Es werden Beispiele zur Ermittlung des Mittelwerts, des Medians und des Modus eines Datensatzes reeller Zahlen sowie detaillierte Lösungen und Erklärungen vorgestellt. Mittelwert, Median und Modus sind statistische Maße zentraler Tendenzen, die bei gut verteilten Daten dazu neigen, einen gesamten Datensatz mit einem einzigen Wert zusammenzufassen. Diese drei Maße sind leicht zu verstehen und beim Vergleich von Datensätzen zu verwenden.
Die Ausreißer werden ebenfalls definiert und diskutiert und ihre Auswirkungen auf Mittelwert, Median und Modus werden anhand von Beispielen mit ihren Lösungen diskutiert.
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Modus sind enthalten.
Mittelwert eines Datensatzes
Das arithmetische Mittel (oder der Durchschnitt) eines Datensatzes ist definiert als die Summe aller Datenwerte im Satz geteilt durch die Anzahl der Werte in diesem Satz. Wenn x1, x2, x3 ... xN sind die Werte in einem Datensatz, der Mittelwert μ ist durch die Formel Beispiel 1
In einer Mathematikprüfung erzielten die Schüler der Klasse A 55, 72, 96, 92, 87, 52, 92, 45, 58, 77, 86, 80 und die Schüler der Klasse B 55, 67, 75, 95, 82 , 86, 38, 90, 42, 56, 82, 96. Wie hoch ist die mittlere (durchschnittliche) Punktzahl jeder Klasse? Verwenden Sie die beiden Mittel, um die Leistung der beiden Klassen zu vergleichen. Lösung zu Beispiel 1
Es gibt 12 Punkte in Klasse A, daher ist N = 12. Verwenden Sie die Formel, um den Mittelwert für Klasse A wie folgt zu berechnen
In Klasse B gibt es 12 Punkte, daher ist N = 12. Verwenden Sie die Formel, um den Mittelwert für Klasse B wie folgt zu berechnen
Der Mittelwert (Durchschnitt) der Klasse A ist höher als der Mittelwert der Klasse B. Im Durchschnitt „punktete“ Klasse A besser als Klasse B, aber wenn wir die beiden Punktesätze untersuchen, schnitten nicht alle Schüler in Klasse A besser ab als alle Schüler in Klasse B.
Für jeden gegebenen Wertedatensatz ist der Mittelwert größer als der kleinste Wert und kleiner als der größte Wert. In der Klasse A darüber liegt der niedrigste Wert bei 55 und der höchste Wert bei 96 und der Mittelwert bei 74,3. In der Klasse B liegt der Mittelwert bei 72 und die kleinsten und höchsten Werte liegen bei 55 bzw. 96.
Median eines Datensatzes
Der Median eines Datensatzes ist der mittlere Datenwert nach der Reihenfolge der angegebenen Daten. Wenn die Anzahl N der Datenwerte ungerade ist, ist der Median der mittlere Datenwert und wenn N gerade ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden Datenwerte in der Mitte.
Beispiel 2
Die Körpergrößen (in Zentimetern) einer Gruppe von 11 Kindern unterschiedlichen Alters sind wie folgt: 110, 105, 126, 65, 134, 102, 78, 80, 119, 67, 88. Was ist die mittlere Körpergröße dieser Gruppe von Kindern? ? Lösung für Beispiel 2
Wir ordnen die angegebenen Daten zunächst von der kleinsten zur größten Höhe.
65, 67, 78, 80, 88, 102, 105, 110, 119, 126, 134
Es gibt insgesamt 11 Datenwerte und der in der Mitte ist der Median und entspricht 102. Es gibt fast 50 % der Datenwerte, die niedriger als der Median (102) sind, und fast 50 % der Datenwerte höher als der Median.
Beispiel 3
Die Gewichte einer Gruppe von 12 Männern in Kilogramm sind wie folgt: 110, 82, 99, 70, 77, 87, 78, 80, 102, 79, 88, 95. Wie hoch ist das Durchschnittsgewicht dieser Gruppe von Männern?
Lösung zu Beispiel 3
Wir ordnen die angegebenen Daten zunächst vom kleinsten zum größten Gewicht.
70 , 77 , 78 , 79 , 80 , 82 , 87 , 88 , 95 , 99 , 102 , 110 ,
Es gibt insgesamt 12 Datenwerte und der Durchschnitt der beiden Datenwerte 82 und 87 in der Mitte ist der Median und beträgt
(82 + 87) / 2 = 84,5
Genau 50 % der Datenwerte liegen unter dem Median (84,5) und 50 % der Datenwerte liegen über dem Median.
Modus eines Datensatzes
Der Modus eines Datensatzes ist der Datenwert, der mit der höchsten Häufigkeit auftritt.
Beispiel 4
In einer Prüfung erzielten die Schüler einer Klasse die folgenden Punkte: 45, 67, 95, 89, 88, 40, 90, 88, 56, 78, 88, 76. In welchem Modus werden die Ergebnisse vergeben? Lösung zu Beispiel 4
Wir ordnen die angegebenen Werte zunächst vom kleinsten zum größten Gewicht.
40, 45, 56, 67, 76, 78, 88, 88, 88, 89, 90, 95
Wir suchen dann nach dem Datenwert, der am häufigsten vorkommt, in diesem Beispiel also 88.
