Mathematik 7. Klasse Übungstest: Fragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen

1 - Ganze Zahlen (Integers)

1. Frage: Welche der folgenden Aussagen ist immer wahr?
   a) Der Betrag (Absolutwert) einer negativen ganzen Zahl ist eine negative ganze Zahl.
   b) Der Betrag einer negativen ganzen Zahl ist eine positive ganze Zahl.
   c) Der Betrag einer positiven ganzen Zahl ist eine negative ganze Zahl.
   d) Der Betrag einer ganzen Zahl kann negativ, positiv oder gleich null sein.
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   Der Betrag einer Zahl stellt ihren Abstand von der Null auf der Zahlengeraden dar, welcher immer positiv oder null ist. Daher ist nur Aussage b) wahr.

2. Frage: Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
   a) $-5 < -7$
   b) $-6 < -2$
   c) $-1 > 0$
   d) $-4 < 0$
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   Auf einer Zahlengeraden ist eine weiter rechts stehende Zahl immer größer als eine weiter links stehende Zahl.
   a) -5 ist rechts von -7, also ist $-5 > -7$ (Falsch).
   b) -6 ist links von -2, also ist $-6 < -2$ (Wahr).
   c) -1 ist links von 0, also ist $-1 < 0$ (Falsch).
   d) -4 ist links von 0, also ist $-4 < 0$ (Wahr).

3. Frage: Berechne den Wert der folgenden Ausdrücke:
   a) $(-20) \times [(-12) + (-4)]$
   b) $(-5) \times (-2) + (7) \times (-4)$
   c) $[(-2) \times (-24) - (-2) \times (11)] \div 14$
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   a) \((-20) \times [(-12) + (-4)] = (-20) \times [-16] = 320\)
   b) \((-5) \times (-2) + (7) \times (-4) = 10 - 28 = -18\)
   c) \([(-2) \times (-24) - (-2) \times (11)] \div 14 = [48 + 22] \div 14 = 70 \div 14 = 5 \)

2 - Dezimalzahlen

1. Frage: Ordne die Zahlen von der größten zur kleinsten: $2{,}32$, $2{,}032$, $2{,}023$, $2{,}033$
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   Schreibe die Zahlen so, dass ihre Stellenwerte untereinanderstehen:
   1) Vergleiche die Einer: Alle sind 2.
   2) Vergleiche die Zehntel: 3 ist am größten, also ist 2,32 die größte Zahl.
   3) Vergleiche die Tausendstel der übrigen Zahlen: 2,033 hat die größte Tausendstel-Ziffer (3).
   Reihenfolge: $2{,}32$, $2{,}033$, $2{,}032$, $2{,}023$

2. Frage: Runde auf die nächste ganze Zahl: a) 4,01   b) 6,8   c) 11,5
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   a) 4,01 hat eine 0 an der Zehntelstelle. Die Einerziffer bleibt unverändert. Antwort: 4.
   b) 6,8 hat eine 8 an der Zehntelstelle. Die Einerziffer wird aufgerundet. Antwort: 7.
   c) 11,5 hat eine 5 an der Zehntelstelle. Die Einerziffer wird aufgerundet. Antwort: 12.

3. Frage: Berechne den Wert der folgenden Ausdrücke:
   a) $0{,}15 \div 3$
   b) $5 - 1{,}2 \times 0{,}2$
   c) $2{,}3 - 0{,}7 \div 7$
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   a) $0{,}15 \div 3 = \mathbf{0{,}05}$
   b) Punkt vor Strich (zuerst multiplizieren): $5 - 0{,}24 = \mathbf{4{,}76}$
   c) Punkt vor Strich (zuerst dividieren): $2{,}3 - 0{,}1 = \mathbf{2{,}2}$

3 - Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

1. Frage: Was ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 24 und 18?
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   Teiler von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
   Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
   Der ggT ist 6.

2. Frage: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 8 und 18?
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   Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80...
   Vielfache von 18: 18, 36, 54, 72, 90...
   Das kgV ist 72.

