Gleichungen lösen - Klasse 9

Beispiele der 9. Klasse mit einem detaillierten Schritt-für-Schritt-Ansatz zum Lösen einfacher Gleichungen und Gleichungen mit Klammern und Brüchen werden vorgestellt. Das Überprüfen der Lösungen einer Gleichung wird ebenfalls besprochen. Weitere Fragen und ihre Lösungen mit ausführlichen Erklärungen sind ebenfalls enthalten.


Was ist eine Gleichung und ihre Lösung?

Wir wiederholen zunächst das Konzept der Gleichungen und die Lösung einer Gleichung.
Eine Gleichung ist eine Aussage, die die Gleichheit zweier mathematischer Ausdrücke ausdrückt. Eine Gleichung hat ein Gleichheitszeichen, einen Ausdruck auf der rechten Seite und einen Ausdruck auf der linken Seite.

Beispiel 1


Dies sind Beispiele für Gleichungen mit der Unbekannten \( x \).
\( \quad 2 x = - 6 \) , \( \quad x + 3 = 7 \) , \( \quad 2(x + 3) = - (2x+4) \)
Jede Gleichung hat ein Gleichheitszeichen, das die linke und die rechte Seite der Gleichung trennt.
Die linke Seite der Gleichung \( \quad \color{red}{2 x - 6} = x + 5 \) ist \( \quad \color{red}{2 x - 6} \).
Die rechte Seite der Gleichung \( \quad 2 x - 6 = \color{red}{x + 5} \) ist \( \quad \color{red}{x + 5} \).

Die Lösung einer Gleichung mit der Unbekannten \( x \) ist die Menge aller Werte von \( x \), die die Gleichung zu einer wahren Aussage machen.

Beispiel 2


Welche der folgenden Werte von \( x \): \( - 4, 2\) ist/sind Lösung(en) der Gleichung \( 2x + 2 = x + 4 \)?
Lösung zu Beispiel 2
Setze \( x \) durch seinen numerischen Wert auf der linken Seite und der rechten Seite der Gleichung ein.
a) Überprüfe \( \color{red}{x = - 4} \).
Berechne linke Seite : \( 2 \color{red}x + 2 = 2 \color{red}{( - 4 )} + 2 = - 8 + 2 = - 6 \).
Berechne rechte Seite : \( \color{red}x + 4 = \color{red}{( - 4)} + 4 = 0 \).
Die numerischen Werte der linken und der rechten Seite sind nicht gleich, daher ist \( x = - 4 \) KEINE Lösung der Gleichung \( 2x + 2 = x + 4 \).
b) Überprüfe \( \color{red}{x = 2} \).
Berechne linke Seite : \( 2x + 2 = 2 \color{red}{(2 )} + 2 = 4 + 2 = 6 \).
Berechne rechte Seite : \( \color{red}x + 4 = \color{red}{(2)} + 4 = 6 \).
Die numerischen Werte der linken und der rechten Seite sind gleich, daher ist \( x = 2 \) eine Lösung der Gleichung \( 2x + 2 = x + 4 \).


Wichtige Eigenschaften zum Lösen von Gleichungen

Um eine Gleichung zu lösen, benötigen wir mathematische Schritte, die helfen, alle Terme mit der Unbekannten auf eine Seite und die konstanten Terme auf die andere Seite zu bringen.
Einige der wichtigsten Eigenschaften zum Lösen von Gleichungen sind unten aufgeführt.
1) Wenn wir auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Größe addieren oder subtrahieren, erhalten wir eine Gleichung mit derselben Lösung wie die ursprüngliche.
2) Wenn wir beide Seiten einer Gleichung mit derselben Größe multiplizieren oder dividieren, die NICHT gleich Null ist, erhalten wir eine Gleichung mit derselben Lösung wie die ursprüngliche.


