Es wird ein Online-Rechner vorgestellt, der die Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit exponentiellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen berechnet. Ein zweiter Rechner löst das inverse Problem: Gegeben sei \(p \), so dass \( P(X \lt x_1) = p \), berechne \( x_1 \).
Exponentielle Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine kontinuierliche exponentielle Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Form
\[f(x,\lambda) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} \quad \text{for} \quad x \ge 0 \\
\\
0 \quad \text{for} \quad x \lt 0 \\
\end{cases}
\]
wobei \( \lambda \gt 0 \) die Rate der Verteilung genannt wird.
Nachfolgend sind Diagramme exponentieller Verteilungen mit unterschiedlichen Werten der Rate \( \lambda \) dargestellt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \( X \) kleiner als \( x_1 \) ist, ist gegeben durch
\[ \displaystyle P(X \lt x_1) = \int_{0}^{x_1} \lambda e^{-\lambda x} \; dx = 1 - e^{-\lambda x_1} \quad \text{for} \quad x_1 \ge 0\]
Der Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung einer exponentiellen Wahrscheinlichkeitsverteilung, wie oben definiert, sind gegeben durch:
Mittelwert = \( \dfrac{1}{\lambda} \)
Varianz = \( \dfrac{1}{\lambda^2} \)
Standardabweichung = \( \dfrac{1}{\lambda} \)
Wir stellen zwei Rechner vor.
1 - Finden Sie die Wahrscheinlichkeit \( P(X \lt x_1) \) bei gegebenem \( \lambda \) und \( x_1 \)
\( \lambda \) =
\( x_1 \) =
Dezimalstellen (Decimal Places) =
Resultate
2 - Inverses Problem: Finden Sie \( x_1 \), so dass \( P(X \lt x_1) = p \) bei gegebenem \( \lambda \) und \( p \)