3. Frage: Welche der folgenden Zahlen ist durch 5 teilbar? a) 1234   b) 303090   c) 145055
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   Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. Antworten: b) 303090 und c) 145055.

4. Frage: Welche der folgenden Zahlen ist durch 2 teilbar? a) 2798   b) 30675   c) 6476
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   Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf eine gerade Ziffer (0, 2, 4, 6, 8) endet. Antworten: a) 2798 und c) 6476.

5. Frage: Welche der folgenden Zahlen ist durch 3 teilbar? a) 9240   b) 4909   c) 3282900
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   Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme ein Vielfaches von 3 ist.
   a) 9+2+4+0 = 15 (Teilbar).
   b) 4+9+0+9 = 22 (Nicht teilbar).
   c) 3+2+8+2+9+0+0 = 24 (Teilbar).
   Antworten: a) 9240 und c) 3282900.

4 - Brüche und gemischte Zahlen

1. Frage: Finde den fehlenden Zähler oder Nenner:
   a) $\dfrac{10}{15} = \dfrac{?}{3}$   b) $\dfrac{17}{3} = \dfrac{34}{?}$   c) $\dfrac{11}{2} = \dfrac{?}{8}$
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   a) Teile Zähler und Nenner durch 5: $\dfrac{10 \div 5}{15 \div 5} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$
   b) Multipliziere Zähler und Nenner mit 2: $\dfrac{17 \times 2}{3 \times 2} = \mathbf{\dfrac{34}{6}}$
   c) Multipliziere Zähler und Nenner mit 4: $\dfrac{11 \times 4}{2 \times 4} = \mathbf{\dfrac{44}{8}}$

2. Frage: Berechne den Wert der folgenden Ausdrücke:
   a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{10}$
   b) $\dfrac{5}{9} \times \dfrac{3}{4}$
   c) $\dfrac{11}{2} \div \dfrac{1}{8}$
   d) $4 \dfrac{3}{4} - 1 \dfrac{1}{2}$
   e) $6 \dfrac{3}{4} \div 2$
   f) $3 \div \dfrac{3}{5}$
   g) $2 \dfrac{3}{5} \div 3 \dfrac{3}{5}$
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   a) Der gemeinsame Nenner ist 10: $\dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} = \mathbf{\dfrac{3}{5}}$
   b) Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner und kürzen: $\dfrac{15}{36} = \mathbf{\dfrac{5}{12}}$
   c) Mit dem Kehrwert multiplizieren: $\dfrac{11}{2} \times \dfrac{8}{1} = \dfrac{88}{2} = \mathbf{44}$
   d) Ganze Zahlen und Brüche subtrahieren: $(4 - 1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4}) = \mathbf{3 \dfrac{1}{4}}$
   e) In einen unechten Bruch umwandeln: $\dfrac{27}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{27}{8} = \mathbf{3 \dfrac{3}{8}}$
   f) Mit dem Kehrwert multiplizieren: $\dfrac{3}{1} \times \dfrac{5}{3} = \mathbf{5}$
   g) Beide in unechte Brüche umwandeln: $\dfrac{13}{5} \div \dfrac{18}{5} = \dfrac{13}{5} \times \dfrac{5}{18} = \mathbf{\dfrac{13}{18}}$

3. Frage: Schreibe die Dezimalzahlen als Brüche oder gemischte Zahlen in vollständig gekürzter Form: a) 0,2   b) 1,24   c) 2,326
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   a) $0{,}2 = \dfrac{2}{10} = \mathbf{\dfrac{1}{5}}$
   b) $1{,}24 = 1 \dfrac{24}{100} = \mathbf{1 \dfrac{6}{25}}$
   c) $2{,}326 = 2 \dfrac{326}{1000} = \mathbf{2 \dfrac{163}{500}}$

4. Frage: Schreibe als Dezimalzahl: a) $\dfrac{9}{100}$   b) $\dfrac{17}{10000}$   c) $3 \dfrac{11}{100000}$
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   a) $\dfrac{9}{100} = \mathbf{0{,}09}$
   b) $\dfrac{17}{10000} = \mathbf{0{,}0017}$
   c) $3 \dfrac{11}{100000} = \mathbf{3{,}00011}$

5. Frage: Welche der folgenden Aussagen ist wahr? a) $\dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{4}$   b) $\dfrac{1}{3} < \dfrac{3}{10}$
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   a) Der gemeinsame Nenner ist 20: $\dfrac{8}{20} < \dfrac{15}{20}$. Wahr.
   b) Der gemeinsame Nenner ist 30: $\dfrac{10}{30} < \dfrac{9}{30}$. Falsch.