Einfache Gleichungen lösen

Beispiel 3


Löse die Gleichung \( 2x + 1 = - 5 \) und überprüfe die gefundene Lösung.
Lösung zu Beispiel 3
Die Hauptidee ist, alle Terme mit der Unbekannten \( x \) auf eine Seite und alle konstanten Terme auf die andere Seite der Gleichung zu bringen.
Lassen Sie uns die Terme \( 2x \) auf der linken Seite behalten und die konstanten Terme auf der rechten Seite haben. Dies kann erreicht werden, indem wir \( 1 \) von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
\( \quad \quad 2x + 1 \color{red}{- 1} = - 5 \color{red}{- 1} \).
Vereinfache, um zu erhalten:
\( \quad \quad 2x = - 6 \).
Um \( x \) aus \( 2x \) zu erhalten, dividieren wir beide Seiten der obigen Gleichung durch 2.
\( \quad \quad \dfrac{2 x}{\color{red}2} = \dfrac{-6}{\color{red}2} \).
Vereinfache:
\( \quad \quad x = -3 \).
Überprüfe die erhaltene Lösung in der ursprünglichen (gegebenen) Gleichung
Berechne die linke Seite der Gleichung für \( x = - 3 \) : \( \quad 2x + 1 = 2(-3) + 1 = - 5 \).
Berechne die rechte Seite der Gleichung für \( x = - 3 \) : \( \quad - 5 \).
Linke Seite und rechte Seite sind beide gleich \( - 5 \) für \( x = - 3 \), daher ist \( x = - 3 \) eine Lösung der gegebenen Gleichung.

Beispiel 4


Löse die Gleichung \( x - 2 - 3x = - 7 - x \) und überprüfe die gefundene Lösung.
Lösung zu Beispiel 4
Fasse gleiche Terme auf den beiden Seiten der Gleichung zusammen. \( x \) und \( - 3x \) sind gleiche Terme auf der linken Seite und können zusammengefasst werden zu:
\( \quad \quad - 2x - 2 = - 7 - x \).
Addiere \( 2 \) zu beiden Seiten der Gleichung, um konstante Terme von der linken Seite zu eliminieren.
\( \quad \quad - 2x - 2 \color{red}{+ 2} = - 7 - x \color{red}{+ 2} \).
Vereinfache:
\( \quad \quad - 2x = - x - 5 \).
Addiere \( x \) zu beiden Seiten der Gleichung, um Terme mit \( x \) von der rechten Seite zu eliminieren.
\( \quad \quad - 2x \color{red}{+x } = - x - 5 \color{red}{+x } \).
Vereinfache, um zu erhalten:
\( \quad \quad - x = - 5 \).
Wenn wir \( - x \) kennen und \( x \) benötigen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \( - 1 \).
\( \quad \quad \color{red}{(-1)}(- x) = \color{red}{(-1)}(- 5) \).
Vereinfache:
\( \quad \quad x = 5 \).
Überprüfe die erhaltene Lösung in der ursprünglichen (gegebenen) Gleichung
Linke Seite der Gleichung für \( x = 5 \) : \( \quad x - 2 - 3x = 5 - 2 -3(5) = - 12 \).
Rechte Seite der Gleichung für \( x = 5 \) : \( \quad - 7 - x = - 7 - (5) = - 12 \).
Linke Seite und rechte Seite sind beide gleich \( - 12 \) für \( x = 5 \), daher ist \( x = 5 \) eine Lösung der gegebenen Gleichung.


