In Polarkoordinaten geschriebene Gleichungen können mithilfe der Beziehungen zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten in die rechteckige (kartesische) Form umgewandelt werden. Im Folgenden werden die Polarkoordinaten eines Punktes mit \( (R, t) \) bezeichnet, wobei \( R \) der radiale Abstand und \( t \) die Winkelkoordinate ist.
Die Beziehungen zwischen den kartesischen Koordinaten \( (x, y) \) und den Polarkoordinaten \( (R, t) \) sind:
\[ R^2 = x^2 + y^2, \qquad x = R \cos t, \qquad y = R \sin t \]Wandeln Sie die Polargleichung
\[ R = 4 \sin t \]in die rechteckige Form um.
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \( R \):
\[ R^2 = 4R \sin t \]Mit den Identitäten \( R^2 = x^2 + y^2 \) und \( y = R \sin t \) schreiben wir die Gleichung um als:
\[ x^2 + y^2 = 4y \]Umstellen:
\[ x^2 + y^2 - 4y = 0 \]Dies ist die Gleichung eines Kreises.
Wandeln Sie die Polargleichung
\[ R(-2 \sin t + 3 \cos t) = 2 \]in die rechteckige Form um.
Zuerst wird die linke Seite ausmultipliziert:
\[ -2R \sin t + 3R \cos t = 2 \]Mit den Substitutionen \( y = R \sin t \) und \( x = R \cos t \) wird die Gleichung zu:
\[ -2y + 3x = 2 \]Dies ist die Gleichung einer Geraden.
Wandeln Sie die Polargleichung
\[ t + \frac{\pi}{4} = 0 \]in die rechteckige Form um.
Lösen Sie die Gleichung nach \( t \) auf:
\[ t = -\frac{\pi}{4} \]Bilden Sie den Tangens auf beiden Seiten:
\[ \tan t = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \]Mit der Identität \( \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t} \) und den Beziehungen \( x = R \cos t \), \( y = R \sin t \) erhalten wir:
\[ \tan t = \frac{y}{x} \]Daher:
\[ \frac{y}{x} = -1 \]oder gleichwertig:
\[ y = -x \]Dies ist die Gleichung einer Geraden.