5 - Exponenten (Potenzen)

1. Frage: Vereinfache mithilfe von Exponenten: a) $3 \times 3 \times 3 \times 3$   b) $7 \times 4 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5$
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   a) $3^4$
   b) Fasse gleiche Faktoren zusammen: $7 \times 4^3 \times 5^2$

2. Frage: Berechne: a) $2^4$   b) $3^2 \times 4^2$   c) $10^0 \times 4^2$
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   a) $2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{16}$
   b) $9 \times 16 = \mathbf{144}$
   c) Jede Zahl ungleich null hoch 0 ergibt 1. $1 \times 16 = \mathbf{16}$

6 - Verhältnisse und Raten

1. Frage: Es gibt 4 Dreiecke und 7 Quadrate. Was ist das Verhältnis von a) Dreiecken zu Quadraten? b) Quadraten zu Dreiecken? c) Quadraten zur Gesamtzahl der Figuren?
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   a) Dreiecke zu Quadrate: 4:7
   b) Quadrate zu Dreiecke: 7:4
   c) Quadrate zur Gesamtzahl (4+7=11): 7:11

2. Frage: Schule A hat 1200 Schüler, darunter 400 Jungen. Schule B hat 800 Schüler, darunter 300 Jungen. Welche Schule hat ein höheres Verhältnis von Mädchen zu Jungen?
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   Schule A: 1200 gesamt - 400 Jungen = 800 Mädchen. Verhältnis Mädchen zu Jungen = $800/400 = 2/1$.
   Schule B: 800 gesamt - 300 Jungen = 500 Mädchen. Verhältnis Mädchen zu Jungen = $500/300 = 5/3$.
   Vergleiche $2/1$ ($6/3$) und $5/3$. Schule A hat ein höheres Verhältnis.

3. Frage: Sam hat 5 Kilogramm Tomaten für 15 $ gekauft. Finde die Einheitsrate (den Stückpreis) in Dollar/Kilogramm.
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   Einheitsrate = Gesamtkosten $\div$ Gesamtmenge. $15\text{ \$} \div 5 \text{ kg} = \mathbf{3\text{ \$} / \text{kg}}$.

4. Frage: Ein Auto fuhr 350 Kilometer (km) in 5 Stunden (Std.). Finde die Einheitsrate in km/Std.
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   Einheitsrate = $350 \text{ km} \div 5 \text{ Std.} = \mathbf{70 \text{ km/Std.}}$.

7 - Proportionalität und verwandte Probleme

1. Frage: Ein Auto fährt 240 Kilometer in 3 Stunden mit einer konstanten Geschwindigkeit. Wie viele Stunden werden benötigt, um 400 Kilometer im selben Auto mit derselben konstanten Geschwindigkeit zu fahren?
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   1) Konstante Geschwindigkeit finden: $240 \text{ km} \div 3 \text{ Std.} = 80 \text{ km/Std.}$.
   2) Neue Zeit berechnen: $\text{Zeit} = \text{Strecke} \div \text{Geschwindigkeit} = 400 \text{ km} \div 80 \text{ km/Std.} = \mathbf{5 \text{ Std.}}$.

2. Frage: Die Währung in den VAE ist der Dirham mit einem Wechselkurs von 4 Dirham für 1 US-Dollar. Wie viele US-Dollar werden benötigt, um 320 Dirham zu diesem Kurs zu kaufen?
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   Sei $x$ die Anzahl der US-Dollar. $320 \text{ Dirham} = x \times 4 \text{ Dhs/\$}$.
   $x = 320 \div 4 = \mathbf{80\text{ \$}}$.

