Fragen der 7. Klasse zur Mengenlehre
mit Lösungen und Erklärungen

Detaillierte Lösungen und vollständige Erklärungen zu Fragen der 7. Klasse zur Mengenlehre werden präsentiert.

  1. Aufgabe 1

    Geben Sie die Kardinalität der Mengen A und B an, definiert durch
    A = {a, b, c, d} und B = {1, 4, 7, 9, 10, 12, 23}

    Lösung
    Die Kardinalität einer Menge ist gleich der Anzahl aller verschiedenen Elemente in der Menge. Menge A hat 4 verschiedene Elemente und Menge B hat 7 verschiedene, daher
    | A | = 4 , die Notation | A | bedeutet Kardinalität von A
    und | B | = 7

  2. Aufgabe 2

    Geben Sie die Kardinalität an von
    a) der Menge aller Monate, die mit M beginnen.
    b) der Menge aller Vokale im englischen Alphabet.
    Lösung
    Finden wir die Elemente der Menge S aller Monate, die mit M beginnen
    S = {März , Mai}
    Daher ist die Kardinalität von S
    | S | = 2
    Finden wir die Elemente der Menge V aller Vokale im englischen Alphabet
    V = {a, e, i, o, u}
    Daher ist die Kardinalität von V
    | V | = 5

  3. Aufgabe 3

    Die Mengen A und B sind definiert durch
    A = {3, 5, 7, 8} und B = {x, y, z}

    Antworten Sie mit wahr oder falsch
    a) 3 ∈ A
    b) 3 ∈ B
    c) x ∉ A
    d) z ∈ B
    e) 8 ∈ B
    Lösung
    Das Symbol ∈ bedeutet "ist ein Element von".
    a) 3 ∈ A , wahr, weil 3 ein Element der Menge A ist.
    b) 3 ∈ B, falsch, weil 3 kein Element von B ist.
    c) x ∉ A , wahr, weil x kein Element von A ist.
    d) z ∈ B , wahr, weil z ein Element von B ist.
    e) 8 ∈ B , falsch, weil 8 kein Element von B ist.

  4. Aufgabe 4

    Listen Sie alle Elemente in jeder Menge auf
    a) Die Menge aller positiven geraden Zahlen kleiner oder gleich 10
    b) Die Menge aller Buchstaben im Wort "AUSTRALIA".
    c) Die Menge aller ganzen Zahlen größer als 3 und kleiner als 16, die durch 3 teilbar sind.
    d) Die Menge aller ganzen Zahlen größer als 5 und kleiner als 35, die durch 5 teilbar sind.
    e) Die Menge aller Primzahlen, die durch 3 teilbar sind.
    f) Die Menge aller Zahlen, deren Absolutwert gleich 7 ist.
    Lösung
    a) {2, 4, 6, 8, 10}
    b) {A, U, S, T, R, L, I}
    c) {6, 9, 12, 15}
    d) {10, 15, 20, 25, 30}
    e) {3}
    f) {-7, 7}

  5. Aufgabe 5

    Die Mengen A, B, C und D sind definiert durch:
    A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
    B = {3, 5, 7}
    C = {3, 5, 7, 20, 25, 30}
    D = {20, 25, 30}
    Antworten Sie mit wahr oder falsch
    a) A ⊂ B
    b) B ⊂ A
    c) B ⊄ C
    d) C ⊂ D
    e) D ⊄ A
    Lösung
    a) A ⊂ B bedeutet A ist eine Teilmenge von B und ist wahr, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind. Die Elemente 2, 4 und 6 von A sind keine Elemente von B und daher ist A ⊂ B falsch.
    b) B ⊂ A ist wahr, da alle Elemente von B auch Elemente von A sind.
    c) B ⊄ C ist falsch. Da alle Elemente von B auch Elemente von C sind, ist B eine Teilmenge von C.
    d) C ⊂ D ist falsch, da die Elemente 3, 5 und 7 Elemente von C sind, aber nicht von D.
    e) D ⊄ A ist wahr, da die Elemente 20, 25 und 30 Elemente von D sind, aber nicht von A.

  6. Aufgabe 6

    Verwenden Sie die in Aufgabe 5 definierten Mengen A, B, C und D, um zu finden
    a) A ⋃ B
    b) A ⋂ B
    c) B ⋂ C
    d) C ⋃ B
    e) D ⋂ C
    f) (A ⋂ B) ⋂ C
    g) (A ⋃ B) ⋂ (C ⋃ D)
    h) (A ⋃ B) ⋃ (C ⋃ D)
    Lösung
    a) A ⋃ B ist die Menge aller Elemente von A und B, und jedes Element wird nur einmal aufgelistet. Daher
    A ⋃ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} = A
    b) A ⋂ B ist die Menge aller Elemente, die sowohl in Menge A als auch in Menge B vorkommen. Daher
    A ⋂ B = {3, 5, 7} = B
    c) B ⋂ C ist die Menge aller Elemente, die sowohl in Menge B als auch in Menge C vorkommen. Daher
    B ⋂ C = {3, 5, 7} = B
    d) C ⋃ B ist die Menge aller Elemente in C und B, jedes Element einmal aufgelistet. Daher
    C ⋃ B = {3, 5, 7, 20, 25, 30} = C
    e) D ⋂ C ist die Menge aller Elemente, die sowohl in Menge D als auch in Menge C vorkommen. Daher
    D ⋂ C = {20, 25, 30} = D
    f) Wir bestimmen zuerst A ⋂ B
    A ⋂ B = B
    Als nächstes bestimmen wir
    (A ⋂ B) ⋂ C = B ⋂ C = B
    g) Wir bestimmen zuerst (A ⋃ B)
    (A ⋃ B) = A
    Als nächstes bestimmen wir (C ⋃ D)
    (C ⋃ D) = C
    Wir haben nun
    (A ⋃ B) ⋂ (C ⋃ D)
    = A ⋂ C = {3, 5, 7} = B
    h) Wir bestimmen zuerst (A ⋃ B)
    (A ⋃ B) = A
    Als nächstes bestimmen wir (C ⋃ D)
    (C ⋃ D) = C
    Wir haben nun
    (A ⋃ B) ⋃ (C ⋃ D)
    = A ⋃ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 30}

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