Lösungen zum Mathe-Praxistest der 6. Klasse

Lösungen zu den Fragen des Mathe-Praxistests der 6. Klasse werden zusammen mit ausführlichen Erklärungen präsentiert.
Die Fragen sind, bis auf wenige Ausnahmen, ohne Taschenrechner zu lösen.

1 - Zahlen

Lösungen

1. 
   
   1. \( (5 + 4) + 1 = 5 + (4 + 1) \) : Assoziativität der Addition
   2. \( 2(4 + 7) = 2 \times 4 + 2 \times 7 \) : Distributivität
   3. \( 11 + 9 = 9 + 11 \) : Kommutativität der Addition
   4. \( 33 + 0 = 33 \) : neutrales Element der Addition
   5. \( 5 \times 1 = 5 \) : neutrales Element der Multiplikation
   6. \( 9 \times 6 = 6 \times 9 \) : Kommutativität der Multiplikation
   7. \( (7 - 2) \times 6 = 7 \times 6 - 2 \times 6 \) : Distributivität
   8. \( 3 \times 6 - 3 \times 2 = 3(6 - 2) \) : Distributivität umgekehrt (Faktorisieren)
2. 
   \( \color{red}{2,3,5,7,11} \) sind Primzahlen
3. 
   Hunderter
4. 
   
   1. \( (9 - 3) + 2 = 6 + 2 = 8 \)
   2. \( 7 - (5 - 2) = 7 - 3 = 4 \)
   3. \( (3 + 7) \times 3 = 10 \times 3 = 30 \)
   4. \( (8 - 2) \times 3 = 6 \times 3 = 18 \)
5. 
   \( 8 \)
6. 
   

   Rundungsregeln

   • Wenn die Zehntelstelle kleiner als 5 ist, entferne alle Nachkommastellen, ohne die Einerstelle zu ändern.
   • Wenn die Zehntelstelle gleich 5 oder größer ist, entferne alle Nachkommastellen und erhöhe die Einerstelle um 1.

   Anwendungen

   1. \( 0.41 \) auf die nächste ganze Zahl gerundet ist gleich \( \color{red}{0} \), weil die erste Ziffer nach dem Dezimalpunkt gleich \( 4 \) und somit kleiner als \( 5 \) ist (Regel 1 oben).
   2. \( 1.2999 \) auf die nächste ganze Zahl gerundet ist gleich \( \color{red}{1} \), weil die erste Ziffer nach dem Dezimalpunkt gleich \( 2 \) und somit kleiner als \( 5 \) ist (Regel 1 oben).
   3. \( 123.5 \) auf die nächste ganze Zahl gerundet ist gleich \( \color{red}{124} \), weil die erste Ziffer nach dem Dezimalpunkt gleich \( 5 \) und somit größer oder gleich \( 5 \) ist (Regel 2 oben).
   
   
7. 1. \( 0.1 > 0.3 \) : falsch
   2. \( 1.2 \lt 1.3 \) : wahr
   3. \( 0.5 \lt 0.05 \) : falsch
8. 
   
   1. \(0.4 \times 3 = 1.2 \)
   2. \(8 - 3 \times 0.2 = 7.4 \)
   3. \(0.5 \div 5 = 0.1 \)

   2 - Teiler, Vielfache und Teilbarkeit von Zahlen

   Lösungen

9. • Die Teiler von 8 sind : 1,2,4,8
   • Die Teiler von 12 sind : 1,2,3,4,6,12
   • Die gemeinsamen Teiler von 8 und 12 sind : 1, 2, 4
   • Der größte dieser gemeinsamen Teiler ist : 4
   • Daher ist der ggT von 8 und 12 gleich \( \color{red}4 \).
10. 
    
    • Vielfache von 3 sind : \( 3, 6, 9, 12, 15, 18, \color{red}{21} , 24 , 27 , ...\)
    • Vielfache von 7 sind : \( 7, 14, \color{red}{21} , 28 , ... \)
    • Das gemeinsame und kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 7 ist 21.
11. 
    Regel: Jede Zahl, deren letzte Ziffer rechts (Einerstelle) gleich \( 0 \) oder \( 5 \) ist, ist durch \( 5 \) teilbar. Daher

    \( 12\color{red}5 \; \) und \( \; 20\color{red}0 \) sind durch \( 5 \) teilbar.

