Lösung zu Beispiel 2
Zwei Methoden zur Beantwortung der Frage in Beispiel 2 werden vorgestellt, um den Vorteil der Verwendung der oben angegebenen Produktregel zu verdeutlichen.
Methode 1: Verwendung des Beispielraums
Der Beispielraum S des Experiments zum zweimaligen Werfen einer Münze ist durch das unten gezeigte Baumdiagramm gegeben
Beim ersten Wurf gibt es zwei mögliche Ergebnisse: T oder H (in Blau)
Beim zweiten Wurf gibt es zwei mögliche Ergebnisse: T oder H (in Rot)
Aus dem Baumdiagramm können wir den Beispielraum \( S \) wie folgt ableiten
\( S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T,T) \} \)
mit \( n(S) = 4 \) wobei \( n(S) \) die Anzahl der Elemente in der Menge \( S \) ist
Das Ereignis \( E \): „eine Münze zweimal werfen und zwei Zahlen bekommen“ als Satz ist gegeben von
\( E = \{(T,T) \} \)
mit \( n(E) = 1 \) wobei \( n(E) \) die Anzahl der Elemente in der Menge \( E \) ist
Verwenden Sie die klassische Wahrscheinlichkeitsformel, um \(P(E) \) zu ermitteln als:
\( P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{1}{4}\)
Methode 2: Verwenden Sie die Produktregel zweier unabhängiger Ereignisse
Das Ereignis \(E\) „zweimal eine Münze werfen und bei jedem Wurf eine Zahl bekommen“ kann als zwei Ereignisse betrachtet werden
Ereignis \( A \) „wirf eine Münze einmal und erhalte eine Zahl“ und Ereignis \( B \) „wirf die Münze ein zweites Mal und erhalte eine Zahl“
mit den Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses \( A \) und \(B \) gegeben durch
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \) und \( P(B) = \dfrac{1}{2} \)
Das Eintreten des Ereignisses E kann nun als das Eintreten der Ereignisse A und B betrachtet werden. Die Ereignisse A und B sind unabhängig und daher kann die Produktregel wie folgt verwendet werden
\( P(E) = P( A \; und \; B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ 1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
HINWEIS Wenn Sie eine Münze sehr oft werfen, wird der Probenraum eine große Anzahl von Elementen haben und daher ist Methode 2 viel praktischer zu verwenden als Methode 1, wo Sie dies getan haben eine große Anzahl von Ergebnissen.
Wir präsentieren nun weitere Beispiele und Fragen dazu, wie die Produktregel unabhängiger Ereignisse zur Lösung von Wahrscheinlichkeitsfragen verwendet wird.
Beispiel 3
Es wird eine Münze geworfen und ein Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf und ein \( 4 \) zu bekommen?
Lösung zu Beispiel 3
Wir müssen zwei unabhängige Ereignisse berücksichtigen:
Ereignis A „Wirf eine Münze und erhalte einen Kopf“ und Ereignis B „Wirf einen Würfel und erhalte eine \( 4 \)“
Wenn eine Münze geworfen wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Kopf“ erhält
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \)
Beim Würfeln beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein \( 4 \) zu erhalten
\( P(B) = \dfrac{1}{6} \)
\( P ( \) " einen Kopf bekommen und ein \( 4 \) " \( ) = P( A \; und \; B) = P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \)
Beispiel 4
Ein Glas enthält 3 blaue Kugeln, 2 weiße Kugeln und 5 rote Kugeln. Eine Kugel wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt und die notierte Farbe wird dann wieder in das Glas zurückgelegt. Eine zweite Kugel wird ausgewählt, ihre Farbe notiert und wieder in das Glas zurückgelegt. Ein dritter Ball wird ausgewählt und seine Farbe notiert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von
a) 3 rote Kugeln auswählen
b) Auswahl eines blauen Balls, dann eines weißen Balls und dann eines blauen Balls
c) Auswahl eines roten, dann eines weißen Balls und dann eines blauen Balls
Lösung zu Beispiel 4
a)
Lassen Sie Ereignis A „zum ersten Mal einen roten Ball auswählen“,
Ereignis B „Zum zweiten Mal einen roten Ball auswählen“
und Ereignis C „wähle zum dritten Mal einen roten Ball“
Alle drei Ereignisse A, B und C sind unabhängig, da die ausgewählte Kugel zurück in das Glas zurückgelegt wird.
Die Gesamtzahl der Kugeln beträgt 10 und es gibt 5 rote Kugeln.
Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball auszuwählen.
Es gibt also 5 rote Kugeln von insgesamt 10
\( P(A) \) = \( P(B) \) = \( P(C) \) =\( P(red) = \dfrac{5}{10} \\ = \dfrac{1} {2} \)
Wir verwenden eine erweiterte Formel für drei unabhängige Ereignisse
\( P( \; A \; und \; B \; und \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)
b)
Lassen Sie Ereignis A „zum ersten Mal einen blauen Ball auswählen“,
Ereignis B „Zum zweiten Mal einen weißen Ball auswählen“
und Ereignis C „wähle zum dritten Mal einen blauen Ball“
\( P(A) = P(blau) = \dfrac{3}{10} \quad , \quad P(B) = P(weiß) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{ 5} \quad , \quad P(C) = P(blau) = \dfrac{3}{10}\)
\( P( A \; und \; B \; und \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{9}{5000} \)
c)
Lassen Sie Ereignis A „zum ersten Mal einen roten Ball auswählen“,
Ereignis B „Zum zweiten Mal einen weißen Ball auswählen“
und Ereignis C „wähle zum dritten Mal einen blauen Ball“
\( P(A) = P(rot) = 1/2 \)
\( P(B) = P(weiß) = 1/5 \)
\( P(C) = P(blau) = 3/10 \)
\( P( A \; und \; B \; und \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{3}{100} \)
Beispiel 5
Aus einem Stapel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen, dann ersetzt und eine zweite Karte gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine „2“ und dann einen „König“ zu erhalten.
Lösung zu Beispiel 5
Wir müssen zwei unabhängige Ereignisse berücksichtigen:
Ereignis A „Ziehe eine Karte und erhalte eine 2“ und Ereignis B „Ziehe eine Karte und erhalte einen König“
Da die Karte ersetzt wird, sind die beiden Ereignisse A und B unabhängig.
Finden wir zunächst \( P(A) \) und \( P(B) \).
\( P(A) = 4/52 = 1/13 \)
\( P(B) = 4/52 = 1/13 \)
\( P (A \; und \; B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{169 } \)