Beispiel 5
Eine Gruppe von Menschen wurde nach der Anzahl ihrer Brüder und Schwestern gefragt und sie antworteten wie folgt: 2, 3, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 2, 4, 2. Was ist das? Modus dieses Datensatzes? Lösung zu Beispiel 5
Wir ordnen die gegebenen Daten zunächst vom kleinsten zum größten Gewicht. 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5
Es gibt drei Datenwerte, die jeweils viermal vorkommen und daher die gleiche Häufigkeit haben. Dieser Datensatz verfügt über drei Modi: 2, 3 und 4.
Mittelwert, Median und Modus sind Maße der zentralen Tendenz
Mittelwert, Median und Modus sind Einzelwertgrößen, die dazu neigen, die Mitte eines Datensatzes zu beschreiben. Bei einem Datensatz, bei dem die Datenwerte nahe beieinander liegen, tendieren die drei Größen dazu, nahe beieinander zu liegen und den typischen zentralen Datenwert zu beschreiben.
Beispiel 6
Ein Schüler erzielte in seinen Mathe-Tests 89, 90, 92, 96, 91, 93 und 92 Punkte. Ermitteln Sie den Mittelwert, den Median und den Modus dieser Werte.
Lösung zu Beispiel 6
MittelwertMedian
Ordnen Sie die Daten vom kleinsten zum größten
89 , 90 , 91 , 92 , 92 , 93 , 96
Der Median ist der in der Mitte liegende Datenwert und beträgt 92. Modus
89 , 90 , 91 , 92 , 92 , 93 , 96
Der Modus ist der am häufigsten wiederholte Datenwert und entspricht 92.
Für diesen Datensatz können wir jede der drei zentralen Tendenzen (Mittelwert, Median oder Modus) verwenden, um einen typischen zentralen Datenwert zu beschreiben, da ihre Werte nahe beieinander liegen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Bei Datensätzen mit Ausreißern können die zentralen Tendenzen beeinträchtigt sein, wie wir unten Beispiele untersuchen.
Ausreißer und ihre Auswirkungen auf die Maße zentraler Tendenzen
Ausreißer sind extrem niedrige oder extrem hohe Werte in einem Datensatz. Sie können den Mittelwert, den Median oder den Modus beeinflussen.
Beispiel 7
Ein Schüler erzielte in seinen Mathe-Tests die Punkte 0, 90, 88, 96, 92, 88 und 95. Beantworten Sie die folgenden Fragen:
a) Welcher Wert kann als Ausreißer angesehen werden?
b) Berechnen Sie Mittelwert, Median und Modus mit und ohne Ausreißer und treffen Sie eine Entscheidung, welche zentrale Tendenz einen typischen zentralen Wert besser beschreibt. Lösung zu Beispiel 7
a) Der niedrigste Wert von 0 kann als Ausreißer betrachtet werden, da er viel niedriger ist als der nächsthöhere Wert von 88.
b) mit dem Ausreißer 0 lauten die Werte: 0, 90, 88, 96, 92, 88 und 95
Mittelwert = 78,4, Median = 90, Modus = 88
Ohne den Ausreißer 0 lauten die Werte: 90, 88, 96, 92, 88 und 95
Mittelwert: = 91,5, Median = 91, Modus = 88
Der Ausreißer 0 wirkt sich tendenziell auf den Mittelwert aus, da der Unterschied zwischen den Mittelwerten mit (78,4) und ohne (91,5) Ausreißer relativ groß ist und daher der Median und der Modus eine typische Punktzahl dieses Schülers besser beschreiben würden.
Datenstreuung und ihre Auswirkungen auf die Maße zentraler Tendenzen
Daten können als verstreut betrachtet werden, wenn die Datenwerte weit vom Durchschnittswert (Mittelwert) des gesamten Datensatzes entfernt sind. Maße zentraler Tendenzen sind möglicherweise nicht ausreichend oder manchmal sogar nicht geeignet, um einen typischen zentralen Datenwert zu beschreiben.
Beispiel 8
Eine Klasse erreichte in einer Prüfung die Punkte 96, 20, 20, 45, 40, 32, 97, 100, 98, 45, 90, 35 und 91.
Berechnen Sie den Mittelwert, den Median und den Modus und treffen Sie eine Entscheidung darüber, welches Maß der zentralen Tendenz den typischen zentralen Wert besser beschreibt. Lösung zu Beispiel 8
Mittelwert = 62,2, Median = 45, Modus = 20
Die Werte sind sehr unterschiedlich, wobei einige Werte weit unter dem Mittelwert liegen und andere höher als der Mittelwert. Dies hat den Modus und in gewissem Maße auch den Mittelwert stark beeinflusst. Der Mittelwert, der Median und der Modus unterscheiden sich in ihren Werten, da die Werte verteilt sind, wobei der kleinste Wert 20 und der größte Wert 100 beträgt. Der Mittelwert kann in dieser Situation als Maß für die zentrale Tendenz verwendet werden, der Modus 20 jedoch definitiv keine typische zentrale Partitur.
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Datenwerte um den Mittelwert.
In Klasse B gibt es 12 Punkte, daher ist N = 12. Verwenden Sie die Formel, um den Mittelwert für Klasse B wie folgt zu berechnen
Der Mittelwert (Durchschnitt) der Klasse A ist höher als der Mittelwert der Klasse B. Im Durchschnitt „punktete“ Klasse A besser als Klasse B, aber wenn wir die beiden Punktesätze untersuchen, schnitten nicht alle Schüler in Klasse A besser ab als alle Schüler in Klasse B.
Median