Negative Exponenten: Fragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen - Klasse 8

Diese Seite soll Schülern, Eltern und Lehrern helfen, das Thema negative Exponenten durch sorgfältig ausgewählte Fragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen mit Erklärungen zu meistern. Erweitern Sie die versteckten Lösungen unter jeder Frage, um die grundlegenden Regeln und die Logik hinter jedem Schritt zu erfahren.

Die Fragen auf dieser Seite decken grundlegende algebraische Fähigkeiten ab, einschließlich:

Wiederholung: Grundregeln der Exponenten

Regelname Formel
Regel für negative Exponenten \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
Negativer Exponent bei einem Bruch \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)
Potenz eines Produkts \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
Potenz eines Quotienten \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
Null-Exponenten-Regel \( a^0 = 1 \)   (wobei \( a \neq 0 \))

Übungsfragen & Lösungen

  1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \( 5^{-2} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Wenden Sie die Regel für negative Exponenten an \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \).
    \[ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \]
    Schritt 2: Berechnen Sie das Quadrat im Nenner.
    \[ = \dfrac{1}{25} \]
  2. Berechnen Sie: \( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Verwenden Sie die Regel für negative Exponenten bei Brüchen \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \). Drehen Sie den Bruch um und machen Sie den Exponenten positiv.
    \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2 \]
    Schritt 2: Vereinfachen Sie den Bruch innerhalb der Klammern.
    \[ = (-3)^2 \]
    Schritt 3: Eine negative Zahl im Quadrat wird positiv.
    \[ = 9 \]
  3. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \( \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Wenden Sie die Regel für negative Exponenten an, um Faktoren über den Bruchstrich zu verschieben. Ein negativer Exponent im Zähler wandert in den Nenner, und ein negativer Exponent im Nenner wandert in den Zähler.
    \[ \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} = \dfrac{3^1}{5^1} \]
    Schritt 2: Vereinfachen.
    \[ = \dfrac{3}{5} \]
  4. Berechnen Sie: \( (2^{-3}) \times (3^{-2}) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Schreiben Sie jeden Term unter Verwendung der Regel für negative Exponenten um.
    \[ (2^{-3})(3^{-2}) = \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{1}{3^2} \]
    Schritt 2: Berechnen Sie die Potenzen.
    \[ = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{9} \]
    Schritt 3: Multiplizieren Sie die Brüche.
    \[ = \dfrac{1}{72} \]
  5. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \( -2^{-3} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Verstehen Sie die Vorrangregeln. Der Exponent gilt nur für die Basis \(2\), nicht für das negative Vorzeichen.
    \[ -2^{-3} = -\left(2^{-3}\right) \]
    Schritt 2: Wenden Sie die Regel für negative Exponenten auf die Basis an.
    \[ = -\left(\dfrac{1}{2^3}\right) \]
    Schritt 3: Berechnen Sie die Potenz.
    \[ = -\dfrac{1}{8} \]
  6. Berechnen Sie: \( -1^{-3} + 2^{-3} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Berechnen Sie Potenzen vor der Addition oder Negation. Beachten Sie, dass bei \( -1^{-3} \) der Exponent nur für die \(1\) gilt.
    \[ -\left(\dfrac{1}{1^3}\right) + \dfrac{1}{2^3} \]
    Schritt 2: Berechnen Sie die Nenner.
    \[ = -1 + \dfrac{1}{8} \]
    Schritt 3: Suchen Sie einen gemeinsamen Nenner, um die Terme zu addieren.
    \[ = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8} \]
  7. Berechnen Sie: \( (-1)^{-4} + 2^{-3} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Hier bedeuten die Klammern, dass das negative Vorzeichen Teil der Basis ist. Wenden Sie die Regel für negative Exponenten an.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^4} + \dfrac{1}{2^3} \]
    Schritt 2: Berechnen Sie die Potenzen. Eine negative Zahl hoch einer geraden Potenz wird positiv.
    \[ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{8} = 1 + \dfrac{1}{8} \]
    Schritt 3: Suchen Sie einen gemeinsamen Nenner zur Addition.
    \[ = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8} \]
  8. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \( \left( -4^{-2} \right) \left( 2^{2} \right) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Betrachten Sie den ersten Term. Der Exponent \(-2\) gilt nur für die \(4\), nicht für das negative Vorzeichen.
    \[ \left(-\dfrac{1}{4^2}\right) \times (2^2) \]
    Schritt 2: Berechnen Sie die Potenzen.
    \[ = \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times 4 \]
    Schritt 3: Multiplizieren und vereinfachen Sie den Bruch.
    \[ = -\dfrac{4}{16} = -\dfrac{1}{4} \]
  9. Berechnen Sie: \( (-1)^{-3} + 2^{0} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Wenden Sie die Regel für negative Exponenten auf den ersten Term an und beachten Sie die Null-Exponenten-Regel (\(a^0 = 1\)) für den zweiten Term.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^3} + 1 \]
    Schritt 2: Berechnen Sie die Potenz. Eine negative Zahl hoch einer ungeraden Potenz bleibt negativ.
    \[ = \dfrac{1}{-1} + 1 \]
    Schritt 3: Vereinfachen.
    \[ = -1 + 1 = 0 \]
  10. Berechnen Sie: \( 0^{-3} \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    Schritt 1: Schreiben Sie unter Verwendung der Regel für negative Exponenten um.
    \[ 0^{-3} = \dfrac{1}{0^3} \]
    Schritt 2: Berechnen Sie den Nenner.
    \[ = \dfrac{1}{0} \]
    Schritt 3: Division durch null ist mathematisch unmöglich. Daher ist der Ausdruck nicht definiert.

Links und Referenzen