Polargleichungen grafisch darstellen

Dieses Tutorial erklärt, wie man Polargleichungen von Hand skizziert, um ein tiefes konzeptionelles Verständnis aufzubauen. Es werden mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen vorgestellt. Punkte in Polarkoordinaten werden als \( (R, t) \) geschrieben, wobei \( R \) der Polarabstand und \( t \) der Polarwinkel ist. Die Punkt-für-Punkt-Methode wird durchgängig verwendet.

Hilfreiche Referenzen: Punkte in Polarkoordinaten | Kostenloses Polar-Koordinatenpapier

Beispiele zum Darstellen von Polar Gleichungen

Beispiel 1

Stellen Sie die Polargleichung grafisch dar

\[ R = 4 \cos t \]

und identifizieren Sie den Graphen.

Lösung zu Beispiel 1

Wir erstellen zunächst eine Wertetabelle mit speziellen Winkeln. Es ist hilfreich, Werte von \( t \) zu finden, bei denen \( R \) maximal, minimal oder null ist.
- \( R \) ist maximal (\( R = 4 \)) bei \( t = 0 \)
- \( R \) ist minimal (\( R = -4 \)) bei \( t = \pi \)
- \( R = 0 \) bei \( t = \frac{\pi}{2} \)

\( t \)	\( R \)
\( 0 \)	\( 4 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 3.5 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 2.8 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( 2 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( 0 \)
\( \frac{2\pi}{3} \)	\( -2 \)
\( \frac{3\pi}{4} \)	\( -2.8 \)
\( \frac{5\pi}{6} \)	\( -3.5 \)
\( \pi \)	\( -4 \)

Wir hören bei \( t = \pi \) auf, da sich die Werte danach wiederholen.
Die Punkte werden in ein Polarkoordinatensystem eingezeichnet. Besondere Aufmerksamkeit muss auf Punkte mit negativen Werten von \( R \) gelegt werden.

Polarkoordinatensystem mit eingezeichneten Punkten

Schließlich werden die Punkte mit einer glatten Kurve verbunden.

Graph der Polargleichung R = 4 cos t

Beispiel 2

Stellen Sie die Polargleichung grafisch dar

\[ R = 2 + 2 \sin t \]

und identifizieren Sie den Graphen.

Lösung zu Beispiel 2

Wir erstellen eine Wertetabelle mit speziellen Winkeln.
- \( R \) ist maximal (\( R = 4 \)) bei \( t = \frac{\pi}{2} \)
- \( R = 0 \) bei \( t = \frac{3\pi}{2} \)

\( t \)	\( R \)
\( 0 \)	\( 2 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 3.0 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 3.4 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( 3.7 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( 4 \)
\( \frac{2\pi}{3} \)	\( 3.7 \)
\( \frac{3\pi}{4} \)	\( 3.4 \)
\( \frac{5\pi}{6} \)	\( 3 \)
\( \pi \)	\( 2 \)
\( \frac{7\pi}{6} \)	\( 1 \)
\( \frac{5\pi}{4} \)	\( 0.6 \)
\( \frac{4\pi}{3} \)	\( 0.3 \)
\( \frac{3\pi}{2} \)	\( 0 \)

Graph der Polargleichung R = 2 + 2 sin t

Beispiel 3

Stellen Sie die Polargleichung grafisch dar

\[ R = 4 \cos(2t) \]

und identifizieren Sie den Graphen.

Lösung zu Beispiel 3

Maximale Werte \( R = 4 \) treten bei \( t = 0 \) und \( t = \pi \) auf.
Minimale Werte \( R = -4 \) treten bei \( t = \frac{\pi}{2} \) und \( t = \frac{3\pi}{2} \) auf.

\( t \)	\( R \)
\( 0 \)	\( 4 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 2 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 0 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( -2 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( -4 \)
\( \frac{2\pi}{3} \)	\( -2 \)
\( \frac{3\pi}{4} \)	\( 0 \)
\( \frac{5\pi}{6} \)	\( 2 \)
\( \pi \)	\( 4 \)

Graph der Polargleichung R = 4 cos(2t)

Weitere Referenzen zu Polarkoordinaten

Polarkoordinaten – Zusätzliche Ressourcen