Gleichungen lösen: Aufgaben und Schritt-für-Schritt-Lösungen - Klasse 9

Diese Seite soll Schülern helfen, das Lösen von linearen Gleichungen mit einem detaillierten Schritt-für-Schritt-Ansatz zu meistern. Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die behauptet, dass zwei Ausdrücke gleich sind, getrennt durch ein Gleichheitszeichen (\(=\)).

Was ist eine Lösung?
Die Lösung einer Gleichung ist der spezifische Wert der unbekannten Variable (wie \(x\)), der die Gleichung zu einer wahren Aussage macht.

Beispiel: Ist \(x = 2\) eine Lösung für \(2x + 2 = x + 4\)?
Linke Seite auswerten: \( 2(2) + 2 = 6 \)
Rechte Seite auswerten: \( 2 + 4 = 6 \)
Da beide Seiten gleich sind, ist \(x = 2\) eine Lösung.

Wichtige Eigenschaften von Gleichungen

Um eine Gleichung zu lösen, ist das Ziel, die unbekannte Variable auf einer Seite zu isolieren. Dies erreichen wir durch die Eigenschaften der Gleichheit:

Additions- / Subtraktionsregel Wenn Sie auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Menge addieren oder subtrahieren, bleibt die Gleichung im Gleichgewicht und hat dieselbe Lösung.
Multiplikations- / Divisionsregel Wenn Sie beide Seiten einer Gleichung mit derselben Menge (ungleich Null) multiplizieren oder durch sie dividieren, bleibt die Gleichung im Gleichgewicht und hat dieselbe Lösung.

Beispiele mit Anleitung

Gehen Sie diese Beispiele durch, um zu sehen, wie die Regeln angewendet werden, um Variablen zu isolieren, Klammern aufzulösen und Brüche zu beseitigen.

  1. Einfache Gleichung: Lösen Sie die Gleichung \( 2x + 1 = -5 \) und überprüfen Sie die gefundene Lösung.

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Die Hauptidee ist, \( x \) auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Subtrahieren Sie \( 1 \) von beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 2x + 1 - 1 &= -5 - 1 \\ 2x &= -6 \end{aligned} \]

    Dividieren Sie beide Seiten durch 2:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{-6}{2} \\ x &= -3 \end{aligned} \]
    Überprüfung der Lösung:
    Linke Seite (LS): \( 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \)
    Rechte Seite (RS): \( -5 \)
    Da LS = RS ist, ist \( x = -3 \) korrekt.

  2. Variablen auf beiden Seiten: Lösen Sie die Gleichung \( x - 2 - 3x = -7 - x \) und überprüfen Sie die Lösung.

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Fassen Sie zuerst die gleichartigen Terme auf der linken Seite zusammen (\( x \) und \( -3x \)):

    \[ -2x - 2 = -7 - x \]

    Addieren Sie \( 2 \) zu beiden Seiten, um die konstanten Terme auf die rechte Seite zu bringen:

    \[ -2x = -x - 5 \]

    Addieren Sie \( x \) zu beiden Seiten, um die Variablenterme auf die linke Seite zu bringen:

    \[ \begin{aligned} -2x + x &= -5 \\ -x &= -5 \end{aligned} \]

    Multiplizieren oder dividieren Sie beide Seiten durch \( -1 \):

    \[ x = 5 \]
    Überprüfung der Lösung:
    LS: \( 5 - 2 - 3(5) = 5 - 2 - 15 = -12 \)
    RS: \( -7 - (5) = -12 \)
    Da LS = RS ist, ist \( x = 5 \) korrekt.

  3. Gleichungen mit Klammern: Lösen Sie die Gleichung \( -2(x - 2) + 3 = 3(-x + 4) - 3 \).

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Verwenden Sie das Distributivgesetz, \( a(b+c) = ab + ac \), um die Klammern auf beiden Seiten aufzulösen:

    \[ -2x + 4 + 3 = -3x + 12 - 3 \]

    Fassen Sie gleichartige Terme auf jeder Seite zusammen:

    \[ -2x + 7 = -3x + 9 \]

    Addieren Sie \( 3x \) zu beiden Seiten und subtrahieren Sie \( 7 \) von beiden Seiten, um \( x \) zu isolieren:

    \[ \begin{aligned} -2x + 3x &= 9 - 7 \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Überprüfung der Lösung:
    LS: \( -2(2 - 2) + 3 = -2(0) + 3 = 3 \)
    RS: \( 3(-2 + 4) - 3 = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \)
    Da LS = RS ist, ist \( x = 2 \) korrekt.