12. 
    Regel: Jede Zahl, deren letzte Ziffer rechts (Einerstelle) gleich \( 0, 2, 4, 6 \) oder \( 8 \) ist, ist durch \( 2 \) teilbar.

    \( 28\color{red}0 \; \) und c) \( \; 47\color{red}6 \) sind durch \( 2 \) teilbar.

13. 
    Regel: Jede Zahl, deren Ziffernsumme durch \( 3 \) teilbar ist, ist selbst durch \( 3 \) teilbar.
    1. Die Ziffernsumme von \( 105 \) ist : \( 1+0+5 = \color{red}6\) und da \( \color{red}6 \) durch \( 3 \) teilbar ist, ist die gegebene Zahl \( 105 \) durch \( 3 \) teilbar.
    2. Die Ziffernsumme von \( 101 \) ist : \( 1+0+1 = \color{red}2 \) und da \( \color{red}2 \) NICHT durch \( 3 \) teilbar ist, ist die gegebene Zahl \( 101 \) NICHT durch \( 3 \) teilbar.
    3. Die Ziffernsumme von \( 234 \) ist : \( 2+3+4 = \color{red}9 \) und da \( \color{red}9 \) durch \( 3 \) teilbar ist, ist die gegebene Zahl \( 234 \) durch \( 3 \) teilbar.

    3 - Brüche und gemischte Zahlen

    Lösungen

14. 
    Definition: Ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich seinem Nenner ist, ist ein unechter Bruch.

    b) \( \dfrac{10}{3} \) und c) \( \dfrac{3}{3} \) sind unechte Brüche.

15. 
    
    1. \( \dfrac{7}{5} = \dfrac{5+2}{5} = \dfrac{5}{5} + \dfrac{2}{5} = 1 \dfrac{2}{5} \)
    2. \( \dfrac{8}{3} = \dfrac{3+3+2}{3} \\~\\ \qquad = \dfrac{3}{3} + \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = 1 + 1+ \dfrac{2}{3} \\~\\ \qquad = 2 \dfrac{2}{3} \)
    3. \( \dfrac{9}{2} = \dfrac{2+2+2+2+1}{2} \\~\\ \qquad = \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} + \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} \\~\\ \qquad = 1+1+1+1+ \dfrac{1}{2} = 4 \dfrac{1}{2}\)
16. 
    Regel: Wenn wir Zähler und Nenner eines gegebenen Bruches mit derselben Zahl multiplizieren (oder dividieren), erhalten wir einen neuen Bruch, der dem gegebenen Bruch gleichwertig ist.
    1. Die gegebenen Brüche haben die bekannten Nenner \( 2 \) und \( 4\): wir müssen den Nenner \( 2 \) mit \( 2 \) multiplizieren, um den Nenner \( 4 \) zu erhalten.
       Daher
       Multipliziere Zähler und Nenner des Bruches \( \dfrac{1}{2} \) mit \( 2 \), um einen äquivalenten Bruch zu erhalten: \( \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{\color{red}2}{4} \).
       Damit die gegebenen Bruchpaare äquivalent sind, muss der fehlende Zähler gleich \( \color{red}2 \) sein.
    2. Die gegebenen Brüche haben die bekannten Zähler \( 2 \) und \( 6\): wir müssen den Zähler \( 2 \) mit \( 3 \) multiplizieren, um den Zähler \( 6 \) zu erhalten.
       Daher
       Multipliziere Zähler und Nenner des Bruches \( \dfrac{2}{5} \) mit \( 3 \), um einen äquivalenten Bruch zu erhalten: \( \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{6}{\color{red}{15}} \).
       Damit die gegebenen Bruchpaare äquivalent sind, muss der fehlende Nenner gleich \( \color{red}{15} \) sein.
    3. Die gegebenen Brüche haben die bekannten Nenner \( 3 \) und \( 9\): wir müssen den Nenner \( 3 \) mit \( 3 \) multiplizieren, um den Nenner \( 9 \) zu erhalten.
       Daher
       Multipliziere Zähler und Nenner des Bruches \( \dfrac{1}{3} \) mit \( 3 \), um einen äquivalenten Bruch zu erhalten: \( \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{\color{red}3}{9} \).
       Damit die gegebenen Bruchpaare äquivalent sind, muss der fehlende Zähler gleich \( \color{red}3 \) sein.
17. 
    
