Matheaufgaben Klasse 7
Mit Lösungen und Erklärungen
Detaillierte Lösungen und vollständige Erklärungen zu Matheaufgaben der Klasse 7 werden vorgestellt.
Aufgaben
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Aufgabe
In einem Beutel sind \(\dfrac14\) der Kugeln grün, \(\dfrac18\) sind blau, \(\dfrac1{12}\) sind gelb, und die restlichen 26 sind weiß. Wie viele Kugeln sind blau?
Lösung
Anteil der grünen, blauen und gelben Kugeln:
\[
\dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac1{12} = \dfrac6{24} + \dfrac3{24} + \dfrac2{24} = \dfrac{11}{24}.
\]
Anteil der weißen Kugeln:
\[
\dfrac{24}{24} - \dfrac{11}{24} = \dfrac{13}{24}.
\]
Wenn \(x\) die Gesamtzahl der Kugeln ist, dann gilt
\[
\dfrac{13}{24}x = 26 \quad\Rightarrow\quad x = 26 \times \dfrac{24}{13} = 48.
\]
Anzahl der blauen Kugeln:
\[
\dfrac18 \times 48 = 6.
\]
Antwort: 6 Kugeln.
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Aufgabe
In einer Schule sind 50% der Schüler jünger als 10, \(\dfrac1{20}\) sind 10 Jahre alt, \(\dfrac1{10}\) sind älter als 10, aber jünger als 12, und die restlichen 70 Schüler sind 12 oder älter. Wie viele Schüler sind 10 Jahre alt?
Lösung
Anteil der Gruppen A, B, C:
\[
\dfrac12 + \dfrac1{20} + \dfrac1{10} = \dfrac{10}{20} + \dfrac1{20} + \dfrac2{20} = \dfrac{13}{20}.
\]
Anteil für Gruppe D:
\[
1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac7{20}.
\]
Da \(\dfrac7{20}X = 70\), haben wir insgesamt \(X = 200\) Schüler.
Anzahl der 10-jährigen Schüler:
\[
\dfrac1{20} \times 200 = 10.
\]
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Aufgabe
Wenn die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelt wird, wie groß ist das Verhältnis der Flächen des ursprünglichen Quadrats zum neuen Quadrat?
Lösung
Ursprüngliche Fläche: \(x^2\). Neue Fläche: \((2x)^2 = 4x^2\).
Verhältnis:
\[
\dfrac{x^2}{4x^2} = \dfrac14 \quad\text{oder}\quad 1:4.
\]
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Aufgabe
Die Division von \(N\) durch 13 ergibt einen Quotienten von 15 und einen Rest von 2. Finde \(N\).
Lösung
\[
N = 15 \times 13 + 2 = 197.
\]
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Aufgabe
Im Rechteck unten teilt die Linie \(MN\) es so, dass \(MNBC\) \(40\%\) der Gesamtfläche ausmacht. Finde \(x = NB\).
Lösung
Aus \(MC + 5 = 20 + x\) erhalten wir \(MC = 15 + x\).
Fläche des Trapezes \(MNBC\):
\[
A = \dfrac12 \times 10 \times (x + MC) = 5(2x + 15).
\]
\(40\%\) der Rechtecksfläche:
\[
0.4 \times (20 + x) \times 10 = 4(20 + x).
\]
Gleichsetzen:
\[
5(2x + 15) = 4(20 + x) \quad\Rightarrow\quad 10x + 75 = 80 + 4x \quad\Rightarrow\quad 6x = 5 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac56 \text{ m}.
\]
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Aufgabe
Eine Person joggte 10 Mal entlang des Umfangs eines rechteckigen Feldes mit einer Geschwindigkeit von 12 Kilometern pro Stunde für 30 Minuten. Wenn das Feld eine Länge hat, die doppelt so groß ist wie seine Breite, finde die Fläche des Feldes in Quadratmetern.
