Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten

Die Additionsregel von Wahrscheinlichkeiten wird verwendet, um Wahrscheinlichkeitsfragen und -probleme zu lösen. Es werden mehrere Beispiele mit ihren detaillierten Lösungen vorgestellt.
Der zum Verständnis der Beispiele erforderliche Mindesthintergrund ist das Konzept des Probenraums eines Experiments und der Ereignis von Interesse. Auch die Durchsicht grundlegender Wahrscheinlichkeitsfragen könnte hilfreich sein.
Im Folgenden ist n(S) die Anzahl der Elemente im Probenraum S und n(E) die Anzahl der Elemente im Ereignis E.

Erläuterungen zur Additionsregel

Die Additionsregel lässt sich am besten erklären, indem man das folgende Beispiel mit zwei verschiedenen Methoden löst.

Beispiel 1
Ein fairer Würfel wird einmal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl oder eine Zahl kleiner oder gleich \( 3 \) zu erhalten.

Lösung zu Beispiel 1
Es werden zwei Methoden vorgeschlagen.

Methode 1: Verwenden Sie den Beispielraum
Der Probenraum S, der die Menge aller möglichen Ergebnisse des Experiments zum Würfeln ist, ist gegeben durch
\( \quad \quad \quad S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
Die Anzahl der Elemente \( n(S) \) in der Menge \( S \) ist gegeben durch \( n(S) = 6 \)
Sei E das Ereignis „Erhalten einer ungeraden Zahl oder einer Zahl kleiner oder gleich \( 3 \)“. Überprüfen Sie jedes Element des Stichprobenraums\( S \), um zu sehen, ob es ungerade oder kleiner oder gleich \( 3 \) ist, um am Ende alle Ergebnisse zu erhalten, die zu der durch gegebenen Menge E gehören
\( \quad \quad \quad E = \{1,2,3,5\} \)
Die Anzahl der Elemente \( n(E) \) in der Menge \( E \) ist gegeben durch
\( \quad \quad \quad n(E) = 4 \)
Sei \( P(E) \) die Wahrscheinlichkeit, dass das oben definierte Ereignis E eintritt. Wir verwenden jetzt die Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit um \( P(E) \) zu finden als:
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)


Methode 2: Additionsformel verwenden
E ist das Ereignis „Erhalten einer ungeraden Zahl oder einer Zahl kleiner oder gleich \( 3 \)“ und tatsächlich die Vereinigung zweier Ereignisse: Ereignis \( A \), das „Erhalten einer ungeraden Zahl“ entspricht, und Ereignis \( B \) entsprechend „Erhalten einer Zahl kleiner oder gleich \( 3 \)“.
\( \quad \quad \quad A = \{1,3,5\} \)
\( \quad \quad \quad B = \{1,2,3\} \)
so dass
\( \quad \quad \quad E = A \cup B = \{1,3,5\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,5\} \)
Die Venn-Diagramme unten zeigen die Menge \( A \) und die Menge \( B \) und ihre Vereinigung \( A \cup B \). Beachten Sie auch, dass der Schnittpunkt von \( A \) und \( B \) zwei Elemente hat: \( A \cap B = \{1,3\} \)



Seien \( n(E), n(A) \), \( n(B) \) und \( n(A \cap B) \) die Anzahlen der Elemente in den Mengen \( E \), \( A \), \( B \) bzw. \( (A \cap B) \).
Das wissen wir von oben \( \quad \quad \quad n(E) = 4 \) , \( n(A) = 3 \) , \( n(B) = 3 \) und \( n(A \cap B) = 2 \)
Wir können schreiben: \( n(E) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 3 + 3 - 2 = 4 \)
Der Grund, warum wir \( n(A \cap B) \) im obigen Ausdruck von \(n(E) \) subtrahiert haben, liegt darin, dass \( n(A \cap B) \) zweimal gezählt wird: einmal in \( n(A) \) und einmal in \( n(B) \)
Die Wahrscheinlichkeit \( P(E) \) des Ereignisses \( E = A \cup B \) ist gegeben durch
\( \quad \quad \quad P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{n(A)+ n(B) - n(A \cap B) }{ n(S)} = \dfrac{n(A)}{ n(S)} + \dfrac{n(B)}{n(S)} - \dfrac{n(A \cap B)}{n( S)} = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Daher ist die allgemeine Regel der Addition von Wahrscheinlichkeiten gegeben durch
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] oder \[ P(A \; \text{or} \; B) = P(A) + P(B) - P(A \; \text{and} \; B) \]
Dabei ist \( p(A) \) die Wahrscheinlichkeit, dass \( A \) eintritt, \( P(B) \) die Wahrscheinlichkeit, dass \( B \) eintritt, und \( P(A \cap B) \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl \( A \) als auch \( B \) gleichzeitig auftreten.
\( \quad \quad \quad p(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{n(B)}{n(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3 } \)
Verwenden Sie die obige Additionsregel
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3\)
Notiz: Wenn die Ereignisse \( A \) und \( B \) sich gegenseitig ausschließend, was bedeutet, dass sie nicht gleichzeitig auftreten können, der Schnittpunkt \( A \cap B = \phi \), leere Menge, und daher \( P(A \cap B) = 0 \), was die Additionsregel zu vereinfacht
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] oder \[ P(A \; \text{or} \; B) = P(A) + P(B) \]

