Lösungen
Der Absolutbetrag einer Zahl ist entweder positiv oder null und daher ist nur Teil b) wahr.
Alle Zahlen, die in den gegebenen Ungleichungen vorkommen, sind auf dem untenstehenden Zahlenstrahl aufgetragen. Bei zwei beliebigen Zahlen auf dem Zahlenstrahl ist die rechte größer als die linke, oder die linke ist kleiner als die rechte.
Daher:
a)
ist NICHT WAHR (-5 rechts von -7) b) 
ist WAHR ,
c)
ist NICHT WAHR (-1 links von 0) d) 
ist WAHR
2 - Dezimalzahlen
Lösungen
Schreiben Sie die Zahlen in eine Tabelle mit dem Stellenwert, wie unten gezeigt
\( \)\( \)\( \)\(\)
\( \require{cancel} \)
1) Wir vergleichen die Ziffern an der Einerstelle und sie sind alle gleich.
2) Als nächstes vergleichen wir die Zehntel und die höchste ist diejenige, die der Zahl in der ersten Zeile entspricht. \( 2.32 \) ist die größte.
3) Als nächstes vergleichen wir die Hundertstel und die beiden höchsten befinden sich in der zweiten und vierten Zeile.
4) Als nächstes vergleichen wir die Tausendstel der Zahlen in der zweiten und vierten Zeile und die in der vierten Zeile ist die höchste. \( 2.033 \) ist die zweitgrößte.
5) \( 2.032 \) ist die drittgrößte und \( 2.032 \) ist die viertgrößte.
Die Reihenfolge von der größten zur kleinsten ist: \( 2.32 \), \( 2.033 \), \( 2.032 \), \( 2.023 \)
a) \( 4.01 \) hat eine \( 0 \) an der Zehntelstelle, daher keine Änderung der Einerstelle und somit ist die Antwort \( 4 \)
b) \( 6.8 \) hat eine \( 8 \) an der Zehntelstelle, daher addieren wir \( 1 \) zur Einerstelle und somit ist die Antwort \( 7 \)
c) \( 11.5 \) hat eine \( 5 \) an der Zehntelstelle, daher addieren wir \( 1 \) zur Einerstelle und somit ist die Antwort \( 12 \)
a) \( 0.15 \div 3 = 0.05\)
b) \( 5 - 1.2 \times 0.2 = 5 - 0.24 = 4.76 \)
c) \( 2.3 - 0.7 \div 7 = 2.3 - 0.1 = 2.2\)
3 - Faktoren, Vielfache und Teilbarkeit von Zahlen
Lösungen
Die Faktoren von \( 18 \) sind: \( 1, 2, 3, \color{red}6, 9, 18 \)
Die Faktoren von \( 24 \) sind: \( 1, 2, 3, 4, \color{red}6, 8, 12, 24 \)
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von \( 24 \) und \( 18 \) ist \( \color{red}6 \)
Die Vielfachen von \( 8\) sind: \( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,\color{red}{72}, 80 \)
Die Vielfachen von \( 18 \) sind: \( 18, 36, 54, \color{red}{72}, 90 \)
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von \( 8 \) und \( 18 \) ist \( \color{red}{72} \)
Eine Zahl, deren letzte Ziffer an der Einerstelle (ganz rechts) \( 0 \) oder \( 5 \) ist, ist durch \( 5 \) teilbar.
Daher sind die Zahlen in Teil b) \( 303090 \) und c) \( 145055 \) durch \( 5 \) teilbar.
Eine Zahl, deren letzte Ziffer an der Einerstelle (ganz rechts) \( 0, 2, 4, 6, 8 \) ist, ist durch \( 2 \) teilbar.
Daher sind die Zahlen in Teil a) \( 2798 \) und c) \( 6476 \) durch \( 2 \) teilbar.
Eine Zahl ist durch \( 3 \) teilbar, wenn die Summe aller ihrer Ziffern in der Zahl durch \( 3 \) teilbar ist (oder ein Vielfaches von \( 3 \) ist).
a) \( 9240 \) : Ziffernsumme: \( 9+2+4+0 = 15 \), \( 15 \) ist durch \( 3 \) teilbar und daher ist \( 9240 \) durch 3 teilbar.
b) \( 4 909 \): Ziffernsumme: \( 4+9+0+9 = 22 \), \( 22 \) ist NICHT durch \( 3 \) teilbar und daher ist \( 4 909 \) NICHT durch 3 teilbar.
c) \( 3 282 900 \) : Ziffernsumme: \( 3+2+8+2+9+0+0 = 24 \), \( 24 \) ist durch \( 3 \) teilbar und daher ist \( 3 282 900 \) durch 3 teilbar.
