Beispiele und Fragen zu Binomialwahrscheinlichkeiten
\( \)\( \)\( \)\( \)
In einem Binomialexperiment haben Sie eine Anzahl \( n \) unabhängiger Versuche und jeder Versuch hat zwei mögliche Ergebnisse oder mehrere Ergebnisse, die auf zwei Ergebnisse reduziert werden können.
Die Eigenschaften eines Binomialexperimentes sind:
1) Die Anzahl der Versuche \( n \) ist konstant.
2) Jeder Versuch hat nur zwei Ergebnisse (oder kann auf zwei Ergebnisse reduziert werden): "Erfolg" oder "Misserfolg", "wahr" oder "falsch", "Kopf" oder "Schwanz", ...
3) Die Wahrscheinlichkeit \( p \) eines Erfolgs in jedem Versuch muss konstant sein.
4) Die Ergebnisse der Versuche müssen unabhängig voneinander sein.
Beispiele für Binomialexperimente
1) Wirf eine Münze \( n = 10 \) Mal und erhalte \( k = 6 \) Kopf (Erfolg) und \( n - k \) Zahl (Misserfolg).
2) Wirf einen Würfel \( n = 5\) Mal und erhalte \( 3 \) „6“ (Erfolg) und \( n - k \) „keine 6“ (Misserfolg).
3) Aus \( n = 10 \) Werkzeugen, wobei jedes Werkzeug eine Wahrscheinlichkeit \( p \) hat, „in gutem Arbeitszustand“ (Erfolg) zu sein, wählen Sie 6 zufällig aus und erhalten Sie 4 „in gutem Arbeitszustand“ und 2 „nicht funktionsfähig“ (Fehler).
4) Ein neu entwickeltes Medikament hat die Wahrscheinlichkeit \( p \), wirksam zu sein.
Wählen Sie \( n \) Personen aus, die das Medikament eingenommen haben, und erhalten Sie \( k \) „erfolgreiche Behandlung“ (Erfolg) und \( n – k \) „nicht erfolgreiche Behandlung“ (Misserfolg).
Erklärungen zur Binomialformel
Die Formel für die Binomialverteilung lässt sich am besten erklären, indem man das folgende Beispiel löst.
Example 1
Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für 2 Kopf und 1 Zahl.
Lösung zu Beispiel 1
Wenn wir eine Münze werfen, können wir entweder Kopf \( H \) oder Zahl \( T \) erhalten.
Wir verwenden das Baumdiagramm einschließlich der drei Würfe, um den Probenraum \( S \) von zu bestimmen das Experiment, das gegeben ist durch:
\( S = \{ (H H H) , \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , (H T T) , \color{red}{(T H H)} , (T H T) , (T T H) , (T T T) \} \)
Das Ereignis \( E \), dass bei 3 Würfen 2 Köpfe erzielt werden, ist durch die Menge gegeben
\( E = \{ \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , \color{red}{(T H H)} \} \)
Bei einem Versuch (oder einem Wurf) beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu bekommen
\( P(H) = p = 1/2 \)
und die Wahrscheinlichkeit, einen Schwanz zu bekommen, ist
\( P(T) = 1 - p = 1/2 \)
Die Ergebnisse jedes Wurfs sind unabhängig, daher ist die Wahrscheinlichkeit \( P (H H T) \) durch das Produkt gegeben:
\( P (H H T) = P(H) \cdot P(H) \cdot P(T) \\
= p \cdot p \cdot (1-p) \\
= p^2 (1-p)\)
Auf ähnliche Weise erhalten wir
\( P (H T H) = p \cdot (1-p) \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P (T H H) = (1-p) \cdot p \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P( E ) = P ( \; (H H T) \; oder \; (H T H) \; oder \; (T H H) \;) \)
Verwenden Sie die Summenregel mit dem Wissen, dass sich \( (H H T) , (H T H) \) und \( (T H H) \) gegenseitig ausschließen
\( P( E ) = P( (H H T) + P(H T H) + P(T H H) ) \)
Ersatz
\(P( E ) = p^2 (1-p) + p^2 (1-p) + p^2 (1-p) = 3 p^2 (1-p) \)
Alle Elemente in der Menge \( E \) sind mit der Wahrscheinlichkeit \( p^2 (1-p) \) gleich wahrscheinlich und der Faktor \( 3 \) ergibt sich aus der Anzahl der Wege 2 Köpfe \( (H) \) innerhalb von 3 Versuchen liegen und dies ergibt sich aus der Formel für Kombinationen, die wie folgt geschrieben sind:
\( \displaystyle {3\choose 2} =3 \)
\( P(E) \) kann geschrieben werden als
\( \displaystyle {P(E) = {3\choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3\choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3\choose 2} p^2 (1-p)^{3-2}} \)
Daher ist die allgemeine Formel für Binomialwahrscheinlichkeiten gegeben durch
\[ P(k \; \text{Erfolge in n Versuchen}) = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \]
Dabei ist \( n \) die Anzahl der Versuche, \( k \) die Anzahl der Erfolge und \( p \) die Erfolgswahrscheinlichkeit.
