Tutorial zum Ermitteln der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
Im Folgenden ist S der Probenraum des betreffenden Experiments und E der Ereignis von Interesse. n(S) ist die Anzahl der Elemente im Probenraum S und n(E) ist die Anzahl der Elemente im Ereignis E.
Fragen und ihre Lösungen
Frage 1
Wenn ein Würfel geworfen wird, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl erhalten wird.
Lösung zu Frage 1
Schreiben wir zunächst den Probenraum S des Experiments.
S = {1,2,3,4,5,6}
Sei E das Ereignis "eine gerade Zahl wird erhalten" und notieren Sie es.
E = {2,4,6}
Wir verwenden nun die Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit.
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 6 = 1 / 2
Frage 2
Es werden zwei Münzen geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei Münzen erhält.
Hinweis: Jede Münze hat zwei mögliche Ergebnisse: H (Kopf) und T (Zahl).
Lösung zu Frage 2
Der Probenraum S ist gegeben durch.
S = {(H,T),(H,H),(T,H),(T,T)}
Sei E das Ereignis „Es werden zwei Köpfe erhalten“.
E = {(H,H)}
Wir verwenden die Formel der klassischen Wahrscheinlichkeit.
P(E) = n(E) / n(S) = 1 / 4
Frage 3
Welche dieser Zahlen kann keine Wahrscheinlichkeit sein?
a) -0,00001
b) 0,5
c) 1.001
d) 0
e) 1
f) 20 %
Lösung zu Frage 3
Eine Wahrscheinlichkeit ist immer größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 1, daher können nur a) und c) oben keine Wahrscheinlichkeiten darstellen: -0,00010 ist kleiner als 0 und 1,001 ist größer als 1.
Frage 4
Zwei Würfel werden geworfen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Summe ergibt
a) gleich 1
b) gleich 4
c) weniger als 13
Lösung zu Frage 4
a) Der Beispielraum S zweier Würfel ist unten dargestellt.
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }
Sei E das Ereignis „Summe gleich 1“. Es gibt daher keine Ergebnisse, die einer Summe gleich 1 entsprechen
P(E) = n(E) / n(S) = 0 / 36 = 0
b) Drei mögliche Ergebnisse ergeben eine Summe gleich 4: E = {(1,3),(2,2),(3,1)}, also.
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 36 = 1 / 12
c) Alle möglichen Ergebnisse, E = S, ergeben daher eine Summe von weniger als 13.
P(E) = n(E) / n(S) = 36 / 36 = 1
Frage 5
Ein Würfel wird geworfen und eine Münze wird geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel eine ungerade Zahl und die Münze eine Kopfzahl zeigt.
Lösung zu Frage 5
Sei H der Kopf und T der Schwanz der Münze. Der Probenraum S des in Frage 5 beschriebenen Experiments ist wie folgt
S = { (1,H),(2,H),(3,H),(4,H),(5,H),(6,H)
(1,T),(2,T),(3,T),(4,T),(5,T),(6,T)}
Sei E das Ereignis „Der Würfel zeigt eine ungerade Zahl und die Münze zeigt Kopf“. Ereignis E kann wie folgt beschrieben werden
E={(1,H),(3,H),(5,H)}
Die Wahrscheinlichkeit P(E) ist gegeben durch
P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 12 = 1 / 4
Frage 6
Eine Karte wird zufällig aus einem Kartenstapel gezogen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, die Karo-3 zu erhalten.
Lösung zu Frage 6
Der Probenraum S des Experiments in Frage 6 ist unten dargestellt
Sei E das Ereignis „die 3 der Karo bekommen“. Eine Untersuchung des Probenraums zeigt, dass es eine „3 aus Raute“ gibt, sodass n(E) = 1 und n(S) = 52. Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis E gegeben durch
P(E) = 1 / 52
Frage 7
Eine Karte wird zufällig aus einem Kartenstapel gezogen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Königin zu bekommen.
Lösung zu Frage 7
Der Probenraum S des Experiments in Frage 7 ist oben dargestellt (siehe Frage 6)
Sei E das Ereignis „eine Königin bekommen“. Eine Untersuchung des Probenraums zeigt, dass es 4 „Königinnen“ gibt, sodass n(E) = 4 und n(S) = 52. Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis E gegeben durch
P(E) = 4 / 52 = 1 / 13
Frage 8
Ein Glas enthält 3 rote Murmeln, 7 grüne Murmeln und 10 weiße Murmeln. Wenn zufällig eine Murmel aus dem Glas gezogen wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Murmel weiß ist?
Lösung zu Frage 8
Wir erstellen zunächst eine Häufigkeitstabelle, die die Farbverteilungen der Murmeln wie folgt angibt
Farbe
Häufigkeit
rot
3
grün
7
weiß
10
Wir verwenden nun die empirische Formel der Wahrscheinlichkeit
P(E) = Häufigkeit für weiße Farbe / Gesamthäufigkeiten in der obigen Tabelle
= 10 / 20 = 1 / 2
Frage 9
Die Blutgruppen von 200 Personen verteilen sich wie folgt: 50 haben Blutgruppe A, 65 haben Blutgruppe B 70 haben die Blutgruppe O und 15 haben die Blutgruppe AB. Wenn eine Person aus dieser Gruppe zufällig ausgewählt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person die Blutgruppe O hat?
Lösung zu Frage 9
Wir erstellen wie folgt eine Häufigkeitstabelle für die Blutgruppen
Gruppe
Häufigkeit
a
50
B
65
O
70
AB
15
Wir verwenden die empirische Formel der Wahrscheinlichkeit
P(E) = Häufigkeit für O-Blut / Gesamthäufigkeiten
= 70 / 200 = 0,35
Übungen
a) Ein Würfel wird geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die erhaltene Zahl größer als 4 ist.
b) Zwei Münzen werden geworfen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nur eine Kopf erhalten wird.
c) Es werden zwei Würfel geworfen und die Wahrscheinlichkeit ermittelt, dass die Summe gleich 5 ist.
d) Eine Karte wird zufällig aus einem Kartenstapel gezogen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, den Herzkönig zu bekommen.
Antworten auf die obigen Übungen
a) 2 / 6 = 1 / 3
b) 2 / 4 = 1 / 2
c) 4 / 36 = 1 / 9
d) 1/52
