dem Zeigefinger in Richtung von \( \vec {u} \), mit dem Mittelfinger in Richtung von \( \vec{v} \); die Richtung des Kreuzprodukts \( \vec {u} \times \vec {v} \) ist dann die gleiche wie die Richtung des Daumens.

Theoreme zum Kreuzprodukt

Wenn \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) Vektoren sind und k ein Skalar ist, dann gilt:

1. ) Das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \) steht senkrecht auf sowohl \( \vec{v} \) als auch \( \vec{u} \).
2. ) \( \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u} \)
3. ) \( \vec{u} \times \vec{v} = 0 \) genau dann, wenn \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) parallel sind, falls sowohl \( \vec{u} \) als auch \( \vec{v} \) Nicht-Null-Vektoren sind.
4. ) \( \vec{u} \times (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{v} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{w} \)
5. ) \( (k \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \times \vec{v} ) \)
6. ) \( ||\vec{u} \times \vec{v} || = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin \theta\) , wobei \( \theta \) der Winkel zwischen \( \vec{u}\) und \( \vec{v} \) ist.

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm ist ein Viereck (4 Seiten) mit gegenüberliegenden Seiten parallel. In der folgenden Abbildung ist das Parallelogramm A, B, C und D dargestellt. Daher haben wir Gleichheit zwischen den Vektoren. \[ \vec{AB} = \vec{DC} \quad \text{und} \quad \vec{AD} = \vec{BC} \] Die Fläche des Parallelogramms ist gegeben durch \[ || \vec{AB} \times \vec{AD} || \]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann als die Hälfte der Fläche des entsprechenden Parallelogramms berechnet werden.

Volumen eines Parallelepipeds (Spats)

Ein Parallelepiped (Spät) ist eine 3D-Figur, die aus 6 Parallelogrammen besteht, wie in der Abbildung unten gezeigt. Wir haben Gleichheit zwischen mehreren Vektoren. \[ \vec{AE} = \vec{DH} = \vec{CG} = \vec{BF} = \vec{u} \] \[ \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{EH} = \vec{FG} = \vec{v}\] \[ \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG} = \vec{w}\] Das Volumen V des Parallelepipeds ist gegeben durch: \[ \text{V} = |\vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = | \vec{v}\cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = | \vec{w}\cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \]

Beispiel 3

Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{u} = \lt 1,1,3 >\) und \(\vec{v} = \lt 1,0,2 > \).

Ein Video zur Berechnung des Kreuzprodukts zweier Vektoren mit detaillierten Erklärungen.

Lösung

\[ \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 3\\ 1 & 2\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1& 0\end{vmatrix}} \vec{k} = 2\vec{i} + \vec{j} -\vec{k} \]

Beispiel 4

Finden Sie zwei Einheitsvektoren, die senkrecht auf den Vektoren \( \vec{u} = \lt 1,-2,1 \gt \) und \( \vec{v} = \lt -2,0,4> \) stehen.

Lösung

Das Kreuzprodukt \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \) ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren \( \vec{u} \; \text{und} \; \vec{v} \) steht. Berechnen wir \( \vec{u} \times \vec{v} \) wie folgt: \[ \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix}} \] \[ = {\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & -2\\ -2 & 0\end{vmatrix}} \vec{k} = -8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k} \] Wir müssen nun einen Einheitsvektor \( \vec{u_1} \) in derselben Richtung wie \( \vec{w} \) finden, der gegeben ist durch: \[ \vec{u_1} = \dfrac{1}{||\vec{w}||} \vec{w}\] und einen zweiten Einheitsvektor \( \vec{u_2} \) in der entgegengesetzten Richtung von \( \vec{w} \), gegeben durch: \[ \vec{u_2} = -\vec{u_1}\] \( ||\vec{w}|| = \sqrt{(-8)^2+(- 6)^2+(- 4)^2 } = 2\sqrt{29}\) \[ \vec{u_1} = \dfrac{1}{2\sqrt{29}} (-8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k}) = -\dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} -\dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}-\dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\] \[ \vec{u_2} = \dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} + \dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}+ \dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\]