    1. Die Brüche im Ausdruck haben denselben Nenner, daher berechnen wir, indem wir die Zähler subtrahieren und denselben Nenner beibehalten, wie folgt:
       \( \dfrac{4}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{4-1}{10} = \dfrac{3}{10} \)
    2. Schreibe den Bruch \( \dfrac{1}{2} \) mit dem Nenner \( 4 \) um, indem du seinen Zähler und Nenner mit \( 2 \) multiplizierst:
       \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2 } + \dfrac{3}{4} \)
       Vereinfachen:
       \( = \dfrac{2}{ 4 } + \dfrac{3}{4} \)
       Nachdem die Brüche denselben Nenner haben, addieren wir die Zähler und berechnen wie folgt:
       \( = \dfrac{2+3}{4} = \dfrac{5}{4} \)
    3. Multiplikationsregel für Brüche: Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren.
       \( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 3} \)
       Vereinfachen:
       \( = \dfrac{2}{6} \)
    4. Divisionsregel für Brüche: Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.
       \( \dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{1} \)
       Wende die Multiplikationsregel für Brüche an und vereinfache.
       \( = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 1} = \dfrac{6}{4}\)
    5. Schreibe \( 3 \) als Bruch: \( 3 = \dfrac{3}{1} \)
       \( \dfrac{3}{4} \div 3 = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{3}{1} \)
       Verwende die Divisionsregel für Brüche:
       \( = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} \)
       Verwende die Multiplikationsregel für Brüche:
       \( = \dfrac{3 \times 1}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12} \)
    6. Schreibe \( 2 \) als Bruch: \( 2 = \dfrac{2}{1} \)
       \( 2 \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{2}{1} \times \dfrac{2}{6} \)
       Verwende die Multiplikationsregel:
       \( = \dfrac{4}{6} \)
    7. Addiere die ganzen Teile der gemischten Zahlen und die Brüche getrennt:
       \( 1 \dfrac{1}{4} + 2 \dfrac{1}{4} = (1 + 2 ) + ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}) = 3 \dfrac{2}{4} \)
    8. Subtrahiere die ganzen Teile der gemischten Zahlen und die Brüche getrennt:
       \( 3 \dfrac{2}{5} - 1 \dfrac{1}{5} = (3-1) + ( \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}) = 3 \dfrac{1}{5}\)
18. 
    Schreibe als Dezimalzahl:
    1. \( \dfrac{7}{10} = 7 \div 10 = 0.7 \)
    2. \( \dfrac{17}{100} = 17 \div 100 = 0.17\)
19. 
    
    1. \( 1 \dfrac{1}{4} \)
    2. \( \dfrac{1}{4} \)
    3. \( 3 \dfrac{3}{8} \)

    4 - Exponenten

    Lösungen

20. 1. \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 \)
    2. Fünf zum Quadrat: \( 5^2 \)
    3. \( 4 \) hoch drei: \( 4^3 \)
    4. \( 6 \) hoch sieben: \( 6^7 \)
    
    
21. 1. \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
    2. \( 1^5 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1 \)
    3. \( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)
    4. \( 1000^0 = 1 \) (Jede von Null verschiedene Zahl hoch \( 0 \) ist gleich \( 1 \))

    5 - Verhältnisse und Raten

    Lösungen

22. 1. \( 2:3 \)
    2. \( 3:2 \)
    3. \( 3:5 \)
    
    
23. 1. \( 11:8 \)
    2. \( 8:19 \)
    
    
24. \( \$15 \div 5 \text{kg} = \$3 / \text{kg} \)
    
25. \( 120 \text{km} \div 2 \text{Stunden} = 60 \text{km} / \text{h} \)
    
26. Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen ist \( 1:3 \).

