Wahrscheinlichkeiten sind mit Experimenten verbunden, bei denen das Ergebnis nicht im Voraus bekannt ist oder nicht vorhergesagt werden kann. Wenn Sie beispielsweise eine Münze werfen, erhalten Sie dann Kopf oder Zahl? Wenn Sie einen Würfel würfeln, erhalten Sie 1, 2, 3, 4, 5 oder 6?
Die Wahrscheinlichkeit misst und quantifiziert, „wie wahrscheinlich“ ein Ereignis im Zusammenhang mit dieser Art von Experimenten eintritt. Der Wert einer Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (einschließlich). Die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das nicht eintreten kann, ist gleich 0, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit Sicherheit eintreten wird, ist gleich 1 (siehe Wahrscheinlichkeitsskala unten).
Um Wahrscheinlichkeiten zu quantifizieren, müssen wir den Probenraum eines Experiments und die Ereignisse definieren, die mit diesem Experiment verbunden sein können.
Proberaum und Veranstaltungen
Der Probenraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments.
Beispiel 1: Wenn ein Würfel geworfen wird, ist der Probenraum S gegeben durch
S = {1,2,3,4,5,6}
Beispiel 2: Wenn zwei Münzen geworfen werden, ist der Probenraum S gegeben durch
S = {HH,HT,TH,TT} , mit H = Kopf und T = Zahl.
Beispiel 3: Wenn zwei Würfel geworfen werden, ist der Probenraum S gegeben durch
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }
Wir definieren ein Ereignis als ein bestimmtes Ergebnis eines Experiments. Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Beispielraums.
Beispiel 4: Ein Würfel wird geworfen (siehe Beispiel 1 oben für das Beispielfeld). Definieren wir Ereignis E als die Menge möglicher Ergebnisse, bei denen die Zahl auf der Vorderseite des Würfels gerade ist. Ereignis E ist gegeben durch
E = {2,4,6}
Beispiel 5: Zwei Münzen werden geworfen (siehe Beispiel 2 oben für den Beispielraum). Definieren wir Ereignis E als die Menge möglicher Ergebnisse, bei denen die Anzahl der erhaltenen Köpfe gleich zwei ist. Ereignis E ist gegeben durch
E = {(HT),(TH)}
Beispiel 6: Es werden zwei Würfel geworfen (siehe Beispiel 3 oben für das Beispielfeld). Definieren wir Ereignis E als die Menge möglicher Ergebnisse, bei denen die Summe der Zahlen auf den Seiten der beiden Würfel gleich vier ist. Ereignis E ist gegeben durch
E = {(1,3),(2,2),(3,1)}
Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten?
1 – Klassische Wahrscheinlichkeitsformel
Es basiert auf der Tatsache, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Gesamtzahl der Ergebnisse in E
P(E)=
________________________________________________
Gesamtzahl der Ergebnisse im Beispielraum
Beispiel 7: Ein Würfel wird geworfen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu erhalten.
Das interessante Ereignis ist „eine 3 bekommen“. also E = {3}.
Der Probenraum S ist gegeben durch S = {1,2,3,4,5,6}.
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse in E beträgt 1 und die Anzahl der möglichen Ergebnisse in S beträgt 6. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu erhalten
P(E) = 1 / 6.
Beispiel 8: Ein Würfel wird geworfen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu erhalten.
Das interessante Ereignis ist „eine gerade Zahl zu bekommen“. also E = {2,4,6}, die geraden Zahlen auf einem Würfel.
Der Probenraum S ist gegeben durch S = {1,2,3,4,5,6}.
Die Anzahl möglicher Ergebnisse in E beträgt 3 und die Anzahl möglicher Ergebnisse in S beträgt 6. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu erhalten, gleich
P(E) = 3 / 6 = 1 / 2.
2 – Empirische Wahrscheinlichkeitsformel
Es verwendet reale Daten zu aktuellen Situationen, um zu bestimmen, wie wahrscheinlich die Ergebnisse in der Zukunft sein werden. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels verdeutlichen
30 Personen wurden nach ihren Lieblingsfarben gefragt und hier sind die Ergebnisse:
Farbe
Häufigkeit
rot
10
blau
15
grün
5
If a person is selected at random from the above group of 30, what is the probability that this person likes the red color?
Let event E be "likes the red color". Hence
Häufigkeit für rote Farbe
P(E)=
________________________________________________
Gesamthäufigkeiten in der obigen Tabelle
= 10 / 30 = 1 / 3
Beispiel 9: Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung der Schüler pro Klasse in einer Schule.
Note
Häufigkeit
1
50
2
30
3
40
4
42
5
38
6
50
Wenn ein Schüler dieser Schule zufällig ausgewählt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler in die 3. Klasse geht?
Event E sei "Schüler ab Klasse 3". Somit
