Binomialer Wahrscheinlichkeitsverteilungsrechner

Ein Online-Rechner zur Berechnung des Binomials Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Wahrscheinlichkeiten von "mindestens" und "höchstens" im Zusammenhang mit den Binomialen.

Binomial Probability Distribution

Wenn in einem gegebenen Binomialexperiment die Wahrscheinlichkeit, dass in einem einzelnen Versuch Ereignis A auftritt, \( p \) beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass A genau \( x \) Mal in \( n \) Versuchen auftritt, gegeben durch:
\[ P(X = x,n,p) = {n \choose x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} = \dfrac{n!}{x! (n-x)!} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \]
Der Rechner unten berechnet die binomiale Wahrscheinlichkeitsverteilung \( P(X = x,n,p)\) von \( x=0\) bis \( x = n \), für verschiedene Werte von n und der Wahrscheinlichkeit p. Der folgende Rechner hilft bei der Untersuchung dieser Verteilungen in verschiedenen Situationen.
Derselbe Rechner berechnet auch die Wahrscheinlichkeit von „mindestens“ \( x \), gegeben durch \( P(X \ge x,n,p)\) und „höchstens“ \( x \), gegeben durch \( P( X \le x,n,p)\)

Beispiel 1
Bei jedem Versuch beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, \( p = 0,4 \)
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A nach 6 Versuchen dreimal auftritt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A nach 6 Versuchen mindestens dreimal auftritt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A nach 6 Versuchen höchstens dreimal auftritt?

Lösung zu Beispiel 1
a) \( P(X = 3,6,0,4) = \dfrac{6!}{3! (6-3)!} \cdot 0,4^3 \cdot (1-0,4)^{6-3} = 0,276480 \)
b)
Mindestens dreimal bedeutet, dass \( x \) entweder \( 3, 4, 5 \; \text{or} \; 6\) oder \( x \ge 3 \) ist
\( P(\text{mindestens 3 Mal}) = P( X = 3 \; oder \; X = 4 \; oder \; X = 5 \; oder \; X = 6 ) \)
Unter Verwendung der Binomialformel kann die Wahrscheinlichkeit wie folgt geschrieben werden:
\( P(X \ge 3,6,0,4) = P(X = 3,6,0,4) + P(X = 4,6,0,4) + P(X = 5,6,0,4) + P(X = 6,6,0,4) = 0,455680 \)
c)
Höchstens 3 Mal bedeutet, dass \( x \) entweder \( 0, 1, 2 \; \text{or} \; 3\) oder \( x \le 3 \) ist
\( P(\text{höchstens 3 Mal}) = P( x = 0 \; oder \; x = 1 \; oder \; x = 2 \; oder \; x = 3 ) \)
Unter Verwendung der Binomialformel kann die Wahrscheinlichkeit wie folgt geschrieben werden:
\( P(X \le 3,6,0,4) = P(X = 0,6,0,4) + P(X = 1,6,0,4) + P(X = 1,6,0,4) + P(X = 3,6,0,4) = 0,820800 \)

Wie benutzt man den Rechner?

1 - Geben Sie \( n \) und \( p \) und \( x \) ein und klicken Sie auf "Berechnen". \( n \) und \( x \) sind positive ganze Zahlen und \( p \) reelle Zahlen, die die Bedingungen erfüllen:
\( 0 \lt p \lt 1 \) , \( n \ge 1 \) , \( 0 \le x \le n \)