Diese Seite präsentiert eine Sammlung von Mathe-Textaufgaben zu quadratischen Gleichungen für die 8. Klasse, komplett mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen und klaren Erklärungen. Erweitern Sie die versteckten Lösungen unter jeder Frage, um die algebraische Logik zu enthüllen, die erforderlich ist, um reale Szenarien in mathematische Modelle zu übersetzen.
Die Fragen auf dieser Seite helfen Schülern, wichtige Anwendungen quadratischer Gleichungen zu meistern, einschließlich:
Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen haben die Form:
\[ x \quad \text{und} \quad x + 1 \]Ihr Produkt ist gleich 56:
\[ x(x + 1) = 56 \]Löse und finde die beiden Zahlen \( x \) und \( x + 1 \). Die obige Gleichung kann ausmultipliziert und in die Standardform gebracht werden:
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Lösungen: \( x = 7 \) oder \( x = -8 \).
\( x = -8 \) ist nicht gültig, da die Aufgabe besagt, dass die Zahlen positiv sein müssen. Somit ist \( x = 7 \).
Die beiden aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen sind 7 und 8 (da \( 7 + 1 = 8 \)).
Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen haben die Form:
\[ x \quad \text{und} \quad x + 1 \]Die Summe ihrer Quadrate ist gleich 145:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Ausmultiplizieren, zusammenfassen und in Standardform schreiben:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) = 145 \] \[ 2x^{2} + 2x + 1 - 145 = 0 \] \[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Teile alle Terme durch 2, um die Gleichung zu vereinfachen:
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Lösungen: \( x = -9 \) oder \( x = 8 \).
Da die Aufgabe positive ganze Zahlen vorgibt, ist nur \( x = 8 \) gültig.
Die beiden aufeinanderfolgenden positiven Zahlen sind 8 und 9.
Die Fläche eines Rechtecks ist Länge mal Breite, also:
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]In Standardform umschreiben, indem 42 von beiden Seiten subtrahiert wird:
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Lösungen: \( x = -8 \) und \( x = 5 \).
Wäre \( x = -8 \), wäre die Breite (\( x+1 \)) -7, was physisch unmöglich ist. Nur \( x = 5 \) ergibt eine gültige positive Länge und Breite.
Berechne die Maße:
Der Umfang ist \( 2 \times \text{Länge} + 2 \times \text{Breite} \):
\[ 2(7) + 2(6) = 14 + 12 = 26 \]Der Umfang des Gartens ist 26.
Sei \( y \) die Länge der kürzeren Kathete. Dann ist die längere Kathete:
\[ y + 3 \]Die Hypotenuse ist 3 cm länger als die längere Kathete, also:
\[ (y + 3) + 3 = y + 6 \]Verwende den Satz des Pythagoras (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Quadrate ausmultiplizieren und vereinfachen:
\[ y^{2} + (y^{2} + 6y + 9) = y^{2} + 12y + 36 \]Subtrahiere \( y^2 + 12y + 36 \) von beiden Seiten, um eine quadratische Standardgleichung zu bilden:
\[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Lösungen: \( y = 9 \) oder \( y = -3 \).
Nur \( y = 9 \) ist gültig, da eine Länge positiv sein muss.
Die Länge der Hypotenuse ist \( y + 6 \):
\[ 9 + 6 = 15 \text{ cm} \]Das Objekt befindet sich 80 Fuß über dem Boden, wenn \( h = 80 \), setze also 80 in die Gleichung ein:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]In Standardform umschreiben, indem 80 von beiden Seiten subtrahiert wird:
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \] \[ -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Teile die gesamte Gleichung durch -16, um sie zu vereinfachen:
\[ t^{2} - 4t + 3 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]Lösungen: \( t = 1 \) Sekunde und \( t = 3 \) Sekunden.
Erklärung: Das Objekt erreicht 80 Fuß auf dem Weg nach oben nach \( t = 1 \) Sekunde, erreicht seinen Höhepunkt und passiert 80 Fuß auf dem Weg nach unten wieder nach \( t = 3 \) Sekunden.