3. Frage: Joan machte einen 5-stündigen Spaziergang. Das Diagramm unten zeigt die zurückgelegte Strecke (in km) nach der Zeit (in Stunden).
   a) Angenommen, die zurückgelegte Strecke ist proportional zur Zeit, welche Strecke ist sie in den ersten 2,5 Stunden gelaufen?
   b) Wie hoch ist Joans Gehgeschwindigkeit (Rate)?
   c) Zwei Wochen später beschloss sie, einen längeren Spaziergang mit derselben Geschwindigkeit zu machen. Wie viele Stunden brauchte sie, um 32 Kilometer zurückzulegen?
   
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   a) Strecke = $k \times$ Zeit. Aus dem Diagramm: bei Zeit = 2 Std., Strecke = 8 km. Also ist $k = 8/2 = 4$. Für Zeit = 2,5 Std.: Strecke = $4 \times 2{,}5 = \mathbf{10 \text{ km}}$.
   b) Die Geschwindigkeit ist die Konstante $k = \mathbf{4 \text{ km/Std.}}$.
   c) $32 = 4 \times \text{Zeit}$. Zeit = $32 / 4 = \mathbf{8 \text{ Std.}}$.

4. Frage: Welche der folgenden Tabellen zeigt, dass $y$ proportional zu $x$ ist?
   
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   Damit $y$ proportional zu $x$ ist, muss das Verhältnis $\frac{y}{x}$ konstant sein.
   Tabelle B: $2/1 = 2$, $4/2 = 2$, $6/3 = 2$. Konstant.
   Tabelle D: $3/1 = 3$, $6/2 = 3$, $9/3 = 3$. Konstant.
   Die Tabellen A und C haben keine konstanten Verhältnisse. Daher stellen die Tabellen B und D proportionale Beziehungen dar.
   

8 - Prozente und verwandte Probleme

1. Frage: Was sind 20 % von 10?
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   $\dfrac{20}{100} \times 10 = \mathbf{2}$.

2. Frage: Was sind 50 % von $\dfrac{1}{4}$?
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   $\dfrac{50}{100} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}$.

3. Frage: Schreibe den Bruch $\dfrac{3}{5}$ als Prozentsatz.
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   Multipliziere Zähler und Nenner mit 20, um den Nenner auf 100 zu bringen: $\dfrac{3 \times 20}{5 \times 20} = \dfrac{60}{100} = \mathbf{60\%}$.

4. Frage: Amanda hat ein monatliches Gehalt von $3000\text{ \$}$. Sie gibt $600\text{ \$}$ pro Monat für Kleidung aus. Wie viel Prozent ihres monatlichen Gehalts gibt Amanda für Kleidung aus?
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   Prozentsatz = $\dfrac{600}{3000} = \dfrac{20}{100} = \mathbf{20\%}$.

5. Frage: Der Preis eines Artikels änderte sich von $120\text{ \$}$ auf $100\text{ \$}$. Wie hoch war die prozentuale Änderung?
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   Prozentuale Änderung = $\dfrac{\text{Neuer Preis} - \text{Alter Preis}}{\text{Alter Preis}} \times 100$.
   $\dfrac{100 - 120}{120} = \dfrac{-20}{120} = \mathbf{-16{,}67\%}$. (Es ist ein Rückgang von 16,67 %).

6. Frage: 10 % einer Zahl ist 3. Wie lautet die Zahl?
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   Sei $x$ die gesuchte Zahl. $\dfrac{10}{100} \times x = 3$. Multipliziere beide Seiten mit 100, um $10x = 300$ zu erhalten, also ist $x = \mathbf{30}$.

7. Frage: Ein Hemd kostet anfangs 40 $. Der Preis des Hemdes wird um 20 % erhöht, dann wird der Preis desselben Hemdes um 20 % gesenkt (ausgehend von dem Preis nach der Erhöhung). Was ist der Endpreis des Hemdes?
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   Nach 20 % Erhöhung: $40\text{ \$} + (0{,}20 \times 40) = 48\text{ \$}$.
   Nach 20 % Senkung auf den neuen Preis: $48\text{ \$} - (0{,}20 \times 48) = 48 - 9{,}60 = \mathbf{38{,}40\text{ \$}}$.

