Gleichung der Parabel
Definition und Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte \( M(x,y)\) in einer Ebene, für die der Abstand von \( M \) zu einem festen Punkt \( F \), genannt Brennpunkt, gleich dem Abstand von \( M \) zu einer festen Linie, genannt Leitlinie, ist, wie unten im Graphen dargestellt.
Betrachten wir eine Parabel mit einem Scheitelpunkt \( V(0,0) \) (dem tiefsten Punkt) im Ursprung (0,0), wie im Graphen gezeigt, und dem Brennpunkt \( F(0 , p) \) auf der Symmetrieachse (der y-Achse) mit \( p > 0 \).
Der Abstand zwischen den Punkten \(M(x,y) \) auf der Parabel und dem Brennpunkt \( F(0 , p)\) ist gegeben durch
\[ MF = \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} \]
Der Abstand vom Punkt \(M(x,y) \) zur Leitlinie mit der Gleichung \( y = - p \) ist gegeben durch
\[ MD = y + p \]
Gemäß der obigen Definition der Parabel sind diese beiden Abstände gleich; daher
\[ \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} = y + p\]
Quadrieren Sie beide Seiten und erweitern Sie die beiden Seiten der Gleichung
\[ x^2 + y^2 - 2 py + p^2 = y^2 + 2 py + p^2 \]
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen
\[ 4 py = x^2 \]
Schreiben Sie die Gleichung der Parabel als \( y \) in Abhängigkeit von \( x \).
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Beispiel 1
Punkt \( ( 4,2) \) liegt auf dem Graphen einer Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung \( (0,0) \) und vertikaler Achse. Finden Sie den Brennpunkt der Parabel, zeichnen Sie sie und beschriften Sie den Brennpunkt und zeichnen Sie die Leitlinie.
Lösung zu Beispiel 1
Die Gleichung einer Parabel mit vertikaler Achse, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt, ist gegeben durch
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Da \( ( 4,2) \) auf dem Graphen der Parabel liegt, erfüllen die Koordinaten \( x = 4 \) und \( y = 2 \) die Gleichung der Parabel. Daher
\( 2 = \dfrac{1}{4p} (4)^2 \)
Vereinfachen
\( 2 = \dfrac{16}{4p} \)
Lösen nach \( p \)
\( p = 2 \)
Der Brennpunkt liegt im Punkt \( F(0 , 2)\) und die Leitlinie ist durch die horizontale Linie \( y = - 2 \) gegeben, wie im untenstehenden Graphen dargestellt.
Wir können verallgemeinern und die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt \( V(h,k) \) wie folgt schreiben
\( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\)
mit Scheitelpunkt \( V(h,k) \) und Brennpunkt \( F(h,k+p) \) und Leitlinie gegeben durch die Gleichung \( y = k - p \)
Beispiel 2
Finden Sie den Scheitelpunkt, den Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel, die durch die Gleichung \(y = \dfrac{1}{16} x^2 - \dfrac{1}{4} x + \dfrac{9}{4}\) gegeben ist.
Lösung zu Beispiel 2
Schreiben Sie die gegebene Gleichung in der Standardform um, indem Sie die quadratische Ergänzung durchführen. Faktorisieren Sie \( 1/16 \) aus den Termen in \( x \) und \( x^2 \)
\(y = \dfrac{1}{16} (x^2 - 4 x) + \dfrac{9}{4}\) .
Vervollständigen Sie das Quadrat innerhalb der Klammern
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 2^2 ) + \dfrac{9}{4}\)
Schreiben Sie in der Standardform um
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 4 ) - \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}\)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen
\(y = \dfrac{1}{16} (x - 2)^2 + 2 \)
Vergleichen Sie die obige Gleichung mit der Standardform \( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\) und identifizieren Sie die Parameter \( p \), \( h \) und \( k \)
\( \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4p}\); lösen nach \( p \), um \( p = 4 \) zu erhalten
\( h = 2 \) und \( k = 2 \)
Scheitelpunkt bei \( V(h,k) = V(2,2)\), Brennpunkt bei \( F(h,k+p) = F(2,6)\) , Leitlinie gegeben durch \( y = k - p = - 2 \)
Gleichung einer Parabel mit horizontaler Achse
Die Gleichung einer Parabel mit einer horizontalen Achse wird geschrieben als
\( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\)
mit Scheitelpunkt \( V(h,k) \) und Brennpunkt \( F(h+p,k) \) und Leitlinie gegeben durch die Gleichung \( x = h - p \)
Beispiel 3
Finden Sie den Scheitelpunkt, den Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel, die durch die Gleichung \(x = \dfrac{1}{4} y^2 - y + 11\) gegeben ist.
Lösung zu Beispiel 3
Gruppieren Sie die Terme in \( y^2 \) und \(y \) und faktorisieren Sie \( 1/4 \) aus.
