Primfaktorzerlegung in Mathe
Übungsaufgaben für die 7. Klasse mit ausführlichen Lösungen

Übungsaufgaben

1. Welche der folgenden Möglichkeiten ist KEINE Primfaktorzerlegung?
   1. $20 = 2 \times 10$
   2. $14 = 2 \times 7$
   3. $64 = 4^3$
   4. $120 = 2^3 \times 15$
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   Antworten: a, c und d sind KEINE Primfaktorzerlegungen.

   Die Primfaktorzerlegung darf NUR Primzahlen enthalten.

   • a) $20 = 2 \times 10$: Die Zahl $10$ ist zusammengesetzt, nicht prim.
   • c) $64 = 4^3$: Die Basiszahl $4$ ist zusammengesetzt. (Die korrekte Primfaktorzerlegung ist $2^6$).
   • d) $120 = 2^3 \times 15$: Die Zahl $15$ ist zusammengesetzt. (Die korrekte Primfaktorzerlegung ist $2^3 \times 3 \times 5$).
2. Was ist die Primfaktorzerlegung der folgenden Zahlen?
   1. $28$
   2. $32$
   3. $100$
   4. $126$
   5. $900$
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   Teilen Sie jede Zahl sukzessive durch Primzahlen, bis der letzte Quotient eine Primzahl ist:

   1. $28 = 2 \times 2 \times 7 = \mathbf{2^2 \times 7}$
   2. $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{2^5}$
   3. $100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = \mathbf{2^2 \times 5^2}$
   4. $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = \mathbf{2 \times 3^2 \times 7}$
   5. $900 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = \mathbf{2^2 \times 3^2 \times 5^2}$
3. Zwei Zahlen, A und B, sind gegeben durch:
   $A = 2^3 \times 5^2 \times 11$ und $B = 2^2 \times 5 \times 13$.
   Was ist die Primfaktorzerlegung von $A \times B$?
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   Multiplizieren Sie die beiden Primfaktorzerlegungen miteinander:

   $A \times B = (2^3 \times 5^2 \times 11) \times (2^2 \times 5 \times 13)$

   Gruppieren Sie die Basen, die gleich sind, und addieren Sie deren Exponenten:

   $A \times B = (2^3 \times 2^2) \times (5^2 \times 5^1) \times 11 \times 13$

   $A \times B = \mathbf{2^5 \times 5^3 \times 11 \times 13}$

4. Finden Sie die Primfaktorzerlegung von $100$ und $70$. Verwenden Sie dann diese Ergebnisse, um die Primfaktorzerlegung von $7000$ zu finden, da $7000 = 100 \times 70$.
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   Finden Sie zuerst die individuellen Primfaktorzerlegungen:

   $100 = 2^2 \times 5^2$

   $70 = 2 \times 5 \times 7$

   Nutzen Sie die Tatsache, dass $7000 = 100 \times 70$, um die Faktoren zu kombinieren:

   $7000 = (2^2 \times 5^2) \times (2^1 \times 5^1 \times 7^1)$

   Kombinieren Sie gleiche Basen durch Addieren der Exponenten:

   $7000 = \mathbf{2^3 \times 5^3 \times 7}$

5. Muster bei Zehnerpotenzen entdecken:
   1. Finden Sie die Primfaktorzerlegung von $10$.
   2. Verwenden Sie das Ergebnis aus Teil (a) und die Tatsache, dass $100 = 10 \times 10$, um die Primfaktorzerlegung von $100$ zu finden.
   3. Verwenden Sie das Ergebnis aus Teil (a) und die Tatsache, dass $1000 = 10 \times 10 \times 10$, um die Primfaktorzerlegung von $1000$ zu finden.
   4. Verwenden Sie die obigen Ergebnisse, um ein Muster zu identifizieren und die Primfaktorzerlegung von $1.000.000$ zu finden.
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   1. $10 = \mathbf{2 \times 5}$
   2. $100 = 10 \times 10 = 10^2 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^2 \times 5^2}$
   3. $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^3 \times 5^3}$
   4. Nach dem oben etablierten Muster gilt $10^n = 2^n \times 5^n$. Daher für eine Million:
      $1.000.000 = 10^6 = (2 \times 5)^6 = \mathbf{2^6 \times 5^6}$

Weitere Referenzen und Links

• Mathematik für die Mittelstufe (Klassen 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Aufgaben und Probleme mit Antworten
• Mathematik für die Oberstufe (Klassen 10, 11 und 12) - Kostenlose Aufgaben und Probleme mit Antworten
• Primarstufe Mathematik (Klassen 4 und 5) mit kostenlosen Aufgaben und Problemen mit Antworten