lineare Regression und Modellierung von Problemen mit Lösungen.
Lineare Regressions- und Modellierungsprobleme werden zusammen mit ihren Lösungen unten auf der Seite vorgestellt. Auch ein linearer Regressionsrechner und -grapher kann zur Überprüfung der Antworten und verwendet werden mehr Möglichkeiten zum Üben schaffen.
Rezension
Wenn die Darstellung von n Datenpaaren (x, y) für ein Experiment auf eine „lineare Beziehung“ zwischen y und x hinzuweisen scheint, dann ist die Methode von Kleinste Quadrate können verwendet werden, um eine lineare Beziehung zwischen x und y zu schreiben.
Die Regressionslinie der kleinsten Quadrate ist die Linie, die die Summe der Quadrate (d1 + d2 + d3 + d4) der vertikalen Abweichung von jedem Datenpunkt zur Linie minimiert (siehe Abbildung unten als Beispiel für 4 Punkte).
Abbildung 1. Lineare Regression, bei der die Summe der vertikalen Abstände d1 + d2 + d3 + d4 zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten (Linie und Gleichung) minimiert wird.
Die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate für die Menge von n Datenpunkten ergibt sich aus der Gleichung einer Geraden in Steigungsschnittpunktform:
y = a x + b
wobei a und b gegeben sind durch
Figure 2. Formeln für die Konstanten a und b, die in die lineare Regression einbezogen werden .
Problem 1
Betrachten Sie die folgende Menge von Punkten: {(-2 , -1) , (1 , 1) , (3 , 2)}
a) Finden Sie die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate für die angegebenen Datenpunkte.
b) Tragen Sie die angegebenen Punkte und die Regressionsgerade im gleichen rechteckigen Achsensystem ein.
Problem 2
a) Finden Sie die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate für den folgenden Datensatz
{(-1 , 0),(0 , 2),(1 , 4),(2 , 5)
b) Tragen Sie die angegebenen Punkte und die Regressionsgerade im gleichen rechteckigen Achsensystem ein.
Problem 3
Die Werte von y und ihre entsprechenden Werte von y sind in der folgenden Tabelle aufgeführt
x
0
1
2
3
4
y
2
3
5
4
6
a) Finden Sie die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate y = a x + b.
b) Schätzen Sie den Wert von y, wenn x = 10.
Problem 4
Der Umsatz eines Unternehmens (in Millionen Dollar) für jedes Jahr ist in der folgenden Tabelle aufgeführt.
x (Jahr)
2005
2006
2007
2008
2009
y (Verkauf)
12
19
29
37
45
a) Finden Sie die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate y = a x + b.
b) Verwenden Sie die Regressionslinie der kleinsten Quadrate als Modell, um den Umsatz des Unternehmens im Jahr 2012 zu schätzen.
Lösungen für die oben genannten Probleme
a) Ordnen wir die Daten in einer Tabelle an.
x
y
x y
x 2
-2
-1
2
4
1
1
1
1
3
2
6
9
Σx = 2
Σy = 2
Σxy = 9
Σx2 = 14
Wir verwenden nun die obige Formel, um a und b wie folgt zu berechnen
a = (nΣx y - ΣxΣy) / (nΣx2 - (Σx)2) = (3*9 - 2*2) / (3*14 - 22) = 23/38
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/3)(2 - (23/38)*2) = 5/19
b) Wir zeichnen nun die durch y = a x + b gegebene Regressionsgerade und die angegebenen Punkte grafisch auf.
Figure 3. Diagramm der linearen Regression in Problem 1.
a) Wir verwenden eine Tabelle wie folgt
x
y
x y
x 2
-1
0
0
1
0
2
0
0
1
4
4
1
2
5
10
4
Σx = 2
Σy = 11
Σx y = 14
Σx2 = 6
Wir verwenden nun die obige Formel, um a und b wie folgt zu berechnen
a = (nΣx y - ΣxΣy) / (nΣx2 - (Σx)2) = (4*14 - 2*11) / (4*6 - 22) = 17/10 = 1,7
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/4)(11 - 1,7*2) = 1,9
b) Wir zeichnen nun die durch y = ax + b gegebene Regressionsgerade und die angegebenen Punkte grafisch auf.
Figure 4. Diagramm der linearen Regression in Problem 2.
a) Wir verwenden eine Tabelle, um a und b zu berechnen.
x
y
x y
x 2
0
2
0
0
1
3
3
1
2
5
10
4
3
4
12
9
4
6
24
16
Σx = 10
Σy = 20
Σx y = 49
Σx2 = 30
Wir berechnen nun a und b mithilfe der Regressionsformeln der kleinsten Quadrate für a und b.
a = (nΣx y - ΣxΣy) / (nΣx2 - (Σx)2) = (5*49 - 10*20) / (5*30 - 102) = 0,9
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/5)(20 - 0.9*10) = 2,2
b) Nachdem wir nun die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate y = 0,9 x + 2,2 haben, ersetzen Sie x durch 10, um den Wert des entsprechenden y zu ermitteln.
y = 0,9 * 10 + 2,2 = 11,2
a) Wir ändern zunächst die Variable x in t, sodass t = x - 2005 und daher stellt t die Anzahl der Jahre nach 2005 dar. Die Verwendung von t anstelle von x macht die Zahlen kleiner und daher überschaubar. Die Wertetabelle wird.
t (Jahre nach 2005)
0
1
2
3
4
y (Verkauf)
12
19
29
37
45
Wir verwenden nun die Tabelle, um a und b zu berechnen, die in der Formel der kleinsten Regressionslinie enthalten sind.
t
y
t y
t 2
0
12
0
0
1
19
19
1
2
29
58
4
3
37
111
9
4
45
180
16
Σx = 10
Σy = 142
Σxy = 368
Σx2 = 30
Wir berechnen nun a und b mithilfe der Regressionsformeln der kleinsten Quadrate für a und b.
a = (nΣt y - ΣtΣy) / (nΣt2 - (Σt)2) = (5*368 - 10*142) / (5*30 - 102) = 8,4
b = (1/n)(Σy - a Σx) = (1/5)(142 - 8.4*10) = 11,6
b) In 2012, t = 2012 - 2005 = 7
Der geschätzte Umsatz im Jahr 2012 beträgt: y = 8,4 * 7 + 11,6 = 70,4 Millionen Dollar.