  4. Gleichungen mit Brüchen: Lösen Sie die Gleichung \( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \).

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    Um die Brüche zu eliminieren, multiplizieren Sie beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner 3 und 2, das 6 ist.

    \[ 6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) \]

    Verteilen Sie die 6 auf jeden Term:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{6x}{3} - \dfrac{6}{2} &= \dfrac{6}{3} \\ 2x - 3 &= 2 \end{aligned} \]

    Addieren Sie 3 zu beiden Seiten, dann dividieren Sie durch 2:

    \[ \begin{aligned} 2x &= 5 \\ x &= \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]
    Überprüfung der Lösung:
    LS: \( \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
    Da LS = RS ist, ist \( x = \dfrac{5}{2} \) korrekt.

Übungsaufgaben

Lösen Sie die folgenden Gleichungen und überprüfen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Lösung nachprüfen.

  1. \( 2x + 2 = 6 \)

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    Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 2x + 2 - 2 &= 6 - 2 \\ 2x &= 4 \end{aligned} \]

    Dividieren Sie beide Seiten durch 2:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \). Beide Seiten sind gleich.

  2. \( 5y - 2 = 7y - 8 \)

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    Subtrahieren Sie \( 5y \) von beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 5y - 2 - 5y &= 7y - 8 - 5y \\ -2 &= 2y - 8 \end{aligned} \]

    Addieren Sie 8 zu beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} -2 + 8 &= 2y \\ 6 &= 2y \end{aligned} \]

    Dividieren Sie durch 2:

    \[ y = 3 \]
    Überprüfung: LS: \( 5(3) - 2 = 13 \). RS: \( 7(3) - 8 = 13 \). Beide Seiten sind gleich.

  3. \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Fassen Sie die gleichartigen Terme auf jeder Seite zusammen:

    \[ 3x + 4 = 4x + 4 \]

    Subtrahieren Sie \( 3x \) und 4 von beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 4 - 4 &= 4x - 3x \\ 0 &= x \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( -2(0) + 4 + 5(0) = 4 \). RS: \( 7 + 4(0) - 3 = 4 \). Beide Seiten sind gleich.

  4. \( 0.2d + 4 = -0.1d - 2 \)

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    Addieren Sie \( 0.1d \) zu beiden Seiten und subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 0.2d + 0.1d &= -2 - 4 \\ 0.3d &= -6 \end{aligned} \]

    Dividieren Sie beide Seiten durch 0.3:

    \[ \begin{aligned} d &= \dfrac{-6}{0.3} \\ d &= -20 \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( 0.2(-20) + 4 = -4 + 4 = 0 \). RS: \( -0.1(-20) - 2 = 2 - 2 = 0 \). Beide Seiten sind gleich.

  5. \( -2(2x - 6) = -(x - 4) \)

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Erweitern Sie beide Seiten unter Verwendung des Distributivgesetzes:

    \[ -4x + 12 = -x + 4 \]

    Addieren Sie \( 4x \) zu beiden Seiten und subtrahieren Sie 4:

    \[ \begin{aligned} 12 - 4 &= -x + 4x \\ 8 &= 3x \end{aligned} \]

    Dividieren Sie durch 3:

    \[ x = \dfrac{8}{3} \]
    Überprüfung: LS: \( -2\left(2\left(\frac{8}{3}\right) - 6\right) = -2\left(\frac{16}{3} - \frac{18}{3}\right) = -2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} \).
    RS: \( -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \). Beide Seiten sind gleich.