\( \displaystyle {n\choose k} \) ist die Kombination von \( n \) zu diesem Zeitpunkt entnommenen Elementen \( k \) und wird durch Fakultäten wie folgt angegeben:
\[ {n\choose k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]
\( n! = 1 \times 2 \times 3 \times ..... \times (n - 1) \times n \) wird als \(n \) Fakultät gelesen.
Mittelwert und Standardabweichung einer Binomialverteilung
Mittelwert: \( \mu = n \cdot p \) , Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{ n \cdot p \cdot (1-p)} \)
Beispiele zur Verwendung der Binomialformel
Weitere Beispiele und Fragen zur Verwendung der Binomialformel zur Lösung von Wahrscheinlichkeitsfragen und zur Lösung von Problemen.
Beispiel 2
Eine faire Münze wird fünfmal geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Köpfe erhalten werden?
Lösung zu Beispiel 2
Die Münze wird fünfmal geworfen, daher beträgt die Anzahl der Versuche \( n = 5\).
Da es sich bei der Münze um eine faire Münze handelt, hat das Ergebnis „Kopf“ bei einem Wurf eine Wahrscheinlichkeit (p = 0,5) und das Ergebnis „Zahl“ bei einem Wurf hat eine Wahrscheinlichkeit (1 – p = 0,5).
Die Wahrscheinlichkeit, in 5 Versuchen 3 Köpfe zu haben, ergibt sich aus der Formel für Binomialwahrscheinlichkeiten oben mit \( n = 5 \), \( k = 3 \) und \( p = 0,5\)
Beispiel 3
Ein fairer Würfel wird 7 Mal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Mal „\( 6 \) Punkte“ zu erhalten.
Lösung zu Beispiel 3
Dies ist ein Beispiel, bei dem die Ergebnisse zwar mehr als 2 sind, uns aber nur 2 interessieren: „6“ oder „keine 6“.
Der Würfel wird 7 Mal geworfen, daher beträgt die Anzahl der Versuche \( n = 7\).
In einem einzelnen Versuch hat das Ergebnis einer „6“ die Wahrscheinlichkeit \( p = 1/6 \) und das Ergebnis einer „Nr. 6“ hat eine Wahrscheinlichkeit \( 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 \)
Die Wahrscheinlichkeit, in 7 Versuchen 5 „6“ zu haben, ergibt sich aus der Formel für Binomialwahrscheinlichkeiten oben mit \( n = 7 \), \( k = 5 \) und \( p = 1/6\)
Beispiel 4
Eine Fabrik produziert Werkzeuge, von denen 98 % in gutem Zustand sind. Es werden Stichproben von 1000 Werkzeugen ausgewählt und getestet.
a) Finden Sie den Mittelwert und interpretieren Sie ihn praktisch.
b) Ermitteln Sie die Standardabweichung der Anzahl der in diesen Stichproben funktionstüchtigen Werkzeuge.
Lösung zu Beispiel 4
Wenn ein Werkzeug ausgewählt wird, ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 entweder funktionsfähig oder mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - 0,98 = 0,02 nicht funktionsfähig.
Bei der zufälligen Auswahl einer Stichprobe von 1000 Werkzeugen kann 1000 als die Anzahl der Versuche in einem Binomialexperiment betrachtet werden, und daher haben wir es mit einem Binomialwahrscheinlichkeitsproblem zu tun.
a) Mittelwert: \( \mu = n p = 1000 \times 0,98 = 980 \)
Bei einer Stichprobe von 1000 Werkzeugen würden wir davon ausgehen, dass 980 Werkzeuge in einwandfreiem Zustand sind.
b) Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{ n \times p \times (1-p)} = \sqrt{ 1000 \times 0,98 \times (1-0,98)} = 4,43\)
Beispiel 5
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Köpfe auftauchen, wenn eine faire Münze 7 Mal geworfen wird.