Beispiele zur Verwendung der Additionsregel

Beispiel 2
Ein fairer Würfel wird einmal geworfen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, ein „\( 1 \)“ oder ein „\( 5 \)“ zu erhalten.

Lösung zu Beispiel 2
Angenommen, Ereignis \( A \): erhält ein „\( 1 \)“ und Ereignis \( B \): erhält ein „\( 5 \)“. Wir werden dann gebeten, \( P(A \cup B) \) zu finden, das durch gegeben ist
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Diese beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, da Sie nicht gleichzeitig „\( 1 \)“ und „\( 5 \)“ erhalten können. Somit
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
Und
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln ein \( 1 \) (Ereignis A) zu erhalten, beträgt
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {1}{6} \)
Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln ein \( 5 \) (Ereignis B) zu erhalten, beträgt
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {1}{6} \)
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{ 3} \)

Beispiel 3
Eine Schachtel enthält 3 rote Kugeln, 2 grüne Kugeln und 5 blaue Kugeln. Aus der Schachtel wird zufällig eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball entweder grün oder blau ist.

Lösung zu Beispiel 3
Sei Ereignis \( A \): Der Ball ist grün und Ereignis \( B \): Der Ball ist blau. Wir werden dann gebeten, \( P(A \cup B) \) zu finden, das durch " gegeben ist.
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Die Wahrscheinlichkeit, ein Grün zu erhalten (Ereignis A), wird wie folgt berechnet
Es gibt insgesamt 10 Bälle und 2 sind grün; somit
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac {2}{10} = 1/5 \)
Die Wahrscheinlichkeit, ein Blau zu bekommen (Ereignis B), wird wie folgt berechnet
Es gibt insgesamt 10 Bälle und 5 sind blau; somit
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac {5}{10} = 1/2 \)
Diese beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus: Wir können nicht gleichzeitig einen grünen und einen blauen Ball bekommen. Somit
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
Und
\( \quad \quad \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/5 + 1/2 = 7/10 \)

Beispiel 4
In einer Schule mit 100 Schülern spielen 50 Fußball, 20 Basketball und 10 sowohl Fußball als auch Basketball. Wenn ein Schüler zufällig ausgewählt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er/sie mindestens eine der beiden Sportarten ausübt?

Lösung zu Beispiel 4
Sei Ereignis \( A \): Der Schüler spielt Fußball. Sei Ereignis \( B \): Der Schüler spielt Basketball
Wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Schüler Fußball, Basketball oder beides spielt
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Wenn 50 von 100 Schülern Fußball spielen, dann
\( \quad \quad \quad P(A) = \dfrac{50}{100} = 1/2 \)
Wenn \( 20 \) von \( 100 \) Basketball spielen, dann
\( \quad \quad \quad P(B) = \dfrac{20}{100} = 1/5 \)
Wenn 10 beide spielen, dann
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = \dfrac{10}{100} = 1/10 \)
und die Wahrscheinlichkeit, die wir berechnen, ist gegeben durch
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 3/5 \)

Beispiel 5
Aus einem Stapel wird eine einzelne Karte gezogen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, Folgendes auszuwählen.
a) eine „2“ oder eine „5“
b) Eine „8“ oder ein „Herz“
c) Eine „Königin“ oder eine „Rote Karte“