Gleichungen mit Klammern lösen

Beispiel 5


Löse die Gleichung \( - 2 (x - 2) + 3 = 3 (-x + 4) - 3 \) und überprüfe die gefundene Lösung.
Lösung zu Beispiel 5
Die gegebene Gleichung:
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x - 2) + 3 = \color{red}3 (-x + 4) - 3 \).
Verwende das Distributivgesetz: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), eine der grundlegenden Regeln der Algebra, um die Klammern zu entfernen. Verteile \( \color{red}{-2} \) und \( \color{red}3 \).
\( \quad \quad \color{red}{- 2} (x ) \color{red}{- 2} (- 2) + 3 = \color{red}3 (-x) + \color{red}3 (4) - 3 \).
Vereinfache:
\( \quad \quad - 2 x + 4 + 3 = - 3 x + 12 - 3 \).
Fasse gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammen.
\( \quad \quad - 2 x + 7 = - 3 x + 9 \).
Subtrahiere \( 7 \) von beiden Seiten der Gleichung, um konstante Terme von der linken Seite der Gleichung zu eliminieren.
\( \quad \quad - 2 x + 7 - 7 = - 3 x + 9 - 7 \).
Fasse gleiche Terme zusammen:
\( \quad \quad - 2x = - 3x + 2 \).
Addiere \( 3x \) zu beiden Seiten der Gleichung, um Terme mit \( x \) von der rechten Seite der Gleichung zu eliminieren.
\( \quad \quad - 2x + 3 x = - 3x + 2 + 3x \).
Fasse gleiche Terme zusammen und vereinfache:
\( \quad \quad x = 2 \).
Überprüfe die erhaltene Lösung in der ursprünglichen (gegebenen) Gleichung
Berechne die linke Seite der Gleichung für \( x = 2 \) : \( \quad - 2 (x - 2) + 3 = - 2 ((2) - 2) + 3 = 3 \).
Berechne die rechte Seite der Gleichung für \( x = 2 \) : \( \quad 3 (-x + 4) - 3 = 3 (-(2) + 4) - 3 = 3 \).
Linke Seite und rechte Seite sind beide gleich 3 für \( x = 2 \), daher ist \( x = 2 \) eine Lösung der gegebenen Gleichung.


Gleichungen mit Brüchen lösen

Die hier angewandte Methode zum Lösen von Gleichungen mit Brüchen besteht darin, zuerst die Brüche (durch Multiplikation) zu beseitigen, um den Umgang mit Brüchen zu vermeiden, und dann die Gleichung zu lösen.

Beispiel 6


Löse die Gleichung \( \quad \dfrac{x}{2} = - 3 \) und überprüfe die gefundene Lösung.
Lösung zu Beispiel 6
Um den Nenner \( 2 \) in \( \dfrac{x}{2} \) zu eliminieren, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner \( 2 \).
\( \quad \color{red}2 \left(\dfrac{x}{2} \right) = \color{red}2 (- 3) \).
Vereinfache:
\( \quad x = - 6 \).
Überprüfe die erhaltene Lösung in der ursprünglichen (gegebenen) Gleichung
Linke Seite der Gleichung für \( x = -6 \) : \( \quad \dfrac{x}{2} = \dfrac{-6}{2} = - 3 \).
Linke Seite und rechte Seite sind beide gleich \( - 3 \) für \( x = - 6 \), daher ist \( x = - 6 \) eine Lösung der gegebenen Gleichung.


Beispiel 7


Löse die Gleichung \( \quad \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \) und überprüfe die gefundene Lösung.
Lösung zu Beispiel 7
Wir haben nun zwei Brüche mit den Nennern \( 2 \) und \( 3 \) in der gegebenen Gleichung. Um die Brüche loszuwerden, müssen wir beide Seiten der Gleichung mit dem kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der beiden verschiedenen Nenner \( 2 \) und \( 3 \) multiplizieren.
Finde das kgV von \( 2 \) und \( 3 \), das \( 6 \) ist.
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem kgV, das \( 6 \) ist.
\( \quad\quad \color{red}6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = \color{red}6 \left(\dfrac{1}{3}\right) \).
Verteile den Faktor \( 6 \):
\( \quad\quad 6 \left(\dfrac{x}{3} \right) - 6 \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left(\dfrac{1}{3} \right) \).
Forme um als:
\( \quad\quad \left(\dfrac{6}{3} \right) x - \left(\dfrac{6}{2} \right) = \left(\dfrac{6}{3} \right) \).
Vereinfache:
\( \quad\quad 2x - 3 = 2 \).
HINWEIS: Ein Schritt, nämlich die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem kgV der Nenner, ist notwendig, um die Brüche zu beseitigen, da das kgV ein Vielfaches jedes Nenners ist.
Löse die obige Gleichung, indem du \( 3 \) zu beiden Seiten addierst und vereinfachst, um zu erhalten:
\( \quad\quad 2 x = 5 \).
Teile beide Seiten durch \( 2 \):
\( \quad\quad x = \dfrac{5}{2} \).
Überprüfe die erhaltene Lösung in der ursprünglichen (gegebenen) Gleichung
Linke Seite der Gleichung für \( x = \dfrac{5}{2} \) : \( \quad \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \).
Linke Seite und rechte Seite sind beide gleich \( \dfrac{1}{3} \) für \( x = \dfrac{5}{2} \), daher ist \( x = \dfrac{5}{2} \) eine Lösung der gegebenen Gleichung.