Beispiel 5

Erklären Sie, warum die folgenden Aussagen nicht wahr sind.

a) \( \vec{u} \times \vec{u} = ||\vec{u}||^2\)

b) \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} )= (\vec{u} \cdot \vec{u}) \times \vec{w} \)

Lösung

a) Die linke Seite \( \vec{u} \times \vec{u} \) ist ein Kreuzprodukt und das Ergebnis ist ein Vektor. Die rechte Seite \( ||\vec{u}||^2\) ist eine skalare Größe. Ein Vektor und ein Skalar können nicht verglichen werden.

b) Die linke Seite \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} ) \) ist ein Skalarprodukt von \( \vec{u} \) und \( (\vec{u} \times \vec{w} ) \), und das Ergebnis ist ein Skalar. Die rechte Seite ist das Produkt einer skalaren Größe \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) mit einem Vektor \( \vec{w} \), und das Ergebnis ist ein Vektor. Ein Skalar und ein Vektor können nicht verglichen werden.

Beantworten Sie die folgenden Fragen

Detaillierte Lösungen und Erklärungen zu diesen Fragen.

1. ) Berechnen Sie \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \) gegeben, dass \( \vec{u} = \lt a,b,c \gt \) und \( \vec{v} = \lt d,e,f \gt \).
2. ) Finden Sie \( k \) so, dass die Vektoren \( \vec{u} = \lt -2,-k,1 \gt \) und \( \vec{v} = \lt 8,-2,-3 > \) senkrecht aufeinander stehen.
3. ) Finden Sie \( k \) so, dass die Vektoren \( \vec{u} = \lt -3,2,-2 \gt \), \( \vec{v} = \lt 2,1,k> \) und \( \vec{w} = \lt -1,3,-5> \) in derselben Ebene liegen (komplanar sind).
4. ) Finden Sie den Winkel \( \theta \) zwischen den Vektoren \( \vec{u} = \lt 2,0,1 \gt \) und \( \vec{v} = \lt 8,-2,-3 > \).
5. ) Finden Sie die Vektorprojektion von \( \vec{u} = \lt -1,-1,1 \gt \) auf \( \vec{v} = \lt 2,1,1 > \).
6. ) Finden Sie \( k \) so, dass die Punkte \( A(-1,2,k) \), \( B(-3,6,3) \) und \( C(1,3,6) \) die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem rechten Winkel bei \( A \) sind.
7. ) Gegeben ist der Vektor \( \vec{v} = \lt 3,-1,-2 \gt \), finden Sie den Vektor \( \vec{u} \) so, dass \( \vec{v} \times \vec{u} = \lt 4,2,5 > \) und \( ||\vec{u}|| = 3\) gilt.
8. ) Die Punkte A, B, C und D bilden ein Parallelogramm.

   a) Finden Sie die Koordinaten von Punkt D.

   b) Finden Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms.

   

9. ) Finden Sie im untenstehenden Würfel den Winkel zwischen den Raumdiagonalen AG und BH.

   

10. )0) Finden Sie einen Vektor, der orthogonal zu der Ebene ist, welche die Punkte A(1,2,-3), B(0,-2,1) und C(-2,0,1) enthält.
11. )) Finden Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1,0,-3), B(1,-2,0) und C(0,2,1).
12. )) Finden Sie das Volumen des unten abgebildeten Parallelepipeds.

    

Detaillierte Lösungen und Erklärungen zu diesen Fragen.

Weitere Referenzen und Links

• Kreuzprodukt von 3D-Vektoren
• Kreuzprodukt zweier Vektoren - Rechner
• Skalarprodukt zweier Vektoren und Anwendungen
• Mittelstufenmathematik (Klassen 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
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