Lösung zu Beispiel 5
Die Anzahl der Versuche beträgt \( n = 7\).
Da es sich bei der Münze um eine faire Münze handelt, hat das Ergebnis „Kopf“ bei einem Wurf eine Wahrscheinlichkeit \( p = 0,5 \).
Erhalten von mindestens 5 Köpfen; ist gleichbedeutend mit dem Zeigen von: 5, 6 oder 7 Köpfen und daher ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 5 Köpfe zu zeigen, gegeben durch
\( P( \text{mindestens 5}) = P(\text{5 oder 6 oder 7}) \)
Verwendung der Additionsregel mit Ergebnissen gegenseitig ausschließend, das haben wir
\( P( \text{mindestens 5 Köpfe}) = P(5) + P(6) + P(7) \)
wobei \( P(5) \) , \( P(6) \) und \( P(7) \) durch die Formel für Binomialwahrscheinlichkeiten mit derselben Anzahl von Versuchen \( n \), derselben Wahrscheinlichkeit \( p \), aber unterschiedliche Werte von \( k \).
\( \displaystyle P( \text{mindestens 5 Köpfe} ) = {7\choose 5} (0,5)^5 (1-0,5)^{7-5} + {7\choose 6} (0,5)^6 (1-0,5)^{7-6} + {7\choose 7} (0,5)^7 (1-0,5)^{7-7} \\ = 0,16406 + 0,05469 + 0,00781 = 0,22656 \)
Beispiel 6
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 20 Fragen. Jede Frage hat vier mögliche Antworten mit einer richtigen Antwort pro Frage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler durch zufälliges Raten zehn oder mehr Fragen richtig beantwortet (um zu bestehen)?
HINWEIS: Diese Frage ist Frage 5 oben sehr ähnlich, aber hier verwenden wir Binomialwahrscheinlichkeiten in einer realen Situation, mit der die meisten Schüler vertraut sind.
Lösung zu Beispiel 6
Für jede Frage gibt es 4 mögliche Antworten, von denen nur eine richtig ist. Wenn eine Frage durch zufälliges Erraten beantwortet wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, sie richtig zu beantworten, \( p = 1/4 = 0,25 \).
Wenn eine Antwort zufällig ausgewählt wird, wird sie entweder mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,25 richtig oder mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 1 - p = 0,75 \) richtig beantwortet.
Dies kann als binomiales Wahrscheinlichkeitsexperiment klassifiziert werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler 10 oder mehr Fragen (von 20) durch zufälliges Raten richtig beantwortet, beträgt:
\( P(\text{mindestens 10 Fragen richtig beantworten}) = P(\text{10 oder 11 oder 12 oder 13 oder 14 oder 15 oder 16 oder 17 oder 18 oder 19 oder 20}) \)
Mit der Additionsregel schreiben wir
\( P(\text{mindestens 10 Fragen richtig beantworten}) = P(10) + P(11) + .... + P(20) \)
\( = 0,00992 + 0,00301 + 0,00075 + 0,00015 + 0,00003 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,01386 \)
Hinweis
1) Die letzten fünf Wahrscheinlichkeiten sind nicht genau gleich 0, aber im Vergleich zu den ersten 5 Werten vernachlässigbar.
2) Nach dem Wahrscheinlichkeitskonzept funktioniert das Bestehen eines Tests durch zufälliges Erraten von Antworten nicht.
Beispiel 7
Eine Schachtel enthält 3 rote Kugeln, 4 weiße Kugeln und 3 schwarze Kugeln. 6 Mal wird ein Ball zufällig ausgewählt, die Farbe notiert und dann in die Schachtel zurückgelegt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die rote Farbe mindestens zweimal vorkommt?
Lösung zu Beispiel 7
Das Ereignis „die rote Farbe zeigt sich mindestens zweimal“ ist die Ergänzung des Ereignisses „die rote Farbe zeigt sich einmal oder nicht“; Daher schreiben wir unter Verwendung der Komplement-Wahrscheinlichkeitsformel
P("die rote Farbe erscheint mindestens zweimal") = 1 - P("die rote Farbe erscheint höchstens 1") = 1 - P("die rote Farbe erscheint einmal" oder "die rote Farbe erscheint nicht")
Verwendung der Additionsregel
P("die rote Farbe erscheint mindestens zweimal") = 1 - P("die rote Farbe erscheint einmal") + P("die rote Farbe erscheint nicht")
Obwohl es mehr als zwei Ergebnisse gibt (drei verschiedene Farben), interessiert uns nur die rote Farbe.