    Wenn \( x \) die Anzahl der Jungen von insgesamt \( 600 \) Schülern ist, dann ist \( 3x \) die Anzahl der Mädchen von insgesamt \( 600 \) Schülern.

    Die Gesamtzahl der Jungen und Mädchen beträgt \( 600 \), daher können wir die Gleichung aufstellen:

    \[ x + 3x = 600 \]

    Fasse gleiche Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammen:

    \[ 4x = 600 \]

    Teile beide Seiten der Gleichung durch \(4\):

    \[ 4x \div 4 = 600 \div 4 \]

    Vereinfachen:

    \( x = 600 \div 4 = 150 \) Schüler sind Jungen.

    Überprüfe, ob die Antwort sinnvoll ist:

    Die Anzahl der Mädchen ist \( 3x = 3 \times 150 = 450 \). Daher ist die Gesamtzahl der Jungen und Mädchen gleich \( 150 + 450 = 600 \), was genau der Angabe entspricht.

    6 - Prozent und verwandte Probleme

    Lösungen

27. \( \dfrac{60}{100} \times 20 = \dfrac{60 \times 20}{100} = 12 \)
    
28. \( 35\% = \dfrac{35}{100} = 35 \div 100 = 0.35 \)
    
29. \( 15\% = \dfrac{15}{100} = \dfrac{15 \div 5}{100 \div 5} = \dfrac{3}{20}\)
    
30. \( 50\% \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{50}{100} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{50}{400} = \dfrac{1}{8} \)
    
31. \( \dfrac {3}{5} = 3 \div 5 = 0.6 = 60 \div 100 = 60\% \)
    
32. \( \dfrac{600}{3000} = 0.2 = 20 \div 100 = \dfrac{20}{100} = 20\% \) von Amandas Gehalt wird für Kleidung ausgegeben.
    
33. Prozentuale Änderung \( = \dfrac{\text{neuer Preis - ursprünglicher Preis}}{\text{ursprünglicher Preis}} = \dfrac{100 - 125}{125} = - 0.2 = - 20\% \)
    
34. \( 40 - 40\% \times 40 = 40 - \dfrac{40}{100} \times 40 = 40 - \dfrac{1600}{100} = 40 - 16 = \$24 \) ist der Preis nach dem Rabatt.

    7 - Einheiten umrechnen

    Lösungen

35. Teile beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( \quad 1 \text{ hl} = 100 \text{ L} \quad \) durch \( 100 \) und vereinfache, um eine weitere Gleichheit zu erhalten: \( \quad 1\text{ L} = \dfrac{1}{100} \text{ hl} \).

    Wir rechnen wie folgt um:

    \[ 320 \text{ L} = 320 \times \dfrac{1}{100} \text{ hl} = \dfrac{320}{100} \text{ hl} = 3.2 \text{ hl} \]

    
    
36. Teile beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( \quad 1 \text{ m} = 1000 \text{ mm} \quad \) durch \( 1000 \) und vereinfache, um eine weitere Gleichheit zu erhalten: \( \quad \dfrac{1}{1000} \text{ m} = 1\text{ mm} \).

    Umrechnung:

    \[ 234500 \text{ mm} = 234500 \times \dfrac{1}{1000} \text{ m} = \dfrac{234500}{1000} \text{ m} = 234.5 \text{ m}\]

    
    
37. Teile beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( \quad 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \quad \) durch \( 1000 \), um die Gleichheit \( \quad 1 \text{ m} = \dfrac{1}{1000} \text{ km} \) zu erhalten.

