Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) finden
Fragen & Lösungen für die 7. Klasse

Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen in der Mathematik? Diese Seite bietet Mathematikaufgaben für die 7. Klasse zusammen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen. Klicke auf den Pfeil unter jeder Frage, um die detaillierte Erklärung zu sehen.

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)?

Es ist die kleinste ganze Zahl, die durch jede der angegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist. Alternativ ist es die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches dieser Zahlen ist.

Zwei Methoden, um das kgV zu finden

Methode 1: Vielfache auflisten (am besten für kleine Zahlen)

Beispiel: Finde das kgV von 6 und 8.

Liste die ersten paar Vielfachen beider Zahlen auf und halte an, sobald du ein gemeinsames Vielfaches findest.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 8 ist 24.

Methode 2: Primfaktorzerlegung (am besten für alle Zahlen)

Beispiel: Finde das kgV von 42 und 60.

Schritt 1: Finde die Primfaktorzerlegung von 42:
\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)

Schritt 2: Finde die Primfaktorzerlegung von 60:
\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Schritt 3: Das kgV ist das Produkt aller Primzahlen, die in den Zerlegungen vorkommen, wobei die höchste Potenz jeder Primzahl verwendet wird.

kgV = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = \mathbf{420} \)

Tipp: Du kannst einen Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache verwenden, um deine Ergebnisse zu überprüfen.

Übungsfragen

  1. Frage: Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 15.
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    Die Primfaktorzerlegungen von 5 und 15 sind:

    \( 5 = 5^1 \)

    \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)

    Das kgV ergibt sich aus dem Produkt aller Primzahlen in der Zerlegung mit der jeweils höchsten Potenz:

    kgV = \( 3^1 \times 5^1 = \mathbf{15} \).

  2. Frage: Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 8, 12 und 18.
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    Finde die Primfaktorzerlegungen von 8, 12 und 18:

    \( 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)

    \( 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)

    \( 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2 \)

    Nimm die höchste Potenz jedes Primfaktors (2 und 3):

    kgV = \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = \mathbf{72} \).

  3. Frage: Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 70 und 90.
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    Finde die Primfaktorzerlegungen von 70 und 90:

    \( 70 = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \)

    \( 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)

    Nimm die höchste Potenz jedes Primfaktors (2, 3, 5 und 7):

    kgV = \( 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 9 \times 5 \times 7 = \mathbf{630} \).

  4. Frage: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 180, 216 und 450?
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    Finde die Primfaktorzerlegungen:

    \( 180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)

    \( 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \)

    \( 450 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \)

    Nimm die höchste Potenz jedes Primfaktors (2, 3 und 5):

    kgV = \( 2^3 \times 3^3 \times 5^2 = 8 \times 27 \times 25 = \mathbf{5400} \).

  5. Frage: Finde für die folgenden Zahlenpaare das kgV und den größten gemeinsamen Teiler (ggT). Vergleiche dann das Produkt aus kgV und ggT mit dem Produkt der ursprünglichen Zahlen.
    a) 12 und 16
    b) 30 und 45
    c) 60 und 160
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    Teil a) 12 und 16

    • Primfaktorzerlegung: \( 12 = 2^2 \times 3 \),   \( 16 = 2^4 \)
    • ggT = \( 2^2 = 4 \)
    • kgV = \( 2^4 \times 3 = 48 \)
    • Produkt von kgV und ggT: \( 48 \times 4 = \mathbf{192} \)
    • Produkt der Zahlen: \( 12 \times 16 = \mathbf{192} \)

    Die beiden Produkte sind gleich.

    Teil b) 30 und 45

    • Primfaktorzerlegung: \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \),   \( 45 = 3^2 \times 5 \)
    • ggT = \( 3 \times 5 = 15 \)
    • kgV = \( 2 \times 3^2 \times 5 = 90 \)
    • Produkt von kgV und ggT: \( 90 \times 15 = \mathbf{1350} \)
    • Produkt der Zahlen: \( 30 \times 45 = \mathbf{1350} \)

    Die beiden Produkte sind gleich.

    Teil c) 60 und 160

    • Primfaktorzerlegung: \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \),   \( 160 = 2^5 \times 5 \)
    • ggT = \( 2^2 \times 5 = 20 \)
    • kgV = \( 2^5 \times 3 \times 5 = 480 \)
    • Produkt von kgV und ggT: \( 480 \times 20 = \mathbf{9600} \)
    • Produkt der Zahlen: \( 60 \times 160 = \mathbf{9600} \)

    Die beiden Produkte sind gleich.

    Fazit: Es gilt immer für zwei beliebige ganze Zahlen \( M \) und \( N \), dass folgende Beziehung besteht:
    \( \text{ggT} \times \text{kgV} = M \times N \)

Links und Referenzen

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