Die Gesamtzahl der Bälle beträgt 10 und es gibt 3 rote. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu erhalten, jedes Mal, wenn ein Ball ausgewählt wird, \( p = 3/10 = 0,3\) und daher können wir die Formel für Binomialwahrscheinlichkeiten verwenden finden
P("die rote Farbe wird einmal angezeigt") = \( \displaystyle{6\choose 1} \cdot 0.3^1 \cdot (1-0.3)^{6-1} = 0.30253 \)
P("die rote Farbe wird nicht angezeigt") = \( \displaystyle{6\choose 0} \cdot 0.3^0 \cdot (1-0.3)^{6-0} = 0.11765 \)
P("die rote Farbe erscheint mindestens zweimal") = 1 - 0,11765 - 0,30253 = 0,57982
Beispiel 8
80 % der Menschen in einer Stadt haben eine Hausratversicherung bei der Firma „MyInsurance“.
a) Wenn 10 Personen aus dieser Stadt zufällig ausgewählt werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 von ihnen eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“ haben?
b) Wenn 500 Personen zufällig ausgewählt werden, wie viele davon werden voraussichtlich eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“ haben?
Lösung zu Beispiel 8
A)
Wenn wir davon ausgehen, dass wir diese Personen nach dem Zufallsprinzip auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine ausgewählte Person eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“ hat, 0,8.
Dies ist ein Binomialexperiment mit \( n = 10 \) und p = 0,8.
„mindestens 8 von ihnen haben eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“ bedeutet 8 oder 9 oder 10 haben eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 von 10 über eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“ verfügen, beträgt:
\( P( \text{mindestens 8}) = P( \text{8 oder 9 oder 10}) \)
Verwenden Sie die Additionsregel
\( = P(8)+ P(9) + P(10) \)
Verwenden Sie eine binomiale Wahrscheinlichkeitsformel und geben Sie als „Erfolg“ an, dass Sie eine Hausratversicherung mit „MyInsurance“ haben.
\( = P(8 \; \text{Erfolge in 10 Versuchen}) + P(9 \; \text{Erfolge in 10 Versuchen}) + P(10 \; \text{Erfolge in 10 Versuchen}) \)
\( = 0,30199 + 0,26843 + 0,10737 = 0,67779 \)
B)
Es handelt sich um ein Binomialverteilungsproblem mit einer Anzahl von Versuchen von \( n = 500 \).
Die Anzahl der Personen von den 500 Personen, die voraussichtlich über eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“ verfügen, ergibt sich aus dem Mittelwert der Binomialverteilung mit \( n = 500 \) und \( p = 0,8 \).
\( \mu = n p = 500 \cdot 0,8 = 400 \)
Es wird erwartet, dass 400 der 500 zufällig ausgewählten Personen aus dieser Stadt eine Hausratversicherung bei „MyInsurance“ haben.
Fragen und ihre Lösungen
Frage 1
Ein Würfel wird 5 Mal geworfen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 3 gerade Zahlen erhalten werden.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 gerade Zahlen erhalten werden.
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 gerade Zahlen erhalten werden.
Frage 2
Eine Karte wird zufällig aus einem Stapel von 52 Karten gezogen, ihre Farbe wird notiert und dann zehnmal wieder in den Stapel zurückgelegt.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 rote Karten zu bekommen.
Frage 3
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 20 Fragen. Jede Frage hat fünf mögliche Antworten mit einer richtigen Antwort pro Frage. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler durch zufälliges Raten 15 oder mehr Fragen richtig beantwortet (um zu bestehen)? Abschluss.
Frage 4
Laut einem OCDE-Bericht (https://data.oecd.org/eduatt/population-with-tertiary-education.htm); In der Altersgruppe zwischen 25 und 34 Jahren verfügen 61,8 % in Kanada und 50,8 % im Vereinigten Königreich über einen Hochschulabschluss.
Wenn in Kanada 200 000 Menschen im Alter zwischen 25 und 34 Jahren und im Vereinigten Königreich 200 000 Personen derselben Altersgruppe zufällig ausgewählt werden, wie viele werden dann voraussichtlich in jedem dieser beiden Länder über einen Hochschulabschluss verfügen?