    Daher die Umrechnung:

    \[ 2300 \text{ m} = 2300 \times \dfrac{1}{1000} \text{ km} = 2.3 \text{ km}\]

    
    
38. \[ 1.2 \text{ L} = 1.2 \times 1000 \text{ mL} = 1200 \text{ mL} \]
    
39. Teile beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( \quad 1 \; \text{h} = 3600 \; \text{s} \quad \) durch \( 3600 \) und schreibe sie um als:

    \[ \quad 1 \text{ s} = \dfrac{1}{3600} \; \text{h} \]

    Daher:

    \[ 7200 \text{ s} = 7200 \times \dfrac{1}{3600} \; \text{h} = \dfrac{7200}{3600} \; \text{h} = 2 \text{ h} \]

    
    
40. Teile beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( \quad 1 \text{ mi} = 1760 \text{ yd} \quad \) durch \( 1760 \), um die Gleichheit zu erhalten:

    \[ \quad 1 \text{ yd} = \dfrac{1}{1760} \text{ mi} \]

    Daher:

    \[ 2640 \text{ yd} = 2640 \times \dfrac{1}{1760} \text{ mi} = \dfrac{2640}{1760} \text{ mi} = 1.5 \text{ mi} \]

    
    
41. \[ 3 \text{ m} = 3 \times 39.37 \text{ in} = 118.11 \text{ in}\]

    8 - Mathematische Ausdrücke

    Lösungen

42. Ersetze \( x \) durch \( 0.2 \) im gegebenen Ausdruck:

    \[ \; x + 2 \; = 0.2 + 2 = 2.2 \]

    
    
43. Ersetze \( x \) durch \( 3 \) im gegebenen Ausdruck:

    \[ \; 2 (x + 2) \; = 2 (3 + 2) = 2 (5) = 2 \times 5 = 10 \]

    
    
44. 
    Ersetze \( a \) und \( b \) durch \( 3 \) bzw. \( 2 \) im gegebenen Ausdruck:

    \[ a - b = 3 - 2 = 1 \]

    
    
45. 
    Ersetze \( x \) durch \( 6 \) im gegebenen Ausdruck:

    \[ \; \dfrac{2 x}{3} = \dfrac{2 \times 6}{3} = \dfrac{12}{3} = 4 \]

    
    
46. 1. \( x - 3 \)
    2. \( 5(x + 2) \)
    3. \( (2x + 1)^2 \)
    4. \( 3(x + 1) = 2 \)

47. 1. \( 3 \lt x \)
    2. \( 5 \ge x \)
    3. \( y \le 9 \)
    4. \( x - 2 \le -2 \)

48. 1. \[ 2(x + 4) = 2 \times x + 2 \times 4 \\[6pt] \qquad = 2x + 8 \]
    2. \[ 3(a + b + 2) = 3 \times a + 3 \times b + 3 \times 2 \\[6pt] \qquad = 3a + 3b + 6 \]
    3. \[ \dfrac{1}{4}(8x + 4) = \dfrac{1}{4} \times 8x + \dfrac{1}{4} \times 4 \\[6pt] \qquad = \dfrac{8}{4} \times x + \dfrac{4}{4} = 2x + 1 \]
    4. \[ 0.2(x + 2) = 0.2 \times x + 0.2 \times 2 \\[6pt] \qquad = 0.2x + 0.4 \]
    
    
49. 1. Teiler von \( 9 \) sind : \( 1, \color{red}3, 9 \)

       Teiler von \( 6 \) sind : \( 1, 2, \color{red}3, 6 \)

       Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von \( 9 \) und \( 6 \) ist \( \color{red}3 \).

       
       
    2. \( 9 = \color{red}3 \times 3 \)
       \( 6 = \color{red}3 \times 2 \)
       
    3. \( 9x + 6 = \color{red}3 \times 3 \times x + \color{red}3 \times 2\)
       Verwende das Distributivgesetz in umgekehrter Richtung (d.h.: \( \color{red}{a \times x + a \times y = a(x+y)} \)), um den gegebenen Ausdruck zu faktorisieren.
       \( 9x + 6 = \color{red}3 \times 3 \times x + \color{red}3 \times 2 = \color{red}3 (3x + 2)\)

    9 - Gleichung mit einer Variablen und verwandte Probleme

    Lösungen

50. 1. Gegebene Gleichung \( x + 2 = 8\)
       Subtrahiere \( 2 \) von beiden Seiten der Gleichung:
       \( x + 2 \color{red}{- 2} = 8 \color{red}{- 2} \)
       Vereinfachen:
       \( x = 6 \quad \) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.
    2. Gegebene Gleichung \( 2x = 6 \)
       Teile beide Seiten der Gleichung durch \( 2 \):
       \( 2x \color{red}{\div 2} = 6 \color{red}{\div 2} \)
       Vereinfachen:
       \( x = 3 \quad \) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.
    3. Gegebene Gleichung \( x - 3 = 7 \)
       Addiere \( 3 \) zu beiden Seiten der Gleichung:
       \( x - 3 \color{red}{+3} = 8 \color{red}{+3} \)
       Vereinfachen:
       \( x = 11 \quad \) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.
    