Lösung zu Beispiel 5

a)
Lassen Sie Ereignis \( A \): Auswahl einer „2“ und Ereignis \( B \): Auswahl einer „5“.
In einem Kartenspiel mit 52 Karten gibt es 4 „2“ und 4 „5“.
Die Ereignisse \( A \) und \( B \) schließen sich gegenseitig aus. Sie können nicht gleichzeitig eine „2“ und eine „5“ erhalten, wenn Sie eine Karte ziehen. Somit
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 0 \)
\( \quad \quad \quad P(A) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P(B) = 4/52 = 1/3 \)
\( \quad \quad \quad P( A \cup B) = P(A) + P(B) = 1/13 + 1/13 = 2/13 \)
b)
Lassen Sie Ereignis \( C \): Auswahl einer „8“ und Ereignis \( D \): Auswahl eines „Herzens“.
In einem Kartenspiel mit 52 Karten gibt es 4 „8“; somit
\( \quad \quad \quad P(C) = 4/52 = 1/13 \)
und 13 „Herzen“; somit
\( \quad \quad \quad P(D) = 13/52 = 1/4 \)
Die Ereignisse \( C \) und \( D \) schließen sich NICHT gegenseitig aus; Sie können gleichzeitig eine „8“ und ein „Herz“ erhalten, wenn Sie eine „8“ aus „Herzen“ ziehen. Somit
\( \quad \quad \quad P(C \cap D) = 1/52 \)
\( \quad \quad \quad P( C \cup D) = P(C) + P(D) - P( C \cup D) = 1/13 + 1/4 - 1/52 = 4/13 \)
c)
Sei Ereignis \( E \): Auswahl einer „Königin“ und Ereignis \( F \): Auswahl einer „roten Karte“.
In einem Kartenspiel mit 52 Karten gibt es 4 „Königinnen“; somit
\( \quad \quad \quad P(E) = 4/52 = 1/13 \)
und 26 „Rote Karten“; somit
\( \quad \quad \quad P(F) = 26/52 = 1/2 \)
Die Ereignisse \( C \) und \( D \) schließen sich NICHT gegenseitig aus; Sie können eine „Königin“ aus „Herzen“ bekommen, was eine „rote Karte“ ist, und Sie können auch eine „Königin“ aus „Diamanten“ bekommen, was eine „rote Karte“ ist. Somit
\( \quad \quad \quad P(E \cap F) = 2/52 = 1/26 \)
\( \quad \quad \quad P( E \cup F) = P(E) + P(F) - P( E \cup F) = 1/13 + 1/2 - 2/52 = 7/13 \)

Beispiel 6
Ein Autohändler lässt die in der folgenden Tabelle aufgeführten Autos nach Typ und Farbe klassifizieren. Wenn ein Auto zufällig ausgewählt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies der Fall ist?
a) ein schwarzes oder ein weißes Auto?
b) blaues Auto oder Coupé?
c) ein schwarzes Auto oder ein SUV?

Beispiel 7
Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Stunden, die Schüler jede Woche für ihre Hausaufgaben aufwenden.

Beispiel 8
Die Kunden einer Versicherungsgesellschaft haben mindestens eine von zwei Versicherungen: Hausrat, Auto oder beides. 80 % der Kunden haben eine Hausratversicherung und 60 % eine Autoversicherung. Wenn wir eine Person zufällig auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person beide Versicherungen beim Unternehmen hat?

Lösung zu Beispiel 8
Sei Ereignis \( A \): eine Hausratversicherung haben und Ereignis \( B \): eine Autoversicherung haben.
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
Wir müssen \( P(A \cap B) \) finden
100 % der Kunden verfügen über eine oder beide Versicherungen; somit
\( \quad \quad \quad P( A \cup B ) = 100\% \)
80 % der Kunden verfügen daher über eine Hausratversicherung
\( \quad \quad \quad P(A) = 80\% \)
60 % der Kunden haben daher eine Autoversicherung
\( \quad \quad \quad P(B) = 60\% \)
\( \quad \quad \quad 100\% = 80\% + 60\% - P(A \cap B) \)
\( \quad \quad \quad P(A \cap B) = 140\% - 100\% = 40\% = 0,4 \)

Weitere Referenzen und Links