4 - Brüche und gemischte Zahlen
Lösungen
Wir können einen äquivalenten Bruch zu einem gegebenen erhalten, indem wir Zähler und Nenner des gegebenen Bruchs mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren.
a)
Gegeben \( \displaystyle \frac{10}{15} = \frac{?}{3}\)
Um von einem Nenner gleich \( 15 \) im Bruch links zu einem Nenner gleich \( 3 \) im Bruch rechts zu gelangen, dividieren wir durch \( 5 \). Daher
\( \displaystyle \frac{10}{15} = \frac{10 \color{red}{\div 5}}{15 \color{red}{\div 5}} = \frac{2}{3} \)
b)
Gegeben \( \displaystyle \frac{17}{3} = \frac{34}{?} \)
Um von einem Zähler gleich \( 17 \) im Bruch links zu einem Zähler gleich \( 34 \) im Bruch rechts zu gelangen, multiplizieren wir mit \( 2 \). Daher
\( \displaystyle \frac{17}{3} = \frac{17 \color{red}{\times 2} }{3 \color{red}{\times 2} } = \frac{34}{6} \)
c)
Gegeben \( \displaystyle \frac{11}{2} = \frac{?}{8} \)
Um von einem Nenner gleich \( 2 \) im Bruch links zu einem Nenner gleich \( 8 \) im Bruch rechts zu gelangen, multiplizieren wir mit \( 4 \). Daher
\( \displaystyle \frac{11}{2} = \frac{11 \color{red}{\times 4}}{2 \color{red}{\times 4}} = \frac{44}{8} \)
a)
Wandle den Bruch \( \displaystyle \frac{2}{5} \) in einen äquivalenten Bruch mit dem Nenner \( 10 \) um.
\( \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \)
Ersetze den Bruch \( \displaystyle \frac{2}{5} \) durch seinen Äquivalenten im gegebenen Ausdruck.
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} \)
Die Brüche in der Summe/Differenz haben denselben Nenner, und wir addieren/subtrahieren sie daher wie folgt:
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} \\ = \displaystyle \frac{4}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4+3-1}{10} = \frac{6}{10} \)
Kürze den Bruch, indem du Zähler und Nenner durch \( 2 \) dividierst, und daher
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{5} \)
b)
\( \displaystyle \frac{5}{9} \times \frac{3}{4} = \frac {5 \times 3}{9 \times 4} = \frac{15}{36}\)
Dividiere Zähler und Nenner durch den ggT von \( 15 \) und \( 36 \), der \( 3 \) ist.
\( \displaystyle = \frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}\)
c)
Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multiplizieren wir den ersten mit dem Kehrwert des zweiten. Daher
\( \displaystyle \frac{11}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{11}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{88}{2} = 44\)
d)
\( \displaystyle 4 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{2} = (4 - 1) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) \)
Wandle \( \displaystyle \frac{1}{2} \) in einen äquivalenten Bruch mit dem Nenner \( 4 \) um und ersetze.
\( \displaystyle = 3 + (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = 3 \frac{1}{4} \)
e)
Wandle die gemischte Zahl \( \displaystyle 6 \frac{3}{4} \) in einen Bruch um.
\( \displaystyle 6 \frac{3}{4} = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4} \)
Die Division erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert von \( 2 \). Daher
\( \displaystyle \frac{27}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{27}{8}\)
Wandle in eine gemischte Zahl um.
\( \displaystyle \frac{27}{8} = \frac{24+3}{8} = 3 \frac{3}{8}\)
f)
Schreibe \( 3 \) als Bruch.
\( \displaystyle 3 = \frac{3}{1} \)
Die Division wird zu einer Multiplikation mit dem Kehrwert von \( \displaystyle \frac{3}{5} \). Daher
\( \displaystyle 3 \div \frac{3}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{3} = 5 \)
g)
Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.
\( \displaystyle 2 \frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5} = \frac{2}{1} + \frac{3}{5} = \frac{2 \times 5}{1 \times 5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \)
\( \displaystyle 3 \frac{3}{5} = 3 + \frac{3}{5} = \frac{3 \times 5}{1 \times 5} + \frac{3}{5} = \frac{18}{5} \)
Ersetze die gemischten Zahlen durch die oben gefundenen äquivalenten Brüche.
\( \displaystyle 2 \frac{3}{5} \div 3 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \div \frac{18}{5} \)
Eine Division von Brüchen wird zu einer Multiplikation mit dem Kehrwert.