    
51. 1. Die Formel für den Umfang \( P \) eines rechteckigen Gartens der Länge \( L \) und Breite \( W \) ist gegeben durch:
       \( P = 2 \times L + 2 \times W\)
       Wir setzen \( L, W \) und \( P \) mit den gegebenen Werten \( L = 3 \), \( W = x \) und \( P = 10 \) in die obige Formel ein:
       \( 10 = 2 \times 3 + 2 \times x \)
       Vereinfachen und umschreiben als:
       \( 2x + 6 = 10\)
    2. 
       Subtrahiere \( 6 \) von beiden Seiten der Gleichung:
       \( 2x + 6 \color{red}{- 6} = 10 \color{red}{- 6}\)
       Vereinfachen:
       \( 2x = 4 \)
       Teile beide Seiten der Gleichung durch \(2\):
       \( 2x \color{red}{\div 2} = 4 \color{red}{\div 2}\)
       Vereinfachen:
       \( x = 2 \) ist die Breite des rechteckigen Gartens, also \( W = 2 \).
    3. 
       Eine Möglichkeit, unsere Berechnungen zu überprüfen, besteht darin, den Umfang des rechteckigen Gartens zu berechnen.
       \( P = 2 \times L + 2 \times W \\ \qquad = 2 \times 3 + 2 \times 2 = 6 + 4 = 10 \)
       was dem gegebenen Umfang \( P = 10 \) entspricht.

    10 - Koordinatenebene

    Lösungen

52. 1. \( (0,1) \) liegt auf der positiven Seite der y-Achse.
    2. \( (-2,-3) \) liegt im Quadranten 3.
    3. \( (2,9) \) liegt im Quadranten 1.
    4. \( (-4,6) \) liegt im Quadranten 2.
    5. \( (3,-4) \) liegt im Quadranten 4.
    6. \( (-3,0) \) liegt auf der negativen Seite der x-Achse.
53. 
    \( A = (-1,1) \)
    \( B = (0,-1) \)
    \( C = (2,0) \)
    \( D = (3,1) \)
    \( E = (-2,-1) \)
    \( F= (3,-2) \)
    \( G = (0,3) \)
    \( H = (0,0) \)
    

54. a) Für   \( t = 0 \) , \( d = 0 \)

    Für   \( t = 1 \) Stunde, \( d = 5 \) km

    Für   \( t = 2 = 1 + 1 \) Stunden, \( d = 5 + 5 = 10 \) km

    Für   \( t = 3 = 1 + 1 + 1 \) Stunden, \( d = 5 + 5 + 5 = 15 \) km

    Für   \( t = 4 = 1 + 1 + 1 + 1 \) Stunden, \( d = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 \) km

    Für   \( t = 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \) Stunden, \( d = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 \) km

    

    b) Die Punkte in der obigen Tabelle sind unten dargestellt, und die Punkte werden verbunden, um eine Linie zu erhalten.

    

    .

    11 - Ungleichungen

    Lösungen

55. 
    Der Zahlenstrahl mit den in den gegebenen Ungleichungen vorkommenden Werten ist unten dargestellt.
    

    Beim Vergleich zweier Zahlen mit dem Zahlenstrahl gilt: Die Zahl links ist kleiner als die Zahl rechts.

    1. \( -4 \lt 0 \)     ,     wahr, weil \( -4 \) links von \( 0 \) liegt.
    2. \( 0 \gt 4 \)     ,     falsch, weil \( 0 \) links von \( 4 \) liegt.
    3. \( -6 \lt -4 \)     ,     wahr, weil \( -6 \) links von \( -4 \) liegt.
    4. \( -6 \gt 5 \)     ,     falsch, weil \( -6 \) links von \( 5 \) liegt.
    5. \( 0 \lt 6 \)     ,     wahr, weil \( 0 \) links von \( 6 \) liegt.

