Beispiele zum Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit wird erklärt und zur Lösung von Beispielen inklusive ausführlicher Erklärungen verwendet.

Erklärung des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit

Lassen Sie den Probenraum \( S \) in \( n \) sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \( E_1 \), \( E_2\), \( E_3\) ... \( E_n \) und insgesamt erschöpfend (den gesamten Probenraum \( S \) abdeckend).


Beachten Sie, dass
\( A = (A \cap E_1) \cup (A \cap E_2) \cup (A \cap E_3) ... \cup (A \cap E_n) \)
und da sich die Ereignisse \( E_i \) alle gegenseitig ausschließen, schließen sich auch \( (A \cap E_i) \) gegenseitig aus und daher können wir Additionsregel der Wahrscheinlichkeiten zum Schreiben
\[ P(A) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) + P(A \cap E_3) ... P(A \cap E_n) \]
Unter Verwendung der Definition von bedingten Wahrscheinlichkeiten schreiben wir
\( P(A \cap E_n) = P(A | E_n) P(E_n) \),
und schreiben Sie das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit um als
\[ P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) + P(A | E_3) P(E_3) ... P(A | E_n) P( E_n) \] \[ = \sum_{i=1}^{n} P(A | E_i) P(E_i) \] Beachten Sie, dass wir Folgendes haben, weil \( E_1 \), \( E_2\), \( E_3\) ... \( E_n \) insgesamt erschöpfend sind
\( \sum_{i=1}^{n} P(E_i) = 1 \)

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit – Beispiele mit detaillierten Lösungen

Beispiel 1
Wir haben drei ähnliche Beutel B1, B2 und B3 mit jeweils 4 Bällen. B1 enthält 2 rote und 2 blaue Kugeln, B2 enthält 3 rote und 1 blaue Kugel und B3 enthält 1 rote und 3 blaue Kugeln. Ein Beutel wird zufällig ausgewählt und aus diesem Beutel wird zufällig ein Ball ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball rot ist?

Lösung zu Beispiel 1
Wir beginnen mit einem Diagramm, das erklärt, was gegeben ist.


Wir präsentieren T Zwei Methoden zur Lösung der obigen Frage:
Methode 1: Verwenden Sie die klassische Methode zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
In allen drei Beuteln befinden sich insgesamt 12 Bälle, davon 6 rote Bälle. Das Ereignis \( A \) sei das der Auswahl einer roten Kugel. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Ball rot ist, gegeben durch
\( P(A) = 6/12 = 1/2 \)
Methode 2: Verwenden Sie das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit
Sei \( E_1 \), \( E_2 \) und \( E_3 \) das Ereignis der Auswahltasche \( B_1 \), \( B_2 \) bzw. \( B_3 \) und \( A \). Ereignis der Auswahl eines roten Balls.
\( P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) + P(A | E_3) P(E_3)\)
Die Taschen sind ähnlich und werden daher mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeiten für die zufällige Auswahl von Taschen \( B_1 \), \( B_2 \) oder \( B_3 \) sind gegeben durch
\( P(E_1) = 1/3 \) (ein Beutel B1 von 3 Beuteln)
\( P(E_2) = 1/3 \) (ein Beutel B2 von 3 Beuteln)
\( P(E_3) = 1/3 \) (ein Beutel B3 von 3 Beuteln)
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Auswahl eines roten Balls, vorausgesetzt, dass er sich in den Beuteln \( B_1\), \( B_2 \) und \( B_3 \) befindet, sind gegeben durch
\( P(A | E_1) = 2/4 = 1/2 \) (2 rote Kugeln von insgesamt 4 Kugeln in B1)
\( P(A | E_2) = 3/4 \) (3 rote Kugeln von insgesamt 4 Kugeln in B2)
\( P(A | E_3) = 1/4 \) (1 roter Ball von insgesamt 4 Bällen in B3)
Wir verwenden nun das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit
\( P(A) = (1/2)(1/3) + (3/4)(1/3) + (1/4)(1/3) = 1/2 \)

Beispiel 2
Schüler einer Mathematikklasse, in der 40 % Männer und 60 % Frauen sind, haben einen Test abgelegt. 50 % der Männer und 70 % der Frauen haben den Test bestanden. Wie viel Prozent der Schüler haben die Prüfung bestanden?

Lösung zu Beispiel 2
Wir beginnen mit der Erstellung eines Diagramms mit der gesamten Klasse, einschließlich der Männer- und Frauengruppen.
Lassen Sie die Ereignisse \( E_1 \) „ein Mann sein“ und \( E_2 \) „eine Frau sein“ und das Ereignis \( A \) „den Test bestanden haben“.

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit gibt
\( P(A) = P(A | E_1) P(E_1) + P(A | E_2) P(E_2) \)
\( = 50\% \times 40\% + 70\% \times 60\% = 62\% \)

Beispiel 3
Drei Fabriken produzieren das gleiche Werkzeug und liefern es auf den Markt. Fabrik A produziert 30 % der Werkzeuge für den Markt und die restlichen 70 % der Werkzeuge werden in den Fabriken B und C hergestellt. 98 % der Werkzeuge werden in Fabrik A hergestellt, 95 % der Werkzeuge werden in Fabrik B hergestellt und 97 % der Werkzeuge werden in Fabrik B hergestellt die im Werk C hergestellten Werkzeuge sind nicht fehlerhaft.
Wie viel Prozent der Werkzeuge sollten von den Fabriken B und C hergestellt werden, damit ein zufällig auf dem Markt ausgewähltes Werkzeug eine Wahrscheinlichkeit von 96 % hat, nicht fehlerhaft zu sein?

Lösung zu Beispiel 3
Wir beginnen mit der Zeichnung eines Diagramms aller drei Fabriken.
Seien \( A \), \(B\) und \( C \) die Ereignisse der von den Fabriken A, B und C hergestellten Werkzeuge und \( ND \) das Ereignis „nicht defekt“.
\( x \) und \( y \) sind die Prozentsätze der von den Unternehmen B bzw. C zu produzierenden Werkzeuge.

Mit dem obigen Diagramm können wir schreiben
\( P(A) = 30\% \) , \( P(B) = x \) , \( P(C) = y \)
Die drei Fabriken beliefern den gesamten Markt; somit
\( 30\% + x + y = 100\% \), was \( y = 70\% - x \) ergibt
Verwenden Sie das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit, um die Gleichung zu schreiben
\( P(ND) = P(ND|A) P(A) + P(ND|B) P(B) + P(ND|C) P(C) \)
\( = 98\% \times 30\% + 95\% \times x + 97\% \times (70\% - x) = 96\% \)
Auflösen nach \( x \)
Unternehmen B produziert: \( x = 0,65 = 65\% \)
Unternehmen C produziert: \( y =70\% - 65\% = 5\%\)

Beispiel 4
5 % der Bevölkerung haben eine Grippe und die restlichen 95 % haben diese Grippe nicht.
Um die Grippe zu erkennen, wird ein Test verwendet, der bei 95 % der Menschen mit Grippe positiv ist und bei 1 % der Menschen ohne Grippe ebenfalls (falsch) positiv ist.
Wenn eine Person aus dieser Population zufällig ausgewählt und getestet wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt?

Lösung zu Beispiel 4
Verwenden Sie den Gesamtwahrscheinlichkeitssatz, um den Prozentsatz wie folgt zu ermitteln:
\( 5\% \times 95\% + 95\% \times 1\% = 5,7\% \)

Weitere Referenzen und Links