\(x = \dfrac{1}{4} (y^2 - 4 y) + 11\)
Verwenden Sie die Terme \( y^2 \) und \(y \) innerhalb der Klammern und führen Sie die quadratische Ergänzung durch
\(x = \dfrac{1}{4} ((y^2 - 2) - 2^2) + 11\)
Schreiben Sie in der Standardform um
\(y = \dfrac{1}{4} ((y-2)^2) + 10 \)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen
Vergleichen Sie die obige Gleichung mit der Gleichung in Standardform \( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\) und identifizieren Sie die Parameter \( p \), \( h \) und \( k \)
\( \dfrac{1}{4p} = \dfrac{1}{4} \) ergibt \( p = 1 \)
\( h = 10 \) und \( k = 2 \)
Scheitelpunkt bei \( V(h,k) = V(10,2)\), Brennpunkt bei \( F(h+p,k) = F(11,2)\) , Leitlinie gegeben durch \( x = h - p = 9 \)
Interaktives Tutorial zur Gleichung einer Parabel
Eine App zur Erkundung der Gleichung einer Parabel und ihrer Eigenschaften wird nun vorgestellt. Die verwendete Gleichung ist die Standardgleichung, die die Form hat
\( y = \dfrac{1}{4 p}(x - h)^2 + k \)
wobei h und k die x- und y-Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel sind und p eine reelle Zahl ungleich Null ist.
Die Erkundung erfolgt durch Ändern der Parameter \( p, h \) und \( k \), die in der obigen Gleichung enthalten sind, und Durchführen der unten beschriebenen Aktivitäten.
Die Standardwerte beim Öffnen dieser Seite sind: \( p = 1, h = 2 \) und \( k = 3 \)
Klicken Sie auf die Schaltfläche "Gleichung zeichnen", um zu beginnen.
Bewegen Sie den Mauszeiger über den Graphen oder den gezeichneten Punkt, um die Koordinaten abzulesen.
1 - Beginnen Sie mit den Standardwerten \( p = 1, h = 2 \) und \( k = 3 \) und der Schaltfläche "Gleichung zeichnen". Bewegen Sie den Mauszeiger über den Graphen, um die Koordinaten von Punkten auf dem Graphen, auf dem Brennpunkt F oder dem Scheitelpunkt V zu verfolgen und abzulesen.
a) Verwenden Sie die Werte von \( p = 1, h = 2 \) und \( k = 3 \) und berechnen Sie die Koordinaten des Brennpunkts \( F \), des Scheitelpunkts \( V \) und die Gleichung der Leitlinie und vergleichen Sie sie mit den grafischen Werten.
b) Wählen Sie einen Punkt \( M \) auf der Parabel und finden Sie den Abstand \( MF \) und vergleichen Sie ihn mit dem Abstand von \( M \) zur Leitlinie. (siehe Definition der Parabel oben). Sind sie gleich? (oder nah dran)
2 - Finden Sie auf Papier die Gleichung der Parabel für die Werte \( p = 4, h = 1 \) und \( k = - 4 \).
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Brennpunkts \( F \), des Scheitelpunkts \( V \) und die Gleichung der Leitlinie
b) Berechnen Sie die x- und y-Achsenabschnitte
c) Stellen Sie die Werte \( p = 4, h = 1 \) und \( k = - 4 \) in der obigen App ein und lesen und überprüfen Sie dann die Gleichung der Parabel, die Koordinaten des Brennpunkts \( F \) und des Scheitelpunkts \( V \) sowie die Gleichung der Leitlinie.
d) Überprüfen Sie die x- und y-Achsenabschnitte
3 - Übung:
a) Schreiben Sie auf Papier die Gleichung
\[ x^2 - 4 x - 4 y = 0 \]
in der Form \( y = \dfrac{1}{4 p} (x - h)^2 + k \) um (siehe Beispiel 2 oben)
b) Identifizieren und finden Sie die Werte von \( p \), \( h \) und \( k \).
c) Finden Sie die Koordinaten des Brennpunkts \( F \), des Scheitelpunkts \( V \), die x- und y-Achsenabschnitte und die Gleichung der Leitlinie
d) Verwenden Sie die obige App und überprüfen Sie die durch Berechnungen gefundenen Werte.
Weitere Referenzen und Links zu Themen rund um die Gleichung der Parabel
Tutorial zu Wie Parabolantennen funktionieren?
Tutorial zum Finden des Brennpunkts von Parabolantennen.
Interaktives Tutorial zum Finden der Gleichung einer Parabel.
Definieren und Konstruieren einer Parabel.
Drei-Punkte-Parabel-Rechner.
Ähnliche Tutorials zum Kreis ,
zur Ellipse
und zur Hyperbel finden Sie auf dieser Seite.