\( \displaystyle 2 \frac{3}{5} \div 3 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \times \frac{5}{18} = \frac{13}{18} \)
a)
Die Zahl hat die Ziffer \( 2 \) an der Zehntelstelle. Daher
\( 0.2 = \displaystyle \frac {2}{10} \)
Kürze den Bruch.
\( = \displaystyle \frac {1}{5} \)
b)
Die Zahl hat \(1 \) an der Einerstelle, \( 2 \) an der Zehntelstelle und \( 4 \) an der Hundertstelstelle. Daher
\( \displaystyle 1.24 = 1 + \frac{2}{10} + \frac{4}{100} = 1 + \frac{2 \times 10}{10 \times 10} + \frac{4}{100} = 1 \frac{24}{100} \)
Kürze den Bruch.
\( \displaystyle = 1 \frac{6}{25} \)
c)
\( \displaystyle 2.326 = 2 + \frac{3}{10} + \frac{2}{100} + \frac{6}{1000} = 2 \frac{163}{500} \)
Verwende die Regeln der Division durch \( 10 \), \( 100\), \( 1000 \), \( 10000 \), ...
a)
\( \displaystyle \frac{9}{100} = 0.09 \)
b)
\( \displaystyle \frac{17}{10000} = 0.0017\)
c)
\( \displaystyle 3 \frac{11}{100000} = 0.00011\)
a)
Bringe die Brüche auf den gleichen Nenner.
\( \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{8}{20} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4} = \frac {15}{20} \)
Daher ist die Aussage \( \displaystyle \frac{2}{5} \lt \frac{3}{4} \) wahr.
b)
Bringe die Brüche auf den gleichen Nenner.
\( \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{10}{30} \)
\( \displaystyle \frac{3}{10} = \frac {9}{30} \)
Daher ist die Aussage \( \displaystyle \frac{1}{3} \lt \frac{3}{10} \) NICHT wahr.
5 - Exponenten
Lösungen
a)
\( 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 \)
b)
\( 7 \times 4 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5 = 7 \times (4 \times 4 \times 4) \times (5 \times 5) = 7 \times 4^3 \times 5^2\)
a)
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
b)
\( 3^2 \times 4^2 = (3 \times 3) \times (4 \times 4) = 9 \times 16 = 144\)
c)
Beachte, dass \( 10^0 = 1 \), daher
\( 10^0 \times 4^2 = 1 \times 4 \times 4 = 16 \)
6 - Verhältnisse und Raten und Verwandtes
Lösungen
a) Dreiecke zu Quadraten : 4 zu 7 b) Quadrate zu Dreiecken : 7 zu 4 c) Quadrate zur Gesamtzahl der Figuren: 7:11
Schule A: \( 1200 \) Schüler, \( 400 \) Jungen, Mädchen \( 1200 - 400 = 800\), Verhältnis Mädchen zu Jungen als Bruch: \( \displaystyle \frac{800}{400} \), gekürzt auf \( \displaystyle \frac{2}{1} \)
Schule B: \( 800 \) Schüler, \( 300 \) Jungen, Mädchen \( 800 - 300 = 500\), Verhältnis Mädchen zu Jungen als Bruch: \( \displaystyle \frac{500}{300} \), gekürzt auf \( \displaystyle \frac{5}{3} \)
Vergleiche die Verhältnisse, die durch die Brüche gegeben sind, und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Schule A: \( \displaystyle \frac{2}{1} = \frac{6}{3} \)
Schule B: \( \displaystyle \frac{5}{3} \)
Beim Vergleich der durch die Brüche gegebenen Verhältnisse hat Schule A ein höheres Mädchen-zu-Jungen-Verhältnis.
7 - Proportionalität und verwandte Probleme
Lösungen
Die Distanz ist proportional zur Zeit wie folgt:
Distanz = Geschwindigkeit × Zeit, die Geschwindigkeit (oder Rate) ist konstant.
Geschwindigkeit = \( \displaystyle \frac{240 \; \text{km}}{3 \; \text{Std.}} = 80 \; km/h \)
\( 400 \; km \) = Geschwindigkeit × Zeit
Zeit = \( \displaystyle \frac{400 km}{80 \; km/h } = 5 \; \text{Std.}\)
Sei \( x \) der Betrag in Dollar, der benötigt wird, um 320 Dirham zu kaufen.
Wechselkurs: \( 4 \; \text{Dhs/\$} \) und ist konstant.
