Normalverteilungsprobleme mit Lösungen
Probleme und Anwendungen zu Normalverteilungen werden vorgestellt. Die Lösungen für diese Probleme finden Sie unten auf der Seite. Ein Online- Normalwahrscheinlichkeitsrechner und ein Inverser Normalwahrscheinlichkeitsrechner kann hilfreich sein, um Ihre Antworten zu überprüfen.
Probleme mit Lösungen
- X ist eine normalverteilte Variable mit dem Mittelwert μ = 30 und Standardabweichung σ = 4. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten
a) P(X < 40)
b) P(X > 21)
c) P(30 < X < 35)
- Mit einem Radargerät wird die Geschwindigkeit von Autos auf einer Autobahn gemessen. Die Geschwindigkeiten sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 90 km/h und einer Standardabweichung von 10 km/h. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Auto schneller als 100 km/h fährt?
- Bei bestimmten Computertypen ist die Zeitspanne zwischen den Akkuladungen normalerweise mit einem Mittelwert von 50 Stunden und einer Standardabweichung von 15 Stunden verteilt. John besitzt einen dieser Computer und möchte die Wahrscheinlichkeit wissen, dass die Zeitspanne zwischen 50 und 70 Stunden liegt.
- Der Zugang zu einer bestimmten Universität wird durch einen nationalen Test entschieden. Die Ergebnisse dieses Tests sind normalverteilt mit einem Mittelwert von 500 und einer Standardabweichung von 100. Tom möchte an dieser Universität zugelassen werden und weiß, dass er besser abschneiden muss als mindestens 70 % der Studenten, die den Test gemacht haben. Tom macht den Test und erzielt 585 Punkte. Wird er an dieser Universität zugelassen?
- Die Länge ähnlicher Komponenten, die von einem Unternehmen hergestellt werden, wird durch ein Normalverteilungsmodell mit einem Mittelwert von 5 cm und einer Standardabweichung von 0,02 cm angenähert. Wenn eine Komponente zufällig ausgewählt wird
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge dieses Bauteils zwischen 4,98 und 5,02 cm liegt?
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge dieses Bauteils zwischen 4,96 und 5,04 cm liegt?
- Die Lebensdauer eines maschinell hergestellten Instruments weist eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 12 Monaten und einer Standardabweichung von 2 Monaten auf. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein von dieser Maschine hergestelltes Instrument lange hält
a) weniger als 7 Monate.
b) zwischen 7 und 12 Monaten.
- Die Zeit, die für die Montage eines Autos in einem bestimmten Werk benötigt wird, ist eine Zufallsvariable mit einer Normalverteilung von 20 Stunden und einer Standardabweichung von 2 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Werk in einem bestimmten Zeitraum ein Auto montiert werden kann?
a) weniger als 19,5 Stunden?
b) zwischen 20 und 22 Stunden?
- Eine große Gruppe von Studenten hat einen Test in Physik abgelegt und die Abschlussnoten haben einen Mittelwert von 70 und eine Standardabweichung von 10. Wenn wir die Verteilung dieser Noten durch eine Normalverteilung annähern können, wie viel Prozent der Studenten
a) mehr als 80 Punkte erzielt haben?
b) Soll die Prüfung bestehen (Noten≥60)?
c) Sollten Sie den Test nicht bestehen (Noten <60)?
- Die Jahresgehälter der Mitarbeiter in einem großen Unternehmen sind annähernd normalverteilt mit einem Mittelwert von 50.000 US-Dollar und einer Standardabweichung von 20.000 US-Dollar.
a) Wie viel Prozent der Menschen verdienen weniger als 40.000 US-Dollar?
b) Wie viel Prozent der Menschen verdienen zwischen 45.000 und 65.000 US-Dollar?
c) Wie viel Prozent der Menschen verdienen mehr als 70.000 US-Dollar?