9 - Maßeinheiten umrechnen

1. Frage: Wie viele Meter (m) entsprechen 1,2 Kilometern (km), wenn man weiß, dass 1 km = 1000 m ist?
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   $1{,}2 \text{ km} \times \dfrac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} = \mathbf{1200 \text{ m}}$.

2. Frage: Wie viele US-Gallonen (US gal) entsprechen 120 Litern (L), wenn man weiß, dass 1 US gal = 3,78541 L ist?
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   $120 \text{ L} \times \dfrac{1 \text{ US gal}}{3{,}78541 \text{ L}} = \mathbf{31{,}70066 \text{ US gal}}$.

3. Frage: Wie viele Quadratfuß entsprechen 0,3 Quadratmetern ($m^2$), wenn man weiß, dass 1 m = 3,28084 ft ist?
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   Quadriere zuerst den Umrechnungsfaktor: $1 \text{ m}^2 = (3{,}28084)^2 \text{ ft}^2 = 10{,}76391 \text{ ft}^2$.
   $0{,}3 \text{ m}^2 \times 10{,}76391 = \mathbf{3{,}229173 \text{ ft}^2}$.

4. Frage: Rechne die Geschwindigkeit von 60 Kilometern pro Stunde in Meter pro Minute um.
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   $\dfrac{60 \text{ km}}{1 \text{ Std.}} = \dfrac{60 \times 1000 \text{ m}}{60 \text{ Min.}} = \mathbf{1000 \text{ m/Min.}}$.

10 - Ausdrücke auswerten (berechnen)

1. Frage: Berechne den Wert des Ausdrucks $2x - 2$ für $x = -2$.
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   Setze $x = -2$ ein: $2(-2) - 2 = -4 - 2 = \mathbf{-6}$.

2. Frage: Berechne den Wert des Ausdrucks $|-5 + b|$ für $b = -10$.
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   Setze $b = -10$ ein: $|-5 + (-10)| = |-15| = \mathbf{15}$.

3. Frage: Berechne den Wert des Ausdrucks $a - b$ für $a = -5$ und $b = -8$.
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   Setze die Werte ein: $-5 - (-8) = -5 + 8 = \mathbf{3}$.

11 - Algebra

1. Frage: Vereinfache die Ausdrücke:
   a) $3x - 2 + 4x - 5$
   b) $3(a + b + 2) + a + 4b - 12$
   c) $\dfrac{1}{3}(6x + 9) + 3$
   d) $0{,}2x + x$
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   a) Fasse gleichartige Terme zusammen: $(3x + 4x) + (-2 - 5) = \mathbf{7x - 7}$.
   b) Klammern auflösen: $3a + 3b + 6 + a + 4b - 12 = \mathbf{4a + 7b - 6}$.
   c) Klammern auflösen: $2x + 3 + 3 = \mathbf{2x + 6}$.
   d) $x$ ausklammern: $(0{,}2 + 1)x = \mathbf{1{,}2x}$.

2. Frage: Faktorisiere die Ausdrücke (ausklammern):
   a) $14x - 2$
   b) $9 - 18x$
   c) $4b - 16a + 4$
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   a) Finde den ggT von 14x und 2, welcher 2 ist. Klammere die 2 aus: $2(7x) - 2(1) = \mathbf{2(7x - 1)}$.
   b) Finde den ggT, welcher 9 ist. Klammere die 9 aus: $\mathbf{9(1 - 2x)}$.
   c) Finde den ggT, welcher 4 ist. Klammere die 4 aus: $\mathbf{4(b - 4a + 1)}$.