\( 320 \; \text{Dhs} = x \times 4 \; \text{Dhs/\$}\)
\( x = \displaystyle \frac{320 \; \text{Dhs} }{4 \; \text{Dhs/\$}} = 80 \; \text{\$} \)
a)
Distanz = \( k \times\) Zeit
Aus dem Graphen bei Zeit = \( 2 \) Std. beträgt die Distanz d = \( 8 \) km.
Daher
\( 8 = k \times 2 \)
Berechne \( k \)
\( k = 8/2 = 4 \)
für Zeit = 2.5 Std.;
d = \( 4 \times 2.5 = 10 \) km
b)
Es ist die Konstante \( k = 4 \) km/h.
c)
Unter Verwendung von Distanz = \( k \times \) Zeit schreiben wir:
\( 32 = 4 \times \) Zeit
Die benötigte Zeit, um \( 32 \) km zurückzulegen, ist gegeben durch \( 32 / 4 = 8 \) Std.
Damit \( y \) proportional zu \( x \) ist, muss die Beziehung \( y = k x \) gelten, wobei \( k \) konstant sein muss.
Die obige Beziehung kann auch geschrieben werden als \( \frac{y}{x} = k \).
Unten sind die gleichen Tabellen dargestellt, ergänzt um das Verhältnis \( y \div x \) auf der rechten Seite.
Die Verhältnisse \( y \div x \) in den Tabellen A) und C) sind NICHT konstant (siehe roter Kreis).
Die Verhältnisse \( y \div x \) in den Tabellen B) und D) sind jedoch konstant und gleich \( 2 \) bzw. \( 3 \).
Daher ist \( y \) in den Tabellen B) und D) proportional zu \( x \), aber nicht in A) und C).
8 - Prozent und verwandte Probleme
Lösungen
\( \displaystyle 20\% \) von \( \displaystyle 10 = \frac{20}{100} \times 10 = \frac{200}{100} = 2 \)
\( 50\% \) von \( \displaystyle \frac{1}{4} = \frac{50}{100} \times \frac{1}{4} = \frac{50}{400} = \frac{1}{8} \)
Ein Prozent ist ein Bruch mit dem Nenner 100. Um also von einem Nenner gleich \( 5 \) zu einem Nenner gleich \( 100 \) zu gelangen, multiplizieren wir mit \( 20 \).
\( \displaystyle \frac {3}{5} = \frac {3 \times 20}{5 \times 20} = \frac{60}{100} = 60\% \)
Prozentsatz ihres monatlichen Gehalts, der für Kleidung ausgegeben wird = \( \displaystyle \frac {600}{3000} = \frac {600 \div 30}{3000 \div 30 } = \frac{20}{100} = 20\% \)
Prozentuale Veränderung = \( \displaystyle \frac{100 - 120}{100} = \frac{-20}{100} = - 20 \% \)
Sei \( x \) die Zahl, für die gilt: \( 10\% \) von \( x = 3 \).
\( 10\% \) von \( x = \displaystyle \frac {10}{100}\times x = \frac{10 x}{100} \)
Daher die Gleichung:
\( \displaystyle \frac{10 x}{100} = 3 \)
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \( 100 \).
\( \displaystyle \frac{10 x}{100} \times 100 = 3 \times 100 \)
Vereinfache:
\( 10 x = 300 \)
Löse nach \(x \) auf:
\( x = 30 \)
Nach einer Erhöhung um 20% wird der Preis:
\( 40 + 20\% \times 40 = \$48 \)
Nach einer Senkung um 20% (vom letzten Preis) beträgt der endgültige Preis des Hemdes:
\( 48 - 20\% \times 48 = 48 - 9.6 = \$38.4 \)
9 - Einheiten umrechnen
Lösungen
Dividiere beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \) durch \( 1 \text{ km} \), um einen Umrechnungsfaktor zu erhalten, der gegeben ist durch: \[ \frac {1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} = 1\] Wir schreiben nun: \( 1.2 \text{ km} = 1.2 \text{ km} \times 1 \) Der oben gefundene Umrechnungsfaktor ist ebenfalls gleich 1, daher die Ersetzung: \[ \displaystyle 1.2 \text{ km} = 1.2 \text{ km} \times \frac {1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \] Kürze \( \text{ km} \): \[ \displaystyle 1.2 \text{ km} = 1.2 \cancel{\text{ km}} \times \frac {1000 \text{ m}}{1 \cancel{\text{ km}}} \] Vereinfache und werte aus: \[ 1.2 \text{ km} = 1200 \text{ m} \]
Dividiere beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( 1 \text{ US gal} = 3.78541 \text{ L} \) durch \( 3.78541 \text{ L} \) , um den Umrechnungsfaktor zu schreiben: \[ \displaystyle \frac{1 \text{ US gal}}{3.78541 \text{ L}} = 1 \] Wir schreiben nun: \[ 120 \text{ L} = 120 \text{ L} \times 1 \] und ersetzen \( 1 \) durch den Umrechnungsfaktor, der ebenfalls gleich \( 1 \) ist: \[ \displaystyle 120 \text{ L} = 120 \text{ L} \times \frac{1 \text{ US gal}}{3.78541 \text{ L}} \] Kürze \( \text{ L} \): \[ \displaystyle 120 \text{ L} = 120 \cancel{\text{ L}} \times \frac{1 \text{ US gal}}{3.78541 \cancel{\text{ L}}} \] Vereinfache und werte aus: \[ \displaystyle 120 \text{ L} = \frac{120 \times 1 \text{ US gal}}{3.78541 } = 31.70066 \text{ US gal} \]
Beachte, dass das Symbol \( m^2 \) als "Quadratmeter" gelesen werden kann, geschrieben als \( m^2 = m \times m\), und das Symbol \( ft^2 \) als "Quadratfuß" gelesen werden kann, geschrieben als \( ft^2 = ft \times ft\).