Lösung
Finden wir zuerst die zurückgelegte Strecke \(d\):
\[
\text{Strecke} = \text{Geschwindigkeit} \times \text{Zeit} = (12 \ \text{km/h}) \times 0.5 \ \text{h} = 6 \ \text{km}
\]
Die Strecke von \(6\ \text{km}\) entspricht \(10\) Umfängen, also:
\[
\text{1 Umfang} = \dfrac{6}{10} \ \text{km} = 0.6 \ \text{km} = 600 \ \text{m}
\]
Seien \(L\) und \(W\) die Länge und Breite des Feldes. Gegeben \(L = 2W\) und:
\[
2(L + W) = 600
\]
Ersetze \(L = 2W\):
\[
2(2W + W) = 600 \quad \Rightarrow \quad 6W = 600 \quad \Rightarrow \quad W = 100
\]
\[
L = 2W = 200
\]
Fläche:
\[
A = L \times W = 200 \times 100 = 20.000 \ \text{m}^2
\]
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Aufgabe
Vier kongruente gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke werden aus den 4 Ecken eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 20 Einheiten geschnitten. Die Länge einer Kathete der Dreiecke beträgt 4 Einheiten. Wie groß ist die Fläche des verbleibenden Achtecks?
Lösung
Fläche des Quadrats:
\[
A = 20 \times 20 = 400
\]
Fläche eines kleinen Dreiecks:
\[
B = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8
\]
Fläche des Achtecks:
\[
A - 4B = 400 - 4 \times 8 = 368
\]
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Aufgabe
Ein Auto fährt 75 Kilometer pro Stunde. Wie viele Meter fährt das Auto in einer Minute?
Lösung
\[
75 \ \text{km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \ \text{m}}{60 \ \text{min}} = 1250 \ \text{m/min}
\]
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Aufgabe
Linda gab \(\dfrac{3}{4}\) ihrer Ersparnisse für Möbel aus und den Rest für einen Fernseher. Wenn der Fernseher 200$ kostete, wie hoch waren ihre ursprünglichen Ersparnisse?
Lösung
Anteil, der für den Fernseher ausgegeben wurde:
\[
1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}
\]
\(\dfrac{1}{4}\) der Ersparnisse = 200$, also:
\[
\text{Ersparnisse} = 4 \times 200 = 800
\]
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Aufgabe
Stuart kaufte einen Pullover im Angebot mit 30% Rabatt auf den ursprünglichen Preis und weiteren 25% Rabatt auf den reduzierten Preis. Wenn der ursprüngliche Preis des Pullovers 30$ betrug, was war der Endpreis des Pullovers?
Lösung
Preis nach 30% Rabatt:
\[
30 - 0.30 \times 30 = 30 - 9 = 21
\]
Preis nach weiteren 25% Rabatt:
\[
21 - 0.25 \times 21 = 21 - 5.25 = 15.75
\]
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Aufgabe
15 cm ist die Höhe des Wassers in einem zylindrischen Behälter mit Radius \(r\). Wie hoch ist diese Wassermenge, wenn sie in einen zylindrischen Behälter mit Radius \(2r\) gegossen wird?
Lösung
Volumen im ersten Behälter:
\[
V_1 = 15 \pi r^2
\]
Volumen im zweiten Behälter:
\[
V_2 = H \pi (2r)^2
\]
Da \(V_1 = V_2\):
\[
15 \pi r^2 = H \pi (4r^2) \quad \Rightarrow \quad H = \dfrac{15}{4} = 3.75
\]
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Aufgabe
John kaufte ein Hemd im Angebot mit 25% Rabatt auf den ursprünglichen Preis und weiteren 25% Rabatt auf den reduzierten Preis. Wenn der Endpreis 16$ betrug, wie hoch war der Preis vor dem ersten Rabatt?
Lösung
Sei \(x\) = Preis vor dem ersten Rabatt.
Nach dem ersten Rabatt:
\[
x - 0.25x = 0.75x
\]
Nach dem zweiten Rabatt:
\[
0.75x - 0.25(0.75x) = 0.75x(1 - 0.25) = 0.75x \times 0.75 = 0.5625x
\]
Gegeben:
\[
0.5625x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{16}{0.5625} \approx 28.44
\]
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Aufgabe
Wie viele Zoll sind in 2000 Millimetern? (Runde deine Antwort auf das nächste Hundertstel Zoll).