    12 - Geometrie

    Lösungen

56. Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks ist gleich:
    b) \( 180^{\circ} \).
    
57. 
    In der gegebenen Abbildung sind die Winkel \( \angle AOB \) und \( \angle BOC \):
    b) Supplementär (ergänzen sich zu 180°).
    
58. 1. \( \angle AOB \; \text{und} \; \angle DOF \quad \) , KEINE Scheitelwinkel
    2. \( \angle BOC \; \text{und} \; \angle EOF \quad \) , Scheitelwinkel
    3. \( \angle COD \; \text{und} \; \angle FOB \) , KEINE Scheitelwinkel
    4. \( \angle FOB \; \text{und} \; \angle COE \quad \) , Scheitelwinkel
    5. \( \angle AOC \; \text{und} \; \angle DOE \quad \) , KEINE Scheitelwinkel
    6. \( \angle BOD \; \text{und} \; \angle EOA \) , Scheitelwinkel
    
    
59.   Gib die Anzahl der Seiten jeder der unten aufgeführten geometrischen Figuren an.
    1. Pentagon (Fünfeck) : 5 Seiten
    2. Trapez : 4 Seiten
    3. Dreieck : 3 Seiten
    4. Drachenviereck : 4 Seiten
    
    
60. 
    b) Zwei Winkel sind gleich, und die den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten sind gleich.
    
61. 
    \( \text{Umfang} = 2 \times \text{Länge} + 2 \times \text{Breite} = 2 \times 10 + 2 \times 5 = 20 + 10 = 30 \) cm
    
62. \( Fläche = 3.14 \times \text{Radius}^2 = 3.14 \times (1)^2 = 3.14 \) Quadratmeter.
    

63. Da ABCD ein Rechteck ist, ist ADE ein rechtwinkliges Dreieck.

    Die Fläche der schraffierten Fläche kann berechnet werden, indem die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ADE von der Fläche des Rechtecks ABCD abgezogen wird.

    Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ADE \( \quad = \dfrac{1}{2} \times \overline{DE} \times \overline{AD} = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 7 = 7 \) Quadratzentimeter

    Fläche des Rechtecks ABCD \( \quad = \overline{AB} \times \overline{AD} = 10 \times 7 = 70 \) Quadratzentimeter

    Fläche der schraffierten Fläche = Fläche des Rechtecks ABCD - Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ADE \( \quad = 70 - 7 = 63 \) Quadratzentimeter

    Hinweis: Die schraffierte Region, deren Fläche oben berechnet wurde, ist ein Trapez, und seine Fläche könnte mit der Formel für die Fläche eines Trapezes berechnet werden.

    13 - Dreidimensionale Figuren

    Lösungen

64. Anzahl der Kanten \( \quad = 4 + 4 + 4 = 12 \)

    Anzahl der Flächen \( \quad = 1 + 1 + 4 = 6 \)

    
    
65. 
    a) Fläche des Rechtecks ABCD \( \quad = 6 \times 4 = 24 \) Flächeneinheiten

    Fläche des Rechtecks ADHE \( \quad = 4 \times 10 = 40 \) Flächeneinheiten

    Fläche des Rechtecks DCGH \( \quad = 6 \times 10 = 60 \) Flächeneinheiten

    b)
    Die Oberfläche \( A \) des rechteckigen Prismas ist gleich dem ZWEIFACHEN der Summe der Flächen der Rechtecke ABCD, ADHE und DCGH.

    \( A = 2 \times (24+40+60) = 248 \) Flächeneinheiten

    c)

    Volumen \( \quad = 6 \times 4 \times 10 = 240 \) Volumeneinheiten

    
    

66. Das Volumen ist gegeben durch das Produkt der Fläche \( a \) des rechtwinkligen Dreiecks ABC und der Länge des Prismas \( \overline{AF} \).

    Daher die Gleichung:

    \[ 24 = a \times \overline{AF} \]

    Die Fläche \( a \) des rechtwinkligen Dreiecks ABC \( \quad = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \).