Multipliziere jede Seite der gegebenen Gleichheit \( 1 \text{ m} = 3.28084 \text{ ft} \) mit sich selbst (quadriere), um zu erhalten: \[ (1 \text{ m})(1 \text{ m}) = (3.28084 \text{ ft})(3.28084 \text{ ft}) \] Vereinfache, um eine Gleichheit mit \( m^2 \) und \( ft^2 \) zu erhalten: \[ 1 \; m^2 = 10.76391 \; ft^2 \] Dividiere beide Seiten durch \( 1 \; m^2 \), um einen Umrechnungsfaktor zu erhalten, gegeben durch: \[ \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; m^2} = 1 \] Schreibe \( 0.3 \; m^2 \) als: \[ 0.3 \; m^2 = 0.3 \; m^2 \times 1 \] Ersetze die \( 1 \) durch den Umrechnungsfaktor, der ebenfalls gleich \( 1 \) ist: \[ 0.3 \; m^2 = 0.3 \; m^2 \times \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; m^2} \] Kürze \( m^2 \): \[ 0.3 \; m^2 = 0.3 \; \cancel{m^2} \times \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; \cancel{m^2}} \] Vereinfache und werte aus: \[ 0.3 \; m^2 = \displaystyle \frac{ 0.3 \times 10.76391 \; ft^2 }{1} = 3.229173 \; ft^2 \]
10 - Ausdrücke auswerten
Lösungen
Gegebener Ausdruck \( \; 2x - 2 \; \)
Ersetze \( x \) durch \( -2 \) im gegebenen Ausdruck.
\[ 2 \times(-2) - 2 \] Werte aus: \[ = -4 -2 = -6\]
Gegebener Ausdruck \( \; | -5 + b | \; \)
Ersetze \( b \) durch \( -10 \) im gegebenen Ausdruck.
\[ \; | -5 + (-10) | \; \]
Werte aus:
\[ = | -5 -10 | = | -15 | = 15 \]
Gegebener Ausdruck \( \; a - b \; \)
Ersetze \( a \) durch \( -5 \) und \( b \) durch \( -8 \) im gegebenen Ausdruck.
\[ \; -5 - (-8) = - 5 + 8 = 3 \; \]
11 - Algebra
Lösungen
a)
Fasse gleichartige Terme zusammen:
\[ 3x - 2 + 4 x - 5 = (3x+4x) + (-2-5)\]
Vereinfache:
\[ = 7x + (-7) = 7 x - 7\]
b)
Löse die Klammern auf:
\[ 3 (a + b + 2 ) + a + 4b - 12 = 3 a + 3 b + 6 + a + 4b - 12 \]
Fasse gleichartige Terme zusammen:
\[ = (3a + a) + (3b+4b) + (6-12) \]
Vereinfache:
\[ = 4 a + 7 b - 6\]
c)
\[ \displaystyle \frac{1}{3}( 6 x + 9) + 3 \]
Löse die Klammern auf:
\[ = \displaystyle \frac{1}{3}( 6 x) + \frac{1}{3} (9) + 3 \]
Vereinfache:
\[ 2x + 3 + 3 = 2x + 6\]
d)
Verwende Faktorisierung, um den gegebenen Ausdruck wie folgt zu schreiben:
\[ 0.2 x + x = (0.2+1) x \]
Vereinfache:
\[ = 1.2 x \]
a)
\( 14 x - 2 = \color{red}2 \times 7 x - \color{red}2 \times 1 = \color{red}2 (7x-1)\)
b)
\( 9 - 18 x = \color{red}9 \times 1 - \color{red}9 \times 2x = \color{red}9(1 - 2x)\)
c)
\( 4 b - 16 a + 4 = \color{red}4 \times b - \color{red}4 \times 4 a + \color{red}4 \times 1 = \color{red}4 (b - 4a +1) \)
12 - Gleichung mit einer Variablen und verwandte Probleme
Lösungen
a)
Gegeben die Gleichung \( 3x - 2 = 4 \).
