Beispiele und Fragen zu bedingten Wahrscheinlichkeiten
\( \)\( \)\( \)\( \)Die Definition bedingter Wahrscheinlichkeiten wird zusammen mit Beispielen und deren detaillierten Lösungen und Erklärungen vorgestellt. Weitere Fragen finden Sie unten auf der Seite, gefolgt von deren Lösungen.
Bedingte Wahrscheinlichkeitsdefinition
Wir verwenden ein einfaches Beispiel, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu erklären.
Beispiel 1
a) Ein fairer Würfel wird geworfen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gesicht mit „1“, „2“ oder „3“ Punkte werden gewürfelt?
b) Es wird ein fairer Würfel geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Seite mit „1“, „2“ oder „3“ Punkten gewürfelt wird, vorausgesetzt (oder bekannt), dass die Anzahl der gewürfelten Punkte ungerade ist?
Lösung zu Beispiel 1
a)
Sei S der Probenraum (alle möglichen Ergebnisse), wenn ein Würfel geworfen wird, also \( S \) als Menge ist gegeben durch
\( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
\( n(S) = 6 \) , Anzahl der Elemente in der Menge \( S \)
Sei A die Menge, die das Ereignis "eine "1", "2" oder "3" darstellt „wird gewürfelt“, daher
\( A = \{1,2,3\} \)
\( n(A) = 3 \) , Anzahl der Elemente in \( A \)
Unter Verwendung der Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit haben wir
\( P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S} = 3/6 = 1/2 \)
b)
Ereignis \( A \) bereits in Teil a) definiert.
Sei \( B \) so gesetzt, dass es das Ereignis „Die Anzahl der gewürfelten Punkte ist ungerade“ repräsentiert
\( B = \{1,3,5\} \)
Wir verwenden das Venn-Diagramm, um die Mengen A und B wie folgt darzustellen
Da wir wissen, dass die gewürfelte Zahl in der Menge B (ungerade Zahl) liegt, könnte ein Teil von \( A \), der nicht im Schnittpunkt liegt, weggelassen werden und es bleibt a übrig eingeschränkter Probenraum B (siehe Abbildung unten).
Das Venn-Diagramm mit dem eingeschränkten Probenraum (siehe Diagramm unten) ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B wie folgt definiert
\( P(A|B) = \dfrac{\text{Anzahl der in B verbleibenden Elemente von A }}{n(B)} = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)} = \dfrac{2}{3} \)
Teilen Sie Zähler und Nenner durch \( n(S) \) und erhalten Sie den Probenraum eines gewürfelten Würfels
\( P(A|B) = \dfrac{ \dfrac{n(A \cap B)}{n(S)} } {\dfrac{n(B)}{n(S)}} = \dfrac{ P(A \; und \; B)}{P(B)} \)
Definition
Per Definition wird die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis \( A \) eintritt, vorausgesetzt, dass \( B \) eingetreten ist, als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Sie wird als \( P(A|B) \) geschrieben und ist gegeben durch\[ P(A|B) = \dfrac{P(A \; und \; B)}{P(B)} \] oder unter Verwendung der Mengennotation
\[ P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Die obigen Formeln gelten für \( P(B) \ne 0 \)
HINWEIS Wann immer möglich, verwenden wir in den folgenden Beispielen die Definition als Formel und auch den eingeschränkten Probenraum, um Fragen zur bedingten Wahrscheinlichkeit zu lösen. Dies trägt zu einem tieferen Verständnis des Konzepts der bedingten Wahrscheinlichkeiten bei.
Weitere Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 2
Wenn in einer Gruppe von Kindern eines zufällig ausgewählt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es Orangen mag, 0,6, und die Wahrscheinlichkeit, dass es Orangen UND Äpfel mag, beträgt 0,3. Wenn ein Kind, das Orangen mag, zufällig ausgewählt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auch Äpfel mag?
Lösung zu Beispiel 2
Sei Ereignis O: Kind mag Orangen, Ereignis A: Kind mag Äpfel
Gegeben ist \( P(O) = 0,6 \)
Gegeben ist \( P(A \; und \; O) = 0,3 \)
Wir werden gebeten, die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|O) \) dafür zu ermitteln, dass das Kind Äpfel mag, vorausgesetzt, dass es Orangen mag.