Beispiel 8


Löse die Gleichung \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = - \dfrac{x}{3} \) und überprüfe die gefundene Lösung.
Lösung zu Beispiel 8
Wir haben nun Brüche mit den Nennern \( 5 \) und \( 3 \) in der gegebenen Gleichung. Wir müssen beide Seiten der Gleichung mit dem kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der beiden verschiedenen Nenner \( 5 \) und \( 3 \) multiplizieren.
Finde das kgV von \( 5 \) und \( 3 \), das \( 15 \) ist.
HINWEIS: Ein Schritt, nämlich die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem kgV der Nenner, ist notwendig, um die Brüche zu beseitigen, da das kgV ein Vielfaches jedes Nenners ist.
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem kgV \( 15 \):
\( \quad\quad \color{red}{15} \left( \dfrac{2x + 1}{5} + 2 \right) = \color{red}{15} \left( - \dfrac{x}{3} \right) \).
Verteile den Faktor \( 15 \):
\( \quad\quad 15 \left(\dfrac{2x+1}{5} \right) + 15 (2) = 15 \left( - \dfrac{x}{3} \right) \).
Forme um als:
\( \quad\quad \dfrac{15}{5}(2x+1) + 15 (2) = \dfrac{15}{3}(-x) \).
Vereinfache:
\( \quad\quad 3 (2x+1) + 30 = - 5x \).
Verteile den Faktor \(3 \) auf der linken Seite und fasse gleiche Terme zusammen:
\( \quad\quad 6 x + 3 + 30 = - 5x \).
\( \quad\quad 6x + 33 = - 5 x \).
Subtrahiere \( 33 \) von beiden Seiten und addiere \( 5x \) zu beiden Seiten. (HINWEIS: Wir haben zwei Operationen in einem Schritt ausgeführt.)
\( \quad\quad 6x + 33 \color{red}{- 33 + 5x } = - 5 x \color{red}{- 33 + 5x } \).
Fasse gleiche Terme zusammen:
\( \quad\quad 11 x = - 33 \).
Teile beide Seiten durch \( 11 \):
\( \quad\quad \dfrac{ 11 x} {11} = \dfrac{-33}{11} \).
Vereinfache:
\( \quad\quad x = - 3 \).
Überprüfe die erhaltene Lösung in der ursprünglichen (gegebenen) Gleichung
Linke Seite der Gleichung für \( x = - 3 \) : \( \quad \dfrac{2x + 1}{5} + 2 = \dfrac{2(-3) + 1}{5} + 2 = 1 \).
Rechte Seite der Gleichung für \( x = -3 \) : \( \quad - \dfrac{x}{3} = - \dfrac{-3}{3} = 1 \).
Linke Seite und rechte Seite sind beide gleich \( 1 \) für \( x = -3 \), daher ist \( x = - 3 \) eine Lösung der gegebenen Gleichung.


Fragen

  1. Löse die folgenden Gleichungen und überprüfe die gefundene Lösung.

    1. ) \( 2x + 2 = 6 \)
    2. ) \( 5y - 2 = 7y - 8 \)
    3. ) \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)
    4. ) \( 0.2 d + 4 = - 0.1 d - 2 \)
    5. ) \( -2(2x- 6) = -(x - 4) \)
    6. ) \( -(x+2)+4 = 2(x+3) + x \)
    7. ) \( \dfrac{x}{5} = - 6 \)
    8. ) \( - \dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)
    9. ) \( - \dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)
    10. ) \( - \dfrac{x-3}{7} = \dfrac{1}{2} (- 2x + 6) \)
    11. ) \( - \dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x-2) \)
Lösungen zu den obigen Fragen sind enthalten.

Weitere Referenzen und Links