Sei \( L \) die Länge und \( B \) die Breite. Basierend auf der Fläche:
\[ L \times B = 96 \]Der Umfang ist 40, was ergibt:
\[ 2L + 2B = 40 \]Durch 2 teilen und nach \( L \) auflösen:
\[ L + B = 20 \implies L = 20 - B \]Setze diesen Ausdruck für \( L \) in die Flächengleichung ein:
\[ (20 - B) \times B = 96 \]Ausmultiplizieren und in die quadratische Standardform bringen:
\[ 20B - B^{2} = 96 \implies B^{2} - 20B + 96 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (B - 8)(B - 12) = 0 \]Lösungen: \( B = 8 \) oder \( B = 12 \).
Nun finde die entsprechenden Längen:
Üblicherweise wird die längere Seite als Länge bezeichnet. Daher sind die Maße Breite = 8 m und Länge = 12 m.
Sei \( b \) die Basis. Dann ist die Höhe \( b + 3 \). Verwendung der Flächenformel für ein Dreieck (\( A = \frac{1}{2} \times \text{Basis} \times \text{Höhe} \)):
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Multipliziere beide Seiten mit 2, um den Bruch zu eliminieren:
\[ 108 = b(b + 3) \]Ausmultiplizieren und als quadratische Standardgleichung umschreiben:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (b + 12)(b - 9) = 0 \]Lösungen: \( b = -12 \) oder \( b = 9 \).
Da eine Basislänge positiv sein muss, ist \( b = 9 \).
Die Höhe ist \( b + 3 = 9 + 3 = 12 \).
Die Basis ist 9 Fuß und die Höhe ist 12 Fuß.
Seien die drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen \( x \), \( x + 1 \) und \( x + 2 \).
Das Produkt der ersten und dritten ist:
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Eins weniger als das Quadrat der zweiten Zahl ist:
\[ (x + 1)^{2} - 1 = (x^{2} + 2x + 1) - 1 = x^{2} + 2x \]Beachte, dass sich beide algebraischen Ausdrücke zu \( x^2 + 2x \) vereinfachen. Dies führt zu der Gleichung:
\[ x^{2} + 2x = x^{2} + 2x \]Da dies zu \( 0 = 0 \) führt, handelt es sich um eine algebraische Identität. Das bedeutet, die Gleichung ist für alle reellen Zahlen \( x \) wahr.
Daher erfüllt jede beliebige Menge von drei aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen diese Bedingung (z. B. 1, 2, 3 oder 10, 11, 12).
Sei \( x \) die kleinere Zahl. Da ihre Differenz \( \frac{7}{2} \) beträgt, ist die größere Zahl \( x + \frac{7}{2} \).
Ihr Produkt ist 2:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Ausmultiplizieren:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x = 2 \]Als quadratische Standardgleichung umschreiben, indem 2 subtrahiert wird:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Multipliziere die gesamte Gleichung mit 2, um den Bruch zu eliminieren:
\[ 2x^{2} + 7x - 4 = 0 \]Faktorisieren der quadratischen Gleichung:
\[ (2x - 1)(x + 4) = 0 \]Lösungen: \( x = \frac{1}{2} \) oder \( x = -4 \).
Die Aufgabe fragt nach positiven Zahlen, also ist die kleinere Zahl \( x = \frac{1}{2} \).
Die größere Zahl ist \( \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Die beiden Zahlen sind \( \frac{1}{2} \) und 4.
Seien die drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen \( x \), \( x + 1 \) und \( x + 2 \).
Die Summe ihrer Quadrate ist 77:
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Quadrate ausmultiplizieren:
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) + (x^{2} + 4x + 4) = 77 \]Gleichartige Terme zusammenfassen:
\[ 3x^{2} + 6x + 5 = 77 \]Subtrahiere 77 von beiden Seiten, um eine quadratische Standardgleichung zu bilden:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Teile die gesamte Gleichung durch 3, um sie zu vereinfachen:
\[ x^{2} + 2x - 24 = 0 \]Faktorisieren und lösen:
\[ (x + 6)(x - 4) = 0 \]Lösungen: \( x = -6 \) oder \( x = 4 \).
Da die Aufgabe nach ganzen Zahlen fragt (und sie nicht nur auf positive beschränkt), gibt es zwei gültige Antwortsets.