\( P(A|O) = \dfrac{P(A \; und \; O)}{P(O)} = \dfrac{0,3}{0,6} = 0,5 \)
Beispiel 3
Die Ergebnisse einer Umfrage unter einer Gruppe von 100 Personen, die entweder ein Mobiltelefon oder ein Tablet einer der beiden Marken A und B gekauft haben, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
| Mobiltelefon | Tablet | Gesamt | |
| A | 20 | 10 | 30 |
| B | 30 | 40 | 70 |
| Gesamt | 50 | 50 | 100 |
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person zufällig aus der Gruppe ausgewählt wird?
a) Marke B gekauft?
b) ein Mobiltelefon der Marke B gekauft?
c) ein Mobiltelefon gekauft hat, vorausgesetzt, dass sie/er die Marke B gekauft hat?
Lösung zu Beispiel 3
Lassen
Veranstaltung Mp: kaufte ein Mobiltelefon
Ereignis T: ein Tablet gekauft
Ereignis A: Marke A gekauft
Ereignis B: Marke B gekauft
A)
Insgesamt kauften 70 der insgesamt 100 Personen die Marke B; somit
\( P(B) = 70/100 = 0,7 \)
B)
Insgesamt kauften 30 von 100 Personen ein Handy der Marke B
\( P(Mp \; und \; B) = 30/100 = 0,3 \)
C)
\( P(Mp|B) = \dfrac{P(Mp \; und \; B)}{P(B)} = 0,3/0,7 = 3/7\)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(Mp|B) \) kann auch durch Beschränken des Stichprobenraums auf Marke B ermittelt werden.
Dabei handelt es sich um 30 Mobiltelefone der insgesamt 70 Marken B; somit
\( P(Mp|B) = \dfrac{30}{70} = 3/7 \)
Beispiel 4
Aus einem Stapel wird eine einzelne Karte gezogen. Eine Karte wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Karte auszuwählen
a) König
b) Rote Karte
c) König der roten Karte
d) König, da es sich um eine rote Karte handelt
e) Rote Karte, sofern es sich um einen König handelt
f) Königin, vorausgesetzt, es ist ein Herz
Lösung zu Beispiel 4
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ergebnisse eintreten, ist gleich.
a)
Aus dem Musterfeld von 52 Karten gibt es 4 Könige; somit
\( P(König) = \dfrac {4}{52} = 1/13 \)
b)
Aus dem Musterfeld von 52 Karten sind 26 rot; somit
\( P(red) = \dfrac {26}{52} = 1/2 \)
c)
Von den 52 Karten sind 2 Karten der rote König; somit
\( P( \text{König und Rot}) = \dfrac{2}{52} = 1/26 \)
d)
Zwei Methoden zur Beantwortung der Frage.
1) Unter Verwendung der oben angegebenen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
\( P( \text{König vorausgesetzt, es ist eine rote Karte}) = P(König|rot) = \dfrac{ P( \text{König und Rot})}{P(rot)} = \dfrac{1 /26}{1/2} = 1/13 \)
2) Nutzung des begrenzten Probenraums
Von den 26 roten Karten (beschränkter Probenraum nur auf die roten, da dies die Bedingung ist) gibt es 2 rote; somit
\( P(König|Rot) = 2/26 = 1/13\) das Gleiche, was oben unter Verwendung der Definition gefunden wurde
e)
Zwei Methoden zur Beantwortung der Frage.
1) Unter Verwendung der oben angegebenen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
\( P( \text{rote Karte vorausgesetzt, dass es ein König ist}) = P(rot|König) = \dfrac{ P( \text{rot und König})}{P(König)} = \dfrac{1 /26}{1/13} = 1/2 \)
2) Nutzung des begrenzten Probenraums
Von den 4 Königskarten (beschränkter Probenraum für die Könige) gibt es 2 rote; somit
\( P(red|King) = 2/4 = 1/2\) dasselbe wie oben anhand der Definition gefunden
f)
Zwei Methoden zur Beantwortung der Frage.
1) Unter Verwendung der oben angegebenen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
\( P( \text{Königin vorausgesetzt, es ist Herz}) = P(Königin|Herz) = \dfrac{ P( \text{Königin und Herz})}{P(Herz)} = \dfrac{1/52 }{13/52} = 1/13 \)
2) Nutzung des begrenzten Probenraums
Von den 13 Herzen (beschränkter Probenraum auf die Herzen) gibt es 1 König; somit
\( P(Queen|heart) = 1/13 \) dasselbe wie oben anhand der Definition gefunden
Beispiel 5
Ein Autohändler lässt die in der folgenden Tabelle aufgeführten Autos nach Typ und Farbe klassifizieren. Wenn ein Auto zufällig ausgewählt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies der Fall ist?