12 - Gleichungen mit einer Variablen und verwandte Probleme

1. Frage: Löse die Gleichungen:
   a) $3x - 2 = 4$
   b) $9 - 3 = -x + 5$
   c) $\dfrac{x}{3} = -7$
   d) $4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15$
   e) $\dfrac{x+2}{-3} = 3$
   f) $2(x-1) = 3(x+2)$
   g) $x - 2\dfrac{1}{4} = 3$
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   a) $3x = 6 \rightarrow \mathbf{x = 2}$.
   b) $6 = -x + 5 \rightarrow 1 = -x \rightarrow \mathbf{x = -1}$.
   c) Multipliziere beide Seiten mit 3: $x = -7 \times 3 \rightarrow \mathbf{x = -21}$.
   d) Klammern auflösen: $4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow \mathbf{x = -4}$.
   e) Multipliziere mit -3: $x + 2 = -9 \rightarrow \mathbf{x = -11}$.
   f) Ausmultiplizieren: $2x - 2 = 3x + 6 \rightarrow -8 = x \rightarrow \mathbf{x = -8}$.
   g) Addiere $2\dfrac{1}{4}$ auf beiden Seiten: $x = 3 + 2\dfrac{1}{4} \rightarrow \mathbf{x = 5\dfrac{1}{4}}$.

2. Frage: Der Umfang eines rechteckigen Gartens beträgt 340 m und seine Länge ist 120 m. Sei $x$ die Breite des Gartens.
   a) Schreibe eine Gleichung für $x$ auf, um die Breite zu berechnen.
   b) Löse die Gleichung.
   c) Überprüfe deine Antwort.
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   a) Umfangsformel: $U = 2(\text{Länge}) + 2(\text{Breite})$. Gleichung: $340 = 2(120) + 2x$.
   b) Löse: $340 = 240 + 2x \rightarrow 100 = 2x \rightarrow \mathbf{x = 50 \text{ m}}$.
   c) Überprüfung: $2(120) + 2(50) = 240 + 100 = \mathbf{340}$.

13 - Ungleichungen mit einer Variablen

1. Frage: Stelle die Ungleichungen auf einer Zahlengeraden dar:
   a) $x < 6$   b) $x \ge 2$   c) $x < -4$ oder $x \ge 0$
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   Ein offener Kreis bedeutet, dass der Wert ausgeschlossen ist ($<, >$). Ein geschlossener Kreis bedeutet, dass er eingeschlossen ist ($\le, \ge$).
   

2. Frage: Löse die Ungleichungen:
   a) $4x - 2 > 18$
   b) $2(x - 1) > 6$
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   a) Addiere 2 auf beiden Seiten: $4x > 20$. Dividiere durch 4: $\mathbf{x > 5}$.
   b) Klammern auflösen: $2x - 2 > 6$. Addiere 2 auf beiden Seiten: $2x > 8$. Dividiere durch 2: $\mathbf{x > 4}$.

14 - Zweidimensionale Figuren

1. Frage: Ein Dreieck hat zwei Winkel, die 36° und 54° messen. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
   a) Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck.
   b) Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck.
   c) Dies ist ein gleichseitiges Dreieck.
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   Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°.
   Dritter Winkel = $180 - (36 + 54) = 180 - 90 = 90^\circ$.
   Da es einen 90°-Winkel hat, ist es ein rechtwinkliges Dreieck (b).

2. Frage: Zwei Geraden schneiden sich im Punkt O. Wie groß ist $\angle AOB$, wenn $\angle COB = 27^\circ$ ist?
   
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   $\angle AOC$ bildet einen gestreckten Winkel (180°), wodurch $\angle AOB$ und $\angle COB$ Nebenwinkel (Ergänzungswinkel) sind.
   $\angle AOB = 180^\circ - 27^\circ = \mathbf{153^\circ}$.

3. Frage: Drei Geraden schneiden sich im Punkt O. Liste alle Paare von Scheitelwinkeln in der untenstehenden Abbildung auf.
   