Addiere \( 2 \) zu beiden Seiten:
\[ 3x - 2 + \color{red}2 = 4 + \color{red}2 \]
Vereinfache:
\[ 3x = 6\]
Dividiere beide Seiten durch \(3 \):
\[ \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3} \]
Vereinfache:
\[ x = 2 \]
b)
Gegeben die Gleichung \( 9 - 3 = - x + 5 \).
Vereinfache die linke Seite:
\[ 6 = - x + 5 \]
Addiere \( -5 \) zu beiden Seiten:
\[ 6 + \color{red}{-5} = - x + 5 + \color{red}{-5} \]
Vereinfache:
\[ 1 = - x \]
Multipliziere beide Seiten mit \( -1 \):
\[ 1 (-1) = - x (-1) \]
Vereinfache:
\[ -1 = x \]
c)
Gegeben \( \displaystyle \frac{x}{3} = - 7 \).
Multipliziere beide Seiten mit \( 3 \):
\[ \displaystyle \frac{x}{3} \times \color{red}{3} = - 7 \times \color{red}{3} \]
Vereinfache:
\[ x = - 21 \]
d)
Gegeben \( 4 \left(x + \displaystyle \frac{1}{4} \right) = -15\).
Löse die Klammern auf:
\[ 4 x + 4 \times \displaystyle \frac{1}{4} = - 15 \]
Vereinfache:
\[ 4 x + 1 = - 15 \]
Addiere \( -1 \) zu beiden Seiten:
\[ 4 x + 1 \color{red}{-1} = - 15 \color{red}{-1} \]
Vereinfache:
\[ 4 x = - 16 \]
Dividiere beide Seiten durch \( 4 \):
\[ \displaystyle \frac{4x}{4} = \frac{-16}{4} \]
Vereinfache:
\[ x = - 4 \]
e)
Gegeben \( \displaystyle \frac{x+2}{-3} = 3 \).
Multipliziere beide Seiten mit \( -3 \):
\[ \displaystyle \frac{x+2}{-3} \times \color{red}{(-3)} = 3 \color{red}{(-3)} \]
Vereinfache:
\[ x + 2 = - 9 \]
Addiere \( -2 \) zu beiden Seiten und vereinfache:
\[ x = - 11 \]
f)
\( 2(x-1) = 3(x+2) \)
Löse die Klammern auf:
\[ 2x - 2 = 3x + 6 \]
Addiere \( -6 \) zu beiden Seiten:
\[ 2x - 2 + \color{red}{(-6 )} = 3x + 6 + \color{red}{(-6 )} \]
Vereinfache:
\[ 2x - 8 = 3x \]
Subtrahiere \( 2 x \) von beiden Seiten:
\[ 2x - 8 \color{red}{-2x} = 3x \color{red}{-2x} \]
Vereinfache:
\[ - 8 = x \]
g)
Gegeben \(\displaystyle x - 2 \frac{1}{4} = 3 \).
Addiere die gemischte Zahl \( 2 \frac{1}{4} \) zu beiden Seiten:
\[\displaystyle x - 2 \frac{1}{4} \color{red}{ + 2 \frac{1}{4}} = 3 \color{red}{ + 2 \frac{1}{4}} \]
Vereinfache:
\[\displaystyle x = 5 \frac{1}{4} \]
a)
Formel: Umfang \( = 2 \times Länge + 2 \times Breite \)
Setze den Umfang mit 340, die Länge mit 120 und die Breite mit \( x \) ein: \[ 340 = 2 \times 120 + 2 \times x \] Vereinfache: \[ 340 = 240 + 2 x \]
b)
Löse die Gleichung aus Teil a):
\[ x = 50 \]
c)
Überprüfe die Antwort:
Umfang = \( 2 \times Länge + 2 \times Breite \)
Setze die oben gefundene Länge und Breite ( \( x = 50\) ) ein:
Umfang = \[ 2 \times 120 + 2 \times 50 = 340 \]
wie in der Aufgabe gegeben.