a) Es ist schwarz, wenn man weiß, dass es ein Van ist
b) Es ist ein SUV, wenn man weiß, dass es weiß ist
c) Es ist blau, wenn man weiß, dass es ein Coupé ist
| SUV | Sportwagen | Van | Coupé | Gesamt | |
|---|---|---|---|---|---|
| Schwarz | 35 | 10 | 25 | 15 | 85 |
| weiß | 10 | 15 | 20 | 5 | 50 |
| Blau | 15 | 15 | 5 | 30 | 65 |
| Gesamt | 60 | 40 | 50 | 50 | 200 |
Lösung zu Beispiel 5
Es gibt 60 SUVs, 40 Sportwagen, 50 Vans und 50 Coupés, insgesamt 200 Autos.
Wir beantworten die Fragen zum Finden bedingter Wahrscheinlichkeiten mit zwei Methoden: 1) der Definition und 2) der Einschränkung des Stichprobenraums.
a)
Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeitsdefinition
\( P(schwarz|Van) = \dfrac{P(\text{schwarz und Van)}}{P(Van)} = \dfrac{25/200}{50/200} = 1/2 \)
Oder beschränken Sie den Probenraum auf die Vans, es gibt 50 Vans, von denen 25 schwarz sind. Somit
\( P(schwarz|Van) = \dfrac{25}{50} = 1/2 \)
b)
Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeitsdefinition
\( P(Suv|white) = \dfrac{P(\text{Suv und weiß)}}{P(white)} = \dfrac{10/200}{50/200} = 1/5 \)
Beschränken Sie den Probenraum auf die weißen Autos, es gibt 50 weiße, davon 10 SUVs. Somit
\( P(Suv|white) = \dfrac{10}{50} = 1/5 \)
c)
Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeitsdefinition
\( P(blau|Coupé) = \dfrac{P(\text{blau und Coupé)}}{P(Coupé)} = \dfrac{30/200}{50/200} = 3/5 \)
Beschränken Sie den Musterraum auf das Coupé. Es gibt 50 Coupés, von denen 30 blau sind. Somit
\( P(blau|Coupe) = \dfrac{30}{50} = 3/5 \)
Beispiel 6
Die Ergebnisse einer Umfrage unter 100 Personen, die bei einem bestimmten Unternehmen versichert sind, lauten wie folgt: 40 % haben sowohl eine Hausrat- als auch eine Autoversicherung bei dem Unternehmen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus dieser Gruppe ausgewählte Person über eine Kfz-Versicherung verfügt, beträgt 0,7. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Hausratversicherung hat, obwohl sie weiß, dass sie eine Autoversicherung hat?
Lösung zu Beispiel 6
Sei Ereignis H: Personen mit Hausratversicherung, Ereignis C: Personen mit Dosenversicherung
Wir erhalten P(C) = 0,8 und P(H und C) = 0,5.
Wir werden gebeten, die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(H|C)\) zu ermitteln, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Hausratversicherung (H) hat, obwohl sie weiß, dass diese Person eine Autoversicherung (C) hat. Somit
\( P(H|C) = \dfrac{P(H \; und \; C)}{P(C)} = 0,5 / 0,8 = 0,625\)
Beispiel 7
Eine Gruppe von 200 Schülern wurde gefragt, ob sie Fußball oder Basketball spielten. In der Gruppe gaben 120 an, Fußball zu spielen, 50 gaben an, Basketball zu spielen, und 20 gaben an, sowohl Fußball als auch Basketball zu spielen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Gruppe ausgewählter Schüler Fußball spielt, wenn er Basketball spielt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Gruppe ausgewählter Schüler Basketball spielt, wenn er Fußball spielt?
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Gruppe ausgewählter Schüler Fußball spielt, wenn er nur ein Spiel spielt?
Lösung zu Beispiel 7
Event F: Schüler, die Fußball spielen, Event B: Schüler, die Basketball spielen
a)
Finden wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten
\( P(F) = 120 / 200 = 0,6 \)
\( P(B) = 50/200 = 0,25 \)
\( P(F \; und \; B) = 20 / 100 = 0,1 \)
\( P(F|B) = \dfrac{P(F \; und \; B)}{P(B)} = 0,1 / 0,25 = 0,4 \)
b)
\( P(B|F) = \dfrac{P(B \; und \; F)}{P(F)} = 0,1 / 0,6 = 0,17 \)
c)
Sei Ereignis O: Schüler, die nur ein Spiel spielen
Die Anzahl der Schüler, die nur ein Spiel spielen, beträgt
\( (120 - 20) + (50 - 20) = 130 \)
\( P(O) = 130/200 = 0,65 \)
\( P(F \; und \; O) = 100 / 200 = 0,5 \)
\( P(F|O) = \dfrac{P(F \; und \; O)}{P(O)} = 0,5 / 0,65 = 0,77 \)
Fragen und ihre Lösungen
Frage 1
Wenn ein Würfel geworfen wird, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl erhalten wird, wenn Sie wissen, dass die Zahl größer als 3 ist.