    Setze \( a \) mit seinem Wert in die Gleichung ein:

    \[ 24 = 6 \; \overline{AF} \]

    Teile beide Seiten der Gleichung durch \( 6 \) und löse nach \( \overline{AF} \) auf, um zu erhalten:

    \[ \overline{AF} = 4\]

    Die Gesamtoberfläche ist gegeben durch die Summe der Flächen aller 5 Flächen: der beiden rechtwinkligen Dreiecke und der 3 Rechtecke.

    Die Gesamtoberfläche \( \quad = (6 + 6) + (4 \times 4 + 3 \times 4 + 5 \times 4) = 60 \) Flächeneinheiten

    14 - Daten und Diagramme

    Lösungen

67. Anzahl der Stunden pro Tag
    Montag : 3 Stunden
    Dienstag : 3 Stunden
    Mittwoch : 2 Stunden
    Donnerstag : 4 Stunden
    Freitag : 3 Stunden
    Gesamtzahl der Stunden \( \quad = 3 + 3 + 2 + 4 + 3 = 15 \)
    
68. a) Aus dem Histogramm geht hervor, dass \( 3 \) Schüler im Bereich 90-99 Punkte erzielten.

    b) Aus dem Histogramm geht hervor, dass \( 7 \) Schüler im Bereich 80-89 und \( 4 \) Schüler im Bereich 60-69 Punkte erzielten.

    Daher:

    \( 7 - 4 = 3 \) mehr Schüler erzielten Punkte im Bereich 80-89 als Schüler, die im Bereich 60-69 punkten.

    15 - Statistik

    Lösungen

69. Größter Datenwert \( \; = 7 \)
    Kleinster Datenwert \( \; = 1 \)
    Spannweite = Größter Datenwert - Kleinster Datenwert \( \; = 7 - 1 = 6 \)
    Mittelwert (Durchschnitt) \( = \dfrac{1 + 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 7}{7} = \dfrac{21}{7} = 3 \)
    Modus = der Datenwert mit der höchsten Wiederholungshäufigkeit \( \; = 2 \)   (3-mal aufgeführt)
    Ordne die Datenwerte vom kleinsten zum größten:

    \[ \{ 1 , 2 , 2 , \color{red}2 , 3 , 4 , 7 \} \]

    Der Median ist der Datenwert, der in der Mitte (rot) der geordneten Datenwerte liegt \( \; = 2 \).

    16 - Wahrscheinlichkeiten

    Lösungen

70. Das Maß einer Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 einschließlich. Daher können
    b) -0.5 und c) 2 keine Wahrscheinlichkeitsmaße sein.
    
71. a) Es sind \( \color{red}2 \) Ergebnisse möglich, wenn man eine Münze wirft: Kopf und Zahl.

    b)
    Es sind \( \color{blue}5 \) Ergebnisse möglich, wenn man zufällig eine von fünf verschiedenen Karten auswählt.

    c)
    Es sind \( \color{red}2 \times \color{blue}5 = 10 \) Ergebnisse möglich, wenn man eine Münze wirft und zufällig eine von fünf verschiedenen Karten auswählt.

    
    
72. 
    a) Wenn du einen fairen Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 auf den Seiten wirfst, gibt es \( \color{red}6\) mögliche Ergebnisse: \( \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \} \).

    b) Es ist unmöglich, 0 zu erhalten, da es kein mögliches Ergebnis ist, daher ist die Wahrscheinlichkeit gleich 0.

    c) Es gibt eine 5 unter den 6 Ergebnissen, daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 zu erhalten, gleich \( \color{blue}2 / \color{red}6 \) ? (Anmerkung: Dies ist ein Tippfehler im Original, es sollte 1/6 sein für eine 5, oder 2/6 für >4)

    d) Es gibt \( \color{blue}2 \) Zahlen größer als 4, nämlich 5 und 6, daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 zu erhalten, gleich \( \color{blue}2 / \color{red}6 \) ?

Weitere Referenzen und Links

1. Mathethemen der 6. Klasse
2. Bruchfragen und Probleme mit Lösungen