Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten umrechnen
Kartesische Koordinaten \( (x, y) \) und Polarkoordinaten \( (R, t) \) sind durch die folgenden Formeln miteinander verbunden.
\[
x = R \cos t \qquad \text{und} \qquad y = R \sin t
\]
\[
R^2 = x^2 + y^2 \qquad \text{und} \qquad \tan t = \frac{y}{x}
\]
Diese Formeln ermöglichen es uns, Punkte von einem Koordinatensystem in das andere umzurechnen.
Um den Polarwinkel \( t \) zu bestimmen, müssen Sie die Vorzeichen von \( x \) und \( y \) berücksichtigen, die den korrekten Quadranten bestimmen.
Der Winkel \( t \) wird normalerweise im Intervall
\[
[0, 2\pi) \quad \text{oder} \quad [0^\circ, 360^\circ)
\]
angegeben.
Beispiele zur Umrechnung von Polar- und kartesischen Koordinaten
Beispiel 1
Konvertieren Sie die Polarkoordinaten \( (5, 2.01) \) und \( (0.2, 53^\circ) \) in kartesische Koordinaten und runden Sie auf drei Dezimalstellen.
Lösung zu Beispiel 1
-
Erster Punkt: \( (5, 2.01) \)
Hier ist \( R = 5 \) und \( t = 2.01 \) Radiant. Stellen Sie den Taschenrechner auf Radiant ein.
\[
x = R \cos t = 5 \cos(2.01) = -2.126
\]
\[
y = R \sin t = 5 \sin(2.01) = 4.525
\]
-
Zweiter Punkt: \( (0.2, 53^\circ) \)
Hier ist \( R = 0.2 \) und \( t = 53^\circ \). Stellen Sie den Taschenrechner auf Grad ein.
\[
x = R \cos t = 0.2 \cos(53^\circ) = 0.120
\]
\[
y = R \sin t = 0.2 \sin(53^\circ) = 0.160
\]
Beispiel 2
Konvertieren Sie die kartesischen Koordinaten \( (1, 1) \) und \( (-2, -4) \) in Polarkoordinaten und runden Sie auf drei Dezimalstellen.
Geben Sie den Polarwinkel \( t \) sowohl in Radiant als auch in Grad an.
Lösung zu Beispiel 2
-
Für den Punkt \( (1, 1) \) berechnen Sie \( R \):
\[
R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
-
Berechnen Sie \( \tan t \):
\[
\tan t = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1
\]
-
Mit dem Arkustangens:
\[
t = \frac{\pi}{4} \quad \text{oder} \quad 45^\circ
\]
-
Die Polarform von \( (1, 1) \) ist:
\[
(\sqrt{2}, \tfrac{\pi}{4}) \quad \text{oder} \quad (\sqrt{2}, 45^\circ)
\]
-
Für den Punkt \( (-2, -4) \) berechnen Sie \( R \):
\[
R = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
-
Berechnen Sie \( \tan t \):
\[
\tan t = \frac{-4}{-2} = 2
\]
-
Mit dem Arkustangens:
\[
t = 1.107 \text{ Radiant} \quad \text{oder} \quad 63.435^\circ
\]
-
Da sowohl \( x \) als auch \( y \) negativ sind, liegt der Punkt im Quadranten III.
Addieren Sie \( \pi \) (oder \( 180^\circ \)), um den korrekten Winkel zu erhalten:
\[
t = 4.249 \text{ Radiant} \quad \text{oder} \quad 243.435^\circ
\]
-
Die Polarform von \( (-2, -4) \) ist:
\[
(2\sqrt{5}, 4.249) \quad \text{oder} \quad (2\sqrt{5}, 243.435^\circ)
\]
Weitere Referenzen zu Polarkoordinaten
Rechner: Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen
Polarkoordinaten – Geometrie-Übersicht
Trigonometrie-Tutorials und Übungsaufgaben