Lösung
Ein Zoll entspricht \(25.4 \ \text{mm}\). Sei \(x\) Zoll gleich \(2000\ \text{mm}\):
\[
x = 1\ \text{Zoll} \times \dfrac{2000\ \text{mm}}{25.4\ \text{mm}} = 78.74\ \text{Zoll}
\]
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Aufgabe
Der rechteckige Spielplatz in Tims Schule ist dreimal so lang wie breit. Die Fläche des Spielplatzes beträgt \(75\ \text{m}^2\). Wie groß ist der Umfang des Spielplatzes?
Lösung
Sei \(L\) die Länge und \(W\) die Breite des Spielplatzes.
"Der rechteckige Spielplatz in Tims Schule ist dreimal so lang wie breit" bedeutet:
\[
L = 3W
\]
Die Fläche \(A = L \times W\):
\[
75 = L \times W = (3W) \times W = 3W^2
\]
Löse nach \(W\) auf:
\[
3W^2 = 75 \quad \Rightarrow \quad W^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad W = 5\ \text{m}
\]
\[
L = 3W = 15\ \text{m}
\]
Umfang:
\[
P = 2L + 2W = 2(15) + 2(5) = 40\ \text{m}
\]
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Aufgabe
John hatte einen Bestand von 1200 Büchern in seiner Buchhandlung. Er verkaufte 75 am Montag, 50 am Dienstag, 64 am Mittwoch, 78 am Donnerstag und 135 am Freitag. Wie viel Prozent der Bücher wurden nicht verkauft?
Lösung
Sei \(N\) die Gesamtzahl der verkauften Bücher:
\[
N = 75 + 50 + 64 + 78 + 135 = 402
\]
Nicht verkaufte Bücher:
\[
M = 1200 - N = 798
\]
Prozentsatz nicht verkauft:
\[
\dfrac{M}{1200} = \dfrac{798}{1200} \approx 0.665 = 66.5\%
\]
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Aufgabe
\(N\) ist eine der folgenden Zahlen. \(N\) ist so, dass die Multiplikation mit \(0.75\) \(1\) ergibt. Welche Zahl ist gleich \(N\)?
Lösung
Die Aussage "multipliziert mit \(0.75\) ergibt \(1\)" wird geschrieben als:
\[
N \times 0.75 = 1
\]
Löse nach \(N\) auf:
\[
N = \dfrac{1}{0.75} = \dfrac{100}{75} = \dfrac{75+25}{75} = \dfrac{75}{75} + \dfrac{25}{75} = 1 + \dfrac{1}{3}
\]
Antwort: **B**
A) \(1 \dfrac{1}{2}\)
B) \(1 \dfrac{1}{3}\)
C) \(\dfrac{5}{3}\)
D) \(\dfrac{3}{2}\)
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Aufgabe
Im Jahr 2008 betrug die Weltbevölkerung etwa \(6.760.000.000\). Schreibe die Weltbevölkerung von 2008 in wissenschaftlicher Notation.
Lösung
Eine Zahl in wissenschaftlicher Notation wird geschrieben als:
\[
m \times 10^n, \quad 1 \le |m| < 10
\]
\[
6.760.000.000 = 6.76 \times 10^9
\]
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Aufgabe
Berechne den Umfang eines kreisförmigen Feldes mit einem Radius von \(5\ \text{cm}\).
Lösung
Der Umfang \(C\) ist gegeben durch:
\[
C = 2\pi r = 2\pi \times 5 = 10\pi \ \text{cm}
\]
Antworten zu den obigen Aufgaben
- 6 Kugeln sind blau
- 10 Schüler sind 10 Jahre alt
- 1:4
- N = 197
- x = 5/6 Meter
- 20.000 Quadratmeter
- 368 Quadrateinheiten
- 1250 Meter pro Minute
- 800$
- 15,75$
- 3,75 cm
- 28,44$
- 78,74 Zoll
- 40 Meter
- 66,5%
- B
- 6,76 109
- 10π Zentimeter
Links und Referenzen