13 - Ungleichung mit einer Variablen
Lösungen
Die drei Ungleichungen werden auf den Zahlenstrahlen unten in rot dargestellt. Ein geschlossener (roter) Kreis bedeutet, dass der Wert eingeschlossen ist. Ein offener (roter) Kreis bedeutet, dass der Wert ausgeschlossen ist.
a), b) und c)
a) Gegeben \( 4x - 2 \gt 18 \).
Addiere \( 2 \) zu beiden Seiten der Ungleichung: \[ 4x - 2 \color{red}{+2} \gt 18 \color{red}{+2} \] Vereinfache: \[ 4x \gt 20 \] Dividiere beide Seiten durch \( 4 \): \[ \displaystyle \frac{4 x}{4} \gt \frac{20}{4} \] Vereinfache, um die Lösung der gegebenen Ungleichung zu erhalten: \[ x \gt 5 \]
b)
\( 2(x + 3) \le 6 \)
Löse die Klammern auf der linken Seite auf: \[ 2 x + 6 \le 6 \] Subtrahiere \( 6 \) von beiden Seiten der Ungleichung: \[ 2 x + 6 \color{red}{-6} \le 6 \color{red}{-6} \] Vereinfache: \[ 2 x \le 0 \] Dividiere beide Seiten durch \( 2 \): \[ \displaystyle \frac{2 x}{2} \le \frac{0}{2} \] Vereinfache, um die Lösung der gegebenen Ungleichung zu erhalten: \[ x \le 0 \]
14 - Zweidimensionale Figuren
Lösungen
Wir kennen die Maße zweier Winkel; sei \( x \) das Maß des dritten Winkels. Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks beträgt \( 180^{\circ} \), daher: \[ 36^{^{\circ}} + 54^{^{\circ}} + x = 180^{\circ} \] Vereinfache die linke Seite: \[ 90^{^{\circ}} + x = 180^{\circ} \] Löse nach \( x \) auf, um zu erhalten: \[ x = 90^{^{\circ}} \] Daher ist das gegebene Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck und b) ist wahr.
Winkel \( \angle AOC \) ist ein gestreckter Winkel, und daher sind die Winkel \( \angle AOB \) und \( \angle COB \) supplementäre Winkel, und ihre Summe ist gleich \( 180^{\circ} \). Daher:
\[ \angle AOB + 27^{\circ} = 180^{\circ} \]
Löse nach \( \angle AOB \) auf, um zu erhalten:
\( \angle AOB = 153^{\circ} \)
Liste der Paare von Scheitelwinkeln in der Abbildung unten sind:
\( \angle AOB \; \text{und} \; \angle DOE \quad \), \( \angle BOC \; \text{und} \; \angle EOF \quad \), \( \angle COD \; \text{und} \; \angle FOA \)
\( \angle FOB \; \text{und} \; \angle COE \quad \), \( \angle AOC \; \text{und} \; \angle DOF \quad \), \( \angle BOD \; \text{und} \; \angle EOA \)
a) Sechseck : 6 Seiten b) Fünfeck : 5 Seiten c) Achteck : 8 Seiten
Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 Symmetrieachsen, wie unten gezeigt.
15 - Umfang und Fläche von ebenen Figuren
Lösungen
\( \text{Radius} = \displaystyle \frac{\text{Durchmesser}}{ 2} = \frac{20 \; cm}{2} = 10 \; cm \)
\( \text{Fläche} = 3.14 \times \text{Radius} \times \text{Radius} = 3.14 \times 10 \times 10 = 314 \; cm^2\)
Umfang des Rechtecks = \( 2 \times Länge + 2 \times Breite \)
Setze die Länge und Breite mit den gegebenen Werten ein:
Umfang = \( 2 \times 10 + 2 \times 8 = 36 \text{ Zoll} \)
Fläche des Dreiecks = \( \frac{1}{2} \times Höhe \times Grundseite \)
Setze die Höhe und die Grundseite mit den gegebenen Werten ein:
Fläche des Dreiecks = \( \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \; cm^2 \)
Um die schraffierte Fläche zu finden, subtrahiere die Fläche des Halbkreises von der Fläche des Hauptrechtecks.
