Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse – Beispiele mit Lösungen
Tutorial zum Herausfinden, ob sich zwei gegebene Ereignisse gegenseitig ausschließen. Ein kurzer Überblick über den Probenraum eines Experiments und die Ereignisse im Zusammenhang mit einem Beispielraum erforderlich.
Zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
Zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.
Mithilfe des Venn-Diagramms können zwei Ereignisse, die sich sich gegenseitig ausschließen, wie folgt dargestellt werden:
Die beiden Ereignisse sind so
E1 ∩ E2 = Φ
Die beiden Mengen E1 und E2 haben keine gemeinsamen Elemente und ihr Schnittpunkt ist eine leere Menge, da sie nicht gleichzeitig auftreten können.
Mithilfe des Venn-Diagramms können zwei Ereignisse, die sich nicht gegenseitig ausschließen, wie folgt dargestellt werden:
E1 ∩ E2 = {c} , der Schnittpunkt der beiden Ereignisse E1 und E2 ist keine leere Menge
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1:
Es wird gewürfelt. Definieren wir Ereignis E1 als die Menge möglicher Ergebnisse, bei denen die Zahl auf der Vorderseite des Würfels gerade ist, und Ereignis E2 als die Menge möglicher Ergebnisse, bei denen die Zahl auf der Vorderseite des Würfels ungerade ist. Schließen sich Ereignis1 E1 und E2 gegenseitig aus?
Lösung zu Beispiel 1:
Wir listen zunächst die Elemente von E1 und E2 auf.
E1 = {2,4,6}
E2 = {1,3,5}
E1 und E2 haben keine gemeinsamen Elemente und schließen sich daher gegenseitig aus.
Eine andere Möglichkeit, die obige Frage zu beantworten, besteht darin, zu beachten, dass beim Würfeln eine Zahl angezeigt wird, die entweder gerade oder ungerade ist, aber keine Zahl gleichzeitig gerade und ungerade ist gleiche Zeit. Daher können E1 und E2 nicht gleichzeitig auftreten und schließen sich daher gegenseitig aus.
Beispiel 2:
Es wird gewürfelt. Ereignis E1 ist die Menge möglicher Ergebnisse, bei denen die Zahl auf der Vorderseite des Würfels gerade ist, und Ereignis E2 ist die Menge möglicher Ergebnisse, bei denen die Zahl auf der Vorderseite des Würfels größer als 3 ist. Schließen sich Ereignis E1 und E2 gegenseitig aus?
Lösung zu Beispiel 2:
Die Teilmengen E1 und E2 sind gegeben durch.
E1 = {2,4,6}
E2 = {4,5,6}
Die Teilmengen E1 und E2 haben zwei Elemente gemeinsam. Zeigt der Würfel eine 4 oder 6, sind beide Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig eingetreten und E1 und E2 schließen sich daher nicht gegenseitig aus.
Beispiel 3:
Aus einem Kartenspiel wird eine Karte gezogen. Die Ereignisse E1, E2, E3, E4 und E5 sind wie folgt definiert:
E1: Eine 8 bekommen
E2: Einen König bekommen
E3: Eine Bildkarte bekommen
E4: Ein Ass bekommen
E5: Ein Herz bekommen
a) Schließen sich die Ereignisse E1 und E2 gegenseitig aus?
b) Schließen sich die Ereignisse E2 und E3 gegenseitig aus?
c) Schließen sich die Ereignisse E3 und E4 gegenseitig aus?
d) Schließen sich die Ereignisse E4 und E5 gegenseitig aus?
e) Schließen sich die Ereignisse E5 und E1 gegenseitig aus?
Lösung zu Beispiel 3:
Der Beispielraum des Experiments „Karte wird aus einem Kartenspiel gezogen“ ist unten dargestellt.
a) E1 und E2 schließen sich gegenseitig aus, da es keine Karten mit einer 8 und einem König zusammen gibt.
b) E2 und E3 schließen sich nicht gegenseitig aus, da ein König eine Bildkarte ist.
c) E3 und E4 schließen sich gegenseitig aus, da ein Ass keine Bildkarte ist.
d) E4 und E5 schließen sich nicht gegenseitig aus, da es eine Karte gibt, die ein Ass und ein Herz hat.
d) E5 und E1 schließen sich nicht gegenseitig aus, da es eine Karte gibt, die eine Herz-8 ist.
Beispiel 4: Es werden zwei Würfel geworfen. Wir definieren die Ereignisse E1, E2, E3 und E4 wie folgt
E1: Eine Summe von 10 erhalten
E2: Ein Double bekommen
E3: Eine Summe kleiner als 4 erhalten
E4: Eine Summe kleiner auf 7 bringen
a) Schließen sich die Ereignisse E1 und E2 gegenseitig aus?
b) Schließen sich die Ereignisse E2 und E3 gegenseitig aus?
c) Schließen sich die Ereignisse E3 und E4 gegenseitig aus?
d) Schließen sich die Ereignisse E4 und E1 gegenseitig aus?
Lösung zu Beispiel 4:
Der Beispielraum des Experiments „2 Würfel“ ist unten dargestellt.
a) E1 und E2 schließen sich nicht gegenseitig aus, da das Ergebnis (5,5) ein Double ist und auch eine Summe von 10 ergibt. Die beiden Ereignisse können gleichzeitig auftreten.
b) E2 und E3 schließen sich nicht gegenseitig aus, da das Ergebnis (1,1) ein Double ist und eine Summe von 2 ergibt und kleiner als 4 ist. Die beiden Ereignisse E2 und E3 können gleichzeitig auftreten.
c) E3 und E4 schließen sich nicht gegenseitig aus, eine Summe kann gleichzeitig weniger als 7 und weniger als 4 betragen. Beispielergebnis (1,2).
d) E4 und E1 schließen sich gegenseitig aus, da eine Summe kleiner als 7 nicht gleichzeitig gleich 10 sein kann. Die beiden Ereignisse können nicht gleichzeitig auftreten.