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   Die Scheitelwinkel-Paare sind:
   $\angle AOB$ und $\angle DOE$
   $\angle BOC$ und $\angle EOF$
   $\angle COD$ und $\angle FOA$
   $\angle FOB$ und $\angle COE$
   $\angle AOC$ und $\angle DOF$
   $\angle BOD$ und $\angle EOA$

4. Frage: Gib die Anzahl der Seitenkanten von jedem der unten aufgelisteten Polygone an:
   a) Hexagon (Sechseck)   b) Pentagon (Fünfeck)   c) Oktogon (Achteck)
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   a) Hexagon: 6 Seiten
   b) Pentagon: 5 Seiten
   c) Oktogon: 8 Seiten

5. Frage: Wie viele Symmetrieachsen hat ein gleichseitiges Dreieck?
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   Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 Symmetrieachsen.
   

15 - Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren

1. Frage: Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mit einem Durchmesser von 20 cm.
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   Radius $r = \text{Durchmesser} / 2 = 10 \text{ cm}$.
   Flächeninhalt = $\pi \times r^2 = 3{,}14 \times 10^2 = 3{,}14 \times 100 = \mathbf{314 \text{ cm}^2}$.

2. Frage: Berechne den Umfang eines Rechtecks mit einer Länge von 10 Zoll (inches) und einer Breite von 8 Zoll.
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   Umfang = $2(\text{Länge}) + 2(\text{Breite}) = 2(10) + 2(8) = 20 + 16 = \mathbf{36 \text{ Zoll}}$.

3. Frage: Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit einer Höhe von 10 cm und einer Grundlinie (Basis) von 5 cm.
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   Flächeninhalt = $\frac{1}{2} \times \text{Grundlinie} \times \text{Höhe} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = \mathbf{25 \text{ cm}^2}$.

4. Frage: ABCD ist ein Rechteck, das auf der linken Seite durch einen Halbkreis begrenzt wird. Finde den Flächeninhalt der schraffierten (in Blau markierten) Fläche.
   
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   1) Flächeninhalt des gesamten Rechtecks = $100 \times 50 = 5000 \text{ cm}^2$.
   2) Flächeninhalt des Halbkreises (Radius = $50 / 2 = 25 \text{ cm}$) = $\frac{1}{2} \times 3{,}14 \times 25^2 = 981{,}25 \text{ cm}^2$.
   3) Schraffierte Fläche = Rechteck - Halbkreis = $5000 - 981{,}25 = \mathbf{4018{,}75 \text{ cm}^2}$.

16 - Daten und Interpretation von Diagrammen

1. Frage: Das Liniendiagramm unten zeigt die Anzahl der Stunden, die Mathew an 6 Tagen mit Hausaufgaben verbracht hat, um sich auf seine Prüfung vorzubereiten.
   a) An welchem Tag verbrachte Mathew die wenigsten Stunden mit Hausaufgaben?
   b) An welchem Tag verbrachte Mathew die meisten Stunden mit Hausaufgaben?
   c) Wie viele Stunden verbrachte Mathew insgesamt mit Hausaufgaben, um sich auf seine Prüfung vorzubereiten?
   
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   a) Samstag (1 Stunde).
   b) Donnerstag (4 Stunden).
   c) Gesamtstunden = $3 + 3 + 2 + 4 + 3 + 1 = \mathbf{16 \text{ Stunden}}$.

2. Frage: Das Histogramm unten zeigt die Punktebereiche (horizontale Achse) und die Anzahl der Schüler (vertikale Achse), die diesen Bereich in einer Mathematikprüfung erreicht haben.
   a) Wie viele Schüler sind in dieser Klasse?
   b) Wie viele Schüler erzielten Punkte zwischen 70 und 89 einschließlich?
   c) Jeder, der weniger als 60 Punkte erreicht hat, gilt als durchgefallen. Wie viel Prozent der Gesamtschülerzahl sind bei dem Test durchgefallen?
   
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   a) Summe aller Balken: $2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 3 = \mathbf{25 \text{ Schüler}}$.
   b) Balken für 70-79 und 80-89: $6 + 7 = \mathbf{13 \text{ Schüler}}$.
   c) Durchgefallene Schüler (Bereiche 40-49 und 50-59) = $2 + 3 = 5$. Prozentual durchgefallen = $\dfrac{5}{25} \times 100 = \mathbf{20\%}$.