Frage 2
Aus einem Stapel von 52 Karten wird zufällig eine Karte gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu erhalten, wenn Sie wissen, dass die Karte rot ist.
Frage 3
Eine Gruppe von 120 Personen wurde gefragt, ob sie ein Auto oder ein Fahrrad besitzen. 90 gaben an, ein Auto zu besitzen, 40 ein Fahrrad und 10 gaben an, weder ein Auto noch ein Fahrrad zu besitzen.Wenn aus dieser Personengruppe eine Person zufällig ausgewählt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person
a) besitzt ein Auto und ein Fahrrad?
b) ein Auto besitzt, sofern die ausgewählte Person ein Fahrrad besitzt?
c) ein Fahrrad besitzt, vorausgesetzt, die Person besitzt ein Auto oder ein Fahrrad, aber nicht beides?
Frage 4
Zwei Unternehmen A und B bieten 70 bzw. 50 Produkte an. Unternehmen A bietet 40 Softwareprodukte und 30 Hardwareprodukte an. Unternehmen B bietet \( x \) Hardwareprodukte und \( y \) Softwareprodukte an, die noch festzulegen sind.Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt zufällig ausgewählt wird?
a) handelt es sich bei diesem Produkt um ein Hardwareprodukt, da es von der Firma B stammt? (in Bezug auf \( y \))
b) handelt es sich bei diesem Produkt um ein Hardwareprodukt, da es von Unternehmen A stammt?
c) Für welche Werte von \( y \) wird die Wahrscheinlichkeit in Teil a) größer sein als die Wahrscheinlichkeit in Teil b)?
Frage 5
Ein Finanzberater geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienmarkt sinkt, bei 0,8 liegt, vorausgesetzt, dass sich die Wirtschaft verschlechtert. Der Berater geht außerdem davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Wirtschaft verschlechtert, bei 0,5 liegt.Wie hoch ist unter Berücksichtigung der oben genannten Informationen die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Wirtschaft verschlechtert und der Aktienmarkt fällt?
Lösungen für die oben genannten Fragen
Lösung zu Frage 1
Der Beispielraum beim Würfeln: \( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)Ereignis E: gerade Zahl, \( E = \{2,4,6\} \)
Ereignis-G-Zahl größer als 3: \( G = \{4,5,6\} \)
\( E \cap G = \{4,6\} \)
Die Frage besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass eine gerade Zahl erhalten wird, wenn man weiß, dass die Zahl größer als 3 ist, geschrieben als bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(E|G) \).
\( P(E|G) = \dfrac{P( E \cap G)}{P(G)} = \dfrac{2/6}{3/6} = 2/3 \)
Diese Frage könnte wie folgt beantwortet werden
Es gibt 2 Elemente in \( E \cap G \) und 3 Elemente in \( G \)
Wir beschränken den Probenraum auf das Ereignis \( G \); somit
\( P(E|G) = \dfrac{n(E \cap G)}{n(G)} = 2/3 \)
Lösung zu Frage 2
Angenommen, Ereignis T: erhält eine 3, es gibt 4 Dreien in einem Kartenspiel, daher \(P(T) = 4/52 = 1/13\).Angenommen, Ereignis R: eine rote Karte bekommen, es gibt 26 rote Karten in einem Kartenspiel, also \( P(R) = 26/52 = 1/2 \)
Es gibt 2 3er-Karten, die rot sind, also \( P(T \cap R) = 2/52 = 1/26 \)
Wir werden gebeten, die bedingte Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, eine 3 zu erhalten, wenn wir wissen, dass die Karte rot ist, geschrieben als \( P(T|R) \)
\( P(T|R) = \dfrac{P(T \cap R)}{P(R)} = \dfrac{1/26}{1/2} = 1/13 \)
Diese Frage könnte wie folgt beantwortet werden
Es gibt 2 3er-Karten, die rot sind
Wir beschränken den Probenraum daher auf rote Karten, also 26
\( P(T|R) = 2/26 = 1/13 \)
Lösung zu Frage 3
A)Sei C das Ereignis: besitzt ein Auto, Sei B das Ereignis: besitzt ein Fahrrad
Wir werden gebeten, \( P(C \cap B) \) zu finden
Sei \( x \) die Anzahl der Personen, die ein Auto und ein Fahrrad besitzen. Unter Verwendung des Venn-Diagramms unten haben wir, dass \( 90 - x\) nur ein Auto besitzt, \( 40 - x\) nur ein Fahrrad besitzt und \( 10 \) keines von beiden besitzt und die Summe ist \( 120\); somit
\( (90 - x) + (40 - x) + x + 10 = 120 \)
Lösen Sie nach \( x \) auf, um zu erhalten
\( x = 20 \)
\( P(C \cap B) = 20/120 = 1/6\)
b) ein Auto besitzt, sofern die ausgewählte Person ein Fahrrad besitzt?