  6. \( -(x + 2) + 4 = 2(x + 3) + x \)

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    Erweitern und fassen Sie die gleichartigen Terme zusammen:

    \[ \begin{aligned} -x - 2 + 4 &= 2x + 6 + x \\ -x + 2 &= 3x + 6 \end{aligned} \]

    Addieren Sie \( x \) und subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 2 - 6 &= 3x + x \\ -4 &= 4x \\ -1 &= x \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( -(-1 + 2) + 4 = -1 + 4 = 3 \). RS: \( 2(-1 + 3) + (-1) = 2(2) - 1 = 3 \). Beide Seiten sind gleich.

  7. \( \dfrac{x}{5} = -6 \)

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    Multiplizieren Sie beide Seiten mit 5, um \( x \) zu isolieren:

    \[ \begin{aligned} 5 \left(\dfrac{x}{5}\right) &= 5(-6) \\ x &= -30 \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( \dfrac{-30}{5} = -6 \). Beide Seiten sind gleich.

  8. \( -\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)

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    Multiplizieren Sie beide Seiten mit -3, um den Bruch und das negative Vorzeichen zu entfernen:

    \[ \begin{aligned} (-3) \left(-\dfrac{x}{3}\right) &= (-3) \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( -\dfrac{(-3/2)}{3} = \dfrac{3/2}{3} = \dfrac{1}{2} \). Beide Seiten sind gleich.

  9. \( -\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)

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    Multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit 4, um die Brüche zu eliminieren:

    \[ \begin{aligned} 4 \left(-\dfrac{x}{4}\right) &= 4 \left(\dfrac{1}{2} - x\right) \\ -x &= 2 - 4x \end{aligned} \]

    Addieren Sie \( 4x \) zu beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( -\dfrac{2/3}{4} = -\dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6} \).
    RS: \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6} \). Beide Seiten sind gleich.

  10. \( -\dfrac{x - 3}{7} = \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \)

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    Multiplizieren Sie beide Seiten mit dem kgV von 7 und 2 (das ist 14), um die Brüche zu eliminieren:

    \[ \begin{aligned} 14 \left( -\dfrac{x - 3}{7} \right) &= 14 \left( \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \right) \\ -2(x - 3) &= 7(-2x + 6) \end{aligned} \]

    Erweitern Sie unter Verwendung des Distributivgesetzes:

    \[ -2x + 6 = -14x + 42 \]

    Addieren Sie \( 14x \) und subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 12x &= 36 \\ x &= 3 \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( -\dfrac{3 - 3}{7} = 0 \). RS: \( \dfrac{1}{2}(-2(3) + 6) = 0 \). Beide Seiten sind gleich.

  11. \( -\dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x - 2) \)

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Beseitigen Sie zuerst die Brüche, indem Sie jeden Term mit dem kgV von 2 und 5 multiplizieren (das ist 10):

    \[ 10 \left(-\dfrac{1}{2} - x + 5\right) = 10 \left(\dfrac{1}{5} + 2(x - 2)\right) \]

    Verteilen Sie die 10 sorgfältig:

    \[ -5 - 10x + 50 = 2 + 20(x - 2) \]

    Fassen Sie die konstanten Terme auf der linken Seite zusammen und erweitern Sie die Klammern auf der rechten Seite:

    \[ \begin{aligned} -10x + 45 &= 2 + 20x - 40 \\ -10x + 45 &= 20x - 38 \end{aligned} \]

    Addieren Sie \( 10x \) und addieren Sie 38 zu beiden Seiten:

    \[ \begin{aligned} 45 + 38 &= 20x + 10x \\ 83 &= 30x \\ x &= \dfrac{83}{30} \end{aligned} \]
    Überprüfung: LS: \( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{83}{30} + 5 = -\dfrac{15}{30} - \dfrac{83}{30} + \dfrac{150}{30} = \dfrac{52}{30} = \dfrac{26}{15} \).
    RS: \( \dfrac{1}{5} + 2\left(\dfrac{83}{30} - \dfrac{60}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + 2\left(\dfrac{23}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + \dfrac{46}{30} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{23}{15} = \dfrac{26}{15} \). Beide Seiten sind gleich.

Links und Referenzen

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