17 - Statistik

1. Frage: Berechne das arithmetische Mittel (Durchschnitt), den Modus und den Median des Datensatzes: $\{ 9, 4, 3, 2, 3, 2, 3, 1, 9 \}$
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   Mittelwert (Durchschnitt): Summe geteilt durch Anzahl. $\dfrac{36}{9} = \mathbf{4}$.
   Daten ordnen: $1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9$.
   Modus: Die am häufigsten vorkommende Zahl ist 3.
   Median: Die mittlere Zahl in der geordneten Liste ist 3.

2. Frage: Joel erzielte 78, 95 und 92 Punkte in ihren ersten drei Tests (Quizzes). Welche Punktzahl sollte sie in ihrem vierten Test erzielen, damit der Durchschnitt der vier Tests 90 beträgt?
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   Sei $x$ die vierte Punktzahl.
   $\dfrac{78 + 95 + 92 + x}{4} = 90$
   $\dfrac{265 + x}{4} = 90$
   $265 + x = 360 \rightarrow x = 360 - 265 = \mathbf{95}$.

18 - Zählprinzip (Kombinatorik)

1. Frage: In einem Restaurant wird ein Mittagessen mit einer Auswahl aus drei Salaten, fünf Hauptgerichten und vier Desserts angeboten. Auf wie viele Arten kann man sein Mittagessen bestellen?
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   Multipliziere die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für jede Kategorie: $3 \times 5 \times 4 = \mathbf{60 \text{ Arten}}$.

2. Frage: Es gibt zwei Autohändler in der Stadt. Der erste bietet 3 Karosserieformen, 4 Farben und 3 Modelle an. Der zweite bietet 2 Karosserieformen, 5 Farben und 4 Modelle an. Welcher Autohändler hat mehr Auswahlmöglichkeiten?
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   Auswahlmöglichkeiten Händler 1: $3 \times 4 \times 3 = 36$.
   Auswahlmöglichkeiten Händler 2: $2 \times 5 \times 4 = 40$.
   Der zweite Autohändler hat mehr Auswahlmöglichkeiten.

19 - Wahrscheinlichkeiten

1. Frage: Welcher der folgenden Werte kann kein Maß für eine Wahrscheinlichkeit sein?
   a) 1   b) -0,5   c) 2   d) 0   e) 0,0001
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   Ein Wahrscheinlichkeitswert muss zwischen 0 und 1 liegen (einschließlich). Daher können b) -0,5 (negativ) und c) 2 (größer als 1) keine Wahrscheinlichkeiten sein.

2. Frage: Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es, wenn du eine Münze wirfst und eine von fünf verschiedenen Karten zufällig ziehst?
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   Münze (2 Ausgänge) $\times$ Karten (5 Ausgänge) = $2 \times 5 = \mathbf{10 \text{ Ergebnisse}}$.

3. Frage: Ein Würfel mit den Zahlen von 1 bis 6 auf den Seiten wird geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erhaltene Zahl:
   a) gleich 0 ist?
   b) gleich 5 ist?
   c) größer als 4 ist?
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   a) 0 (Der Würfel hat keine Seite mit einer Null).
   b) $\mathbf{\dfrac{1}{6}}$ (Nur eine Seite hat eine 5).
   c) $\mathbf{\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}}$ (Zwei Seiten, 5 und 6, sind größer als 4).

4. Frage: Linda befragte 20 Schüler an ihrer Schule nach ihrer Lieblingsfarbe und 5 gaben an, dass Blau ihre Lieblingsfarbe sei. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste befragte Schüler eine Farbe wählt, die nicht Blau ist?
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   Wenn 5 von 20 Blau gewählt haben, dann haben $20 - 5 = 15$ Schüler eine Farbe gewählt, die nicht Blau ist.
   Wahrscheinlichkeit = $\dfrac{15}{20} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}$.

Weitere Referenzen und Links

• Mathematik-Themen der 7. Klasse
• Brüche - Fragen und Probleme mit Lösungen