Schraffierte Fläche = Fläche des Rechtecks - Fläche des Halbkreises
\( \text{Radius des Halbkreises = Durchmesser} / 2 = 50/2 = 25 \; cm \)
Fläche des Rechtecks \( = Länge \times Breite = 100 \times 50 = 5000 cm^2 \)
Fläche des Halbkreises \( = \frac{1}{2} \times 3.14 \times Radius \times Radius = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 25 \times 25 = 981.25 \; cm^2 \)
Schraffierte Fläche \( = 5000 \; cm^2 - 981.25 \; cm^2 = 4018.75 \; cm^2 \)
16 - Daten und Interpretation von Diagrammen
Lösungen
a) Samstag
b) Donnerstag
c) Gesamtzahl der Stunden, die mit Hausaufgaben verbracht wurden \( = 3 + 3 + 2 + 4 + 3 + 1 = 16 \; Stunden \)
a) Die Anzahl der Schüler in dieser Klasse erhält man, indem man die Anzahl der Schüler (auf der vertikalen Achse) addiert, die jedem Bereich entsprechen.
Anzahl der Schüler in dieser Klasse \( = 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 3 = 25 \)
b)
Von 70 bis 89 haben wir zwei Bereiche: 70 bis 79 mit 6 Schülern und 80 bis 89 mit 7 Schülern.
Daher erreichten \( 6 + 7 = 13 \) Schüler eine Punktzahl zwischen 70 und 89 (einschließlich).
c)
Die Anzahl der Schüler, die durchgefallen sind, sind die Bereiche 40 bis 49 und 50 bis 59, und die Anzahl der Schüler in jedem Bereich beträgt 2 bzw. 3. Daher
Die Anzahl der Schüler, die durchgefallen sind \( = 2 + 3 = 5 \)
Der Prozentsatz der Gesamtzahl der Schüler, die den Test nicht bestanden haben \( = \frac{5}{25} = 20\% \)
17 - Statistik
Lösungen
Mittelwert \( = \displaystyle \frac{9 + 4 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 1 + 9}{9} = 4 \)
Ordne die gegebenen Daten vom kleinsten zum größten Wert:
\( \{ 1, 2, 2, 3, \color{red}3, 3, 4, 9, 9 \} \)
Der Datenwert \( 3 \) hat die höchste Anzahl an Vorkommen und ist daher der Modus.
Es gibt 9 Datenwerte, und der Datenwert \( 3 \) (rot) liegt in der Mitte und ist daher der Median.
Sei \( x \) die Punktzahl von Joels viertem Test. Der Mittelwert ist mit 90 angegeben, daher:
Mittelwert \( = \displaystyle \frac{78+95+92+x}{4} = 90 \)
Vereinfache und schreibe als Gleichung:
\( \displaystyle \frac{265+x}{4} = 90 \)
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \( 4 \):
\( \displaystyle \frac{265+x}{4} \times 4 = 90 \times 4 \)
Vereinfache:
\( 265 + x = 360 \)
Daher:
\( x = 360 - 265 = 95 \)
Joel sollte im vierten Test 95 Punkte erzielen, damit der Durchschnitt der 4 Tests 90 beträgt.
18 - Zählprinzip
Lösungen
Die Anzahl der Möglichkeiten, wie das Mittagessen in diesem Restaurant serviert werden kann, ist: \( 3 \times 5 \times 4 = 60 \)
Das erste Autohaus hat \( 3 \times 4 \times 3 = 36 \) Auswahlmöglichkeiten.
Das zweite Autohaus hat \( 2 \times 5 \times 4 = 40 \) Auswahlmöglichkeiten.
Das zweite Autohaus hat mehr Auswahlmöglichkeiten.
19 - Wahrscheinlichkeiten
Lösungen
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß nimmt Werte zwischen 0 und 1 einschließlich an. Daher können b) -0.5 und c) 2 keine Wahrscheinlichkeitsmaße sein.
Das Werfen einer Münze hat 2 Ergebnisse: Kopf und Zahl.
Das Ziehen einer Karte aus fünf verschiedenen Karten hat 5 Ergebnisse.
Verwende das Zählprinzip, um die Anzahl der Ergebnisse zu ermitteln, wenn du eine Münze wirfst und zufällig eine von fünf verschiedenen Karten auswählst.
\( 2 \times 5 = 10 \) mögliche Ergebnisse.
a) Der Würfel hat keine Seite mit einer Null, daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine Null zu erhalten, gleich null.
b) Eine von 6 Seiten hat eine 5, die Wahrscheinlichkeit ist gleich 1/6.
c) Die Seiten mit 5 und 6 haben eine Zahl größer als 4. Daher sind zwei von 6 Seiten größer als 4, die Wahrscheinlichkeit ist gleich 2/6 = 1/3.
Aus diesem Experiment haben 5 Schüler Blau als ihre Lieblingsfarbe gewählt, und daher haben 15 eine Lieblingsfarbe gewählt, die nicht Blau ist.
Wenn also ein Schüler befragt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er/sie eine Farbe wählt, die nicht Blau ist, gleich 15/20 = 3/4.