Wir werden gebeten, die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(C|B) \) zu finden.
\( P(C|B) = \dfrac{P(C \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/6}{40/120} = 20/40 = 1/2 \)
c) ein Fahrrad besitzt, vorausgesetzt, die Person besitzt ein Auto oder ein Fahrrad, aber nicht beides?
Lassen Sie Ereignis-COB: ein Auto oder ein Fahrrad besitzen, aber nicht beides
Die Personen, die ein Auto oder ein Fahrrad besitzen, aber nicht beides, werden ohne die Kreuzung in die Gewerkschaft aufgenommen und ihre Nummer ist
\( N = 70 + 20 = 90 \)
Wir werden gebeten, die Wahrscheinlichkeit \( P(B|COB) \) zu finden.
\( P(B|COB) = \dfrac{P(B \cap COB)}{P(COB)} = \dfrac{20/120}{90/120} = 2/9 \)
Lösung zu Frage 4
Ordnen wir alle gegebenen Informationen wie folgt in einer Tabelle an| Software | Hardware | Gesamt | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| Unternehmen A | 40 | 30 | 70 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Unternehmen B | x | y | x + y | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Gesamt | 40+x | 30+y | 70+x+y | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a)
Die Gesamtzahl der Produkte beträgt: \( 70 + 50 = 120 \)
Wir haben auch
\( 70+x+y = 120\)
was gibt
\( x + y = 50 \)
Angenommen, Ereignis S: ausgewähltes Produkt sei ein Softwareprodukt, Ereignis H: ausgewähltes Produkt sei ein Hardwareprodukt
Angenommen, Ereignis A: Das ausgewählte Produkt stammt von Unternehmen A, Ereignis B: Das ausgewählte Produkt stammt von Unternehmen B
Wir werden gebeten, die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(H|B) \) zu finden.
\( P(H|B) = \dfrac{P(H \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{y}{120}}{\dfrac{x+y}{120} } = \dfrac{y}{x+y} = y / 50\)
b)
Wir werden gebeten, die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(H|A) \) zu finden.
\( P(H|A) = \dfrac{P(H \cap A)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{30}{120}}{\dfrac{70}{120}} = \dfrac{3}{7}\)
C)
Wir müssen die Ungleichung lösen
\( y / 50 \gt 3 / 7 \)
Multiplizieren Sie alle Terme mit 50 und vereinfachen Sie
\( y \gt 150 / 7 \)
Vereinfachen
\( y \gt 21,42 \)
\( y \) ist daher eine positive ganze Zahl
\( y \ge 22 \)
Lösung zu Frage 5
Angenommen, Ereignis E: Die Wirtschaft wird sich verschlechtern, Angenommen, Ereignis S: Der Aktienmarkt wird fallen.Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(S|E) = 0,8 \)
und die Wahrscheinlichkeit \( P(E) = 0,5\)
Wir werden gebeten, \( P(S \cap E) \) zu finden.
Die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gibt
\( P(S|E) = \dfrac{P(S \cap E)}{P(E)} = 0,8 \)
somit
\( P(S \cap E) = 0,8 \times P(E) = 0,8 \times 0,5 = 0,4 \)
Weitere Referenzen und Links
Wahrscheinlichkeitsfragenklassische Formel für Wahrscheinlichkeit
Beispiele und Fragen zu Binomialwahrscheinlichkeiten
sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
Einführung in Wahrscheinlichkeiten
Probenraum
Ereignis
Elementare Statistiken und Wahrscheinlichkeiten .