Lösungen für die oben genannten Probleme
- Hinweis: Was hier mit Fläche gemeint ist, ist die Fläche unter der Standardnormalkurve.
a) Für x = 40 ist der Z-Wert z = (40 - 30) / 4 = 2,5
Daher ist P(x < 40) = P(z < 2,5) = [Fläche links von 2,5] = 0,9938
b) Für x = 21, z = (21 - 30) / 4 = -2,25
Daher P(x > 21) = P(z > -2,25) = [Gesamtfläche] - [Fläche links von -2,25]
= 1 - 0,0122 = 0,9878
c) Für x = 30, z = (30 - 30) / 4 = 0 und für x = 35, z = (35 - 30) / 4 = 1,25
Daher P(30 < x < 35) = P(0 < z < 1,25) = [Fläche links von z = 1,25] – [Fläche links von 0]
= 0,8944 - 0,5 = 0,3944
- Sei x die Zufallsvariable, die die Geschwindigkeit von Autos darstellt. x hat μ = 90 und σ = 10. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass x größer als 100 oder P(x > 100)
ist Für x = 100, z = (100 - 90) / 10 = 1
P(x > 90) = P(z > 1) = [Gesamtfläche] – [Fläche links von z = 1]
= 1 - 0,8413 = 0,1587
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Auto eine Geschwindigkeit von mehr als 100 km/h hat, beträgt 0,1587
- Sei x die Zufallsvariable, die die Zeitdauer darstellt. Es hat einen Mittelwert von 50 und eine Standardabweichung von 15. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass x zwischen 50 und 70 oder P( 50< x < 70)
liegt Für x = 50 , z = (50 - 50) / 15 = 0
Für x = 70 ist z = (70 - 50) / 15 = 1,33 (auf 2 Dezimalstellen gerundet)
P( 50< x < 70) = P( 0< z < 1,33) = [Fläche links von z = 1,33] – [Fläche links von z = 0]
= 0,9082 - 0,5 = 0,4082
Die Wahrscheinlichkeit, dass Johns Computer eine Laufzeit zwischen 50 und 70 Stunden hat, beträgt 0,4082.
- Sei x die Zufallsvariable, die die Punktzahlen darstellt. x ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 500 und einer Standardabweichung von 100. Die Gesamtfläche unter der Normalkurve stellt die Gesamtzahl der Schüler dar, die den Test absolviert haben. Wenn wir die Werte der Flächen unter der Kurve mit 100 multiplizieren, erhalten wir Prozentsätze.
Für x = 585 ist z = (585 - 500) / 100 = 0,85
Der Anteil P der Schüler mit einer Punktzahl unter 585 ergibt sich aus
P = [Fläche links von z = 0,85] = 0,8023 = 80,23 %
Tom schnitt besser ab als 80,23 % der Studenten, die den Test abgelegt haben, und er wird an dieser Universität zugelassen.
- a) P(4,98 < x < 5,02) = P(-1 < z < 1)
= 0,6826
b) P(4,96 < x < 5,04) = P(-2 < z < 2)
= 0,9544
- a) P(x < 7) = P(z < -2,5)
= 0,0062
b) P(7 < x < 12) = P(-2,5 < z < 0)
= 0,4938
- a) P(x < 19,5) = P(z < -0,25)
= 0,4013
b) P(20 < x < 22) = P(0 < z < 1)
= 0,3413
- a) Für x = 80, z = 1
Bereich rechts (höher als) z = 1 ist gleich 0,1586 = 15,87 % haben mehr als 80 Punkte erzielt.
b) Für x = 60, z = -1
Der Bereich rechts von z = -1 entspricht 0,8413 = 84,13 % sollten den Test bestehen.
c) 100 % – 84,13 % = 15,87 % sollten den Test nicht bestehen.
- a) Für x = 40000, z = -0,5
Der Bereich links (kleiner als) von z = -0,5 entspricht 0,3085 = 30,85 % verdienen weniger als 40.000 $.
b) Für x = 45000 ist z = -0,25 und für x = 65000 ist z = 0,75
Der Bereich zwischen z = -0,25 und z = 0,75 entspricht 0,3720 = 37,20 und verdient zwischen 45.000 und 65.000 US-Dollar.
c) Für x = 70000, z = 1
Der Bereich rechts (höher) von z = 1 entspricht 0,1586 = 15,86 %, was einem Verdienst von mehr als 70.000 US-Dollar entspricht.
