Mittelwert und Standardabweichung – Probleme mit Lösungen
Mittelwert
Und
Standardabweichung
Probleme werden zusammen mit ihren Lösungen am Ende der Seite angezeigt. Es werden Probleme im Zusammenhang mit Datensätzen sowie gruppierten Daten besprochen.
Probleme
Betrachten Sie die folgenden drei Datensätze A, B und C.
A = {9,10,11,7,13}
B = {10,10,10,10,10}
C = {1,1,10,19,19}
a) Berechnen Sie den Mittelwert jedes Datensatzes.
b) Berechnen Sie die Standardabweichung jedes Datensatzes.
c) Welche Menge hat die größte Standardabweichung?
d) Ist es möglich, Frage c) ohne Berechnung der Standardabweichung zu beantworten?
Ein gegebener Datensatz hat einen Mittelwert μ und eine Standardabweichung σ.
a) Was sind die neuen Werte des Mittelwerts und der Standardabweichung, wenn zu jedem Datenwert in der gegebenen Menge dieselbe Konstante k hinzugefügt wird? Erklären Sie.
b) Was sind die neuen Werte des Mittelwerts und der Standardabweichung, wenn jeder Datenwert der Menge mit derselben Konstante k multipliziert wird? Erklären Sie.
Wenn die Standardabweichung eines gegebenen Datensatzes gleich Null ist, was können wir dann über die im gegebenen Datensatz enthaltenen Datenwerte sagen?
Nachfolgend finden Sie die Häufigkeitstabelle der Monatsgehälter von 20 Personen.
Gehalt (in $)
Häufigkeit
3500
5
4000
8
4200
5
4300
2
a) Berechnen Sie den Mittelwert der Gehälter der 20 Personen.
b) Berechnen Sie die Standardabweichung der Gehälter der 20 Personen.
Die folgende Tabelle zeigt die gruppierten Daten nach Klassen für die Körpergröße von 50 Personen.
Höhe (in cm) – Klassen
Häufigkeit
( 120 , 130 ]
2
( 130 , 140 ]
5
( 140 , 150 ]
25
( 150 , 160 ]
10
( 160 , 170 ]
8
a) Berechnen Sie den Mittelwert der Gehälter der 20 Personen.
b) Berechnen Sie die Standardabweichung der Gehälter der 20 Personen.
Lösungen
Mittelwert des Datensatzes A = (9+10+11+7+13)/5 = 10
Mittelwert des Datensatzes B = (10+10+10+10+10)/5 = 10
Mittelwert des Datensatzes C = (1+1+10+19+19)/5 = 10
Datensatz C weist die größte Standardabweichung auf.
Ja, da Datensatz C Datenwerte aufweist, die im Vergleich zu den Sätzen A und B weiter vom Mittelwert entfernt sind.
Der Einfachheit halber beschränken wir die Diskussion auf einen Datensatz mit drei Werten, aber die Schlussfolgerungen gelten für jeden Datensatz mit quantitativen Daten.
Seien x, y und z die Datenwerte, aus denen ein Datensatz besteht.
Der Mittelwert μ = (x + y + z) / 3
Die Standardabweichung σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2) /3 ]
Wir addieren nun zu jedem Datenwert eine Konstante k und berechnen den neuen Mittelwert μ'.
μ' = ((x + k) + (y + k) + (z + k)) / 3 = (x + y + z) / 3 + 3k/3 = μ + k
Wir berechnen nun die neue mittlere Standardabweichung σ'.
σ' = √[ ((x + k - μ')2 +(y + k - μ')2+(z + k - μ') 2)/3 ]
Beachten Sie, dass x + k - μ' = x + k - μ - k = x - μ
auch y + k - μ' = y + k - μ - k = y - μ und z + k - μ' = z + k – μ - k = z - μ
Deshalb σ' = √[ ((x - μ)2 +(y - μ)2+(z - μ)2) /3 ] = σ
Wenn wir die gleiche Konstante k zu allen in einem Datensatz enthaltenen Datenwerten hinzufügen, erhalten wir einen neuen Datensatz, dessen Mittelwert der Mittelwert des ursprünglichen Datensatzes PLUS k ist. Die Standardabweichung ändert sich nicht.
Wir multiplizieren nun alle Datenwerte mit einer Konstanten k und berechnen den neuen Mittelwert μ' und die neue Standardabweichung σ'.
μ' = (kx + ky + kz) / 3 = kμ
σ' = √[ ((kx - kμ)2 +(ky - kμ)2+(kz - kμ)2) /3 ] = |k| σ
Wenn wir alle in einem Datensatz enthaltenen Datenwerte mit einer Konstante k multiplizieren, erhalten wir einen neuen Datensatz, dessen Mittelwert der Mittelwert des Originaldatensatzes MAL k ist und dessen Standardabweichung die Standardabweichung des Originaldatensatzes MAL des Absolutwerts ist von k.
Auch hier beschränken wir die Diskussion der Einfachheit halber auf einen Datensatz mit 4 Werten, aber die Schlussfolgerungen gelten für jeden Datensatz mit quantitativen Daten.
Seien x, y, z und w die Datenwerte, die einen Datensatz mit dem Mittelwert μ ergeben.
Die Standardabweichung σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - μ)2)/3 ]
Sei σ = 0, also
√[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + ( w - μ)2)/3 ] = 0
Was gibt
(x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - μ )2 = 0
Alle Terme in der Gleichung sind positiv und daher ist die obige Gleichung äquivalent zu
(x - μ)2 = 0, (y - μ)2 = 0, (z - μ)2 = 0 und (w - μ)2 = 0.
Was gibt
x = y = z = w = μ : alle Datenwerte im Satz mit σ = 0 sind gleich.
Sei xi das i-te Gehalt und fi die entsprechende Häufigkeit.
Mittelwert der gruppierten Daten = μ = (Σxi*fi) / Σfi
= (3500*5 + 4000*8 + 4200*5 + 4300*2) /(5 + 8 + 5 + 2)
= 3955 $
b) Standardabweichung der gruppierten Daten = √[ (Σ(xi-μ)2*fi) / Σ fi ]
= √[ (5*(3500-3955)2+8*(4000-3955)2+5*(4200-3955)2+2*(4300-3955)2) /(20) ]
= 282 (auf die nächste Einheit gerundet)
Wir ermitteln zunächst die Mittelpunkte der gegebenen Klassen.
Höhe (in cm) – Klassen
Mittelpunkt
Häufigkeit
( 120 , 130 ]
(120+130) ÷ 2 = 125
2
( 130 , 140 ]
(130+140) ÷ 2 = 135
5
( 140 , 150 ]
(140+150) ÷ 2 = 145
25
( 150 , 160 ]
(150+160) ÷ 2 = 155
10
( 160 , 170 ]
(160+170) ÷ 2 = 165
8
Sei mi der Mittelpunkt der i-ten Klasse und fi die entsprechende Frequenz.
Mittelwert der gruppierten Daten = μ = (Σmi*fi) / Σfi
= (125*2 + 135*5 + 145*25 + 155*10 + 165*8) /(2+5+25+10+8)
= 148,4
b) Standardabweichung der gruppierten Daten = √[ (Σ(mi-μ)2*fi) / Σ fi ]
= √[ (2*(125-148,4)2+5*(135-148,4)2+25*(145-148,4)2+10*(155-148.4)2+8*(165-148.4)2) /(50) ]
= 9,9