Lösungen für die oben genannten Fragen
Lösung zu Frage 1
a)
Es gibt 3 gerade Zahlen von 6 in einem Würfel. Daher wenn Sie
Wirf einen Würfel einmal, die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu erhalten, beträgt \( p = 3/6 = 1/2 \)
Es handelt sich um ein Binomialexperiment mit \( n = 5 \), \( k = 3 \) und \( p = 0,5 \)
\( P( \text{3 gerade Zahlen in 5 Versuchen} ) = \displaystyle{5\choose 3} 0,5^3 (1-0,5)^{5-3} = 0,3125 \)
b)
\( P (\text{mindestens 3}) = P (3) + P(4) + P(5) = \displaystyle{5\choose 3} 0,5^3 (1-0,5)^{5-3} + {5\choose 4} 0,5^4 (1-0,5)^{5-4} + {5\choose 5} 0,5^5 (1-0,5)^{5-5} \)
\( = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5 \)
c)
\( P (\text{höchstens 3}) = P (0) + P(1) + P(2) = \displaystyle {5\choose 0} 0,5^0 (1-0,5)^{5-0} + {5\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{5-1} + {5\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{5-2} \)
\( = 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,5 \)
Notiz
Die Ereignisse „mindestens 3 gerade Zahlen werden erhalten“ in Teil b) und „höchstens 2 gerade Zahlen werden erhalten“ in Teil c) sind komplementär und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1.
Lösung zu Frage 2
Da die Karte wieder zurückgelegt wird, handelt es sich um ein Binomialexperiment mit der Anzahl der Versuche \( n = 10 \)
Es gibt 26 rote Karten in einem 52er-Deck. Daher
Die Wahrscheinlichkeit, in einem Versuch eine rote Karte zu bekommen, beträgt \( p = 26/52 = 1/2 \)
Das Ereignis A = „mindestens 3 rote Karten erhalten“ ist eine Ergänzung zum Ereignis B = „höchstens 2 rote Karten erhalten“; somit
\( P(A) = 1 - P(B) \)
\( P(A) = P(3)+P(4) + P(5)+P(6) + P(7)+P(8) + P(9) + P(10) \)
\( P(B) = P(0) + P(1) + P(2) \)
Die Berechnung von \( P(A)\) erfordert im Vergleich zu den Berechnungen von \( P(B) \), daher ist es effizienter, \( P(B) \) zu berechnen und die Formel als Komplement zu verwenden Ereignisse: \( P(A) = 1 - P(B) \).
\( P(B) = \displaystyle {10\choose 0} 0,5^0 (1-0,5)^{10-0} + {10\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{10-1} + {10\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{10-2} \\ = 0,00098 + 0,00977 + 0,04395 = 0,0547 \)
Für jede Frage gibt es 5 mögliche Antworten, von denen eine richtig ist. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, in einem Versuch eine richtige Antwort zu erhalten, \( p = 1/5 = 0,2 \)
Es handelt sich um ein Binomialexperiment mit \( n = 20 \) und \( p = 0,2 \).
\( P(\text{Schüler antwortet 15 oder mehr}) = P( \text{Schüler antwortet 15 oder 16 oder 17 oder 18 oder 19 oder 20}) \\ = P(15) + P(16) + P( 17) + P(18) + P(19) + P(20) \)
Verwendung der Binomialwahrscheinlichkeitsformel
\( P(\text{Schüler antwortet 15 oder mehr}) = \displaystyle{20\choose 15} 0,2^{15} (1-0,2)^{20-15} + {20\choose 16} 0,2^{16 } (1-0,2)^{20-16} \\ \quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 17} 0,2^{17} (1-0,2)^{20-17} + {20\choose 18} 0,2^{18} (1-0,2)^{20-18} \\ \quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 19} 0,2^{19} (1 -0,2)^{20-19} + {20\wähle 20} 0,2^{20} (1-0,2)^{20-20} \)
\( \quad\quad\quad\quad\quad \ approx 0 \)
Fazit: Die zufällige Beantwortung von Fragen durch Raten hat überhaupt keine Chance, einen Test zu bestehen.
Lösung zu Frage 4
In beiden Fällen handelt es sich um ein Binomialexperiment mit
Kanada: \( p = 0,618 \) und \( n = 200 000 \)
Mittelwert: \( \mu = n p = 200 000 \cdot 0,618 = 123600 \)
Es wird erwartet, dass 123 600 von 200 000 in Kanada über eine Hochschulausbildung verfügen.
Vereinigtes Königreich: \( p = 0,508 \) und \( n = 200 000 \)
Mittelwert: \( \mu = n p = 200 000 \cdot 0,508 = 101 600 \)
Es wird erwartet, dass 101 600 von 200 000 im Vereinigten Königreich über eine Hochschulausbildung verfügen.
