Mencari Luas Lingkaran Menggunakan Integral dalam Kalkulus
\( \) \( \)\( \)\( \)
Temukan luas lingkaran dengan jari-jari \( a \) menggunakan integral dalam kalkulus.
Masalah : Temukan luas lingkaran dengan jari-jari \( a \).
Solusi untuk masalah ini: persamaan lingkaran yang ditunjukkan di atas diberikan oleh
Lingkaran simetris terhadap sumbu x dan y, sehingga luas seperempat lingkaran dapat dicari dan dikalikan dengan 4 untuk mendapatkan luas lingkaran.
Selesaikan persamaan di atas untuk \( y \)
\( y = \pm \sqrt{ a^2 - x^2 } \)
Persamaan setengah lingkaran atas (y positif) diberikan oleh
\( y = \sqrt { a^2 - x^2 } \)
Faktorkan \( a^2 \) di dalam radikan
\( y = \sqrt { a^2(1 - x^2/a^2) } \)
Ambil \( a^2 \) dari bawah radikan dan tulis ulang \( y \) sebagai berikut
\( y = a \sqrt { 1 - x^2 / a^2 } \)
Kita menggunakan integral untuk mencari luas seperempat kanan atas lingkaran sebagai berikut
(1 / 4) Luas lingkaran = \( \displaystyle \int_0^a a \sqrt{1-x^2/a^2} dx \)
Mari kita gantikan \( \; x / a \) dengan \( \; \sin t \) sehingga \( \sin t = x / a \) dan \( dx = a \cos t \; dt \; \) dan luasnya diberikan oleh
(1 / 4) Luas lingkaran = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1-\sin^2t} \cos t \; dt\)
Kami sekarang menggunakan identitas trigonometri
\( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \)
yang memberikan
\( \sqrt{1-\sin^2t} = \cos t \quad \) karena t bervariasi dari 0 hingga \( \pi/2 \) karenanya
(1 / 4) Luas lingkaran = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2t \; dt\)
Gunakan identitas trigonometri \( \; \cos^2 t = ( \cos 2t + 1 ) / 2 \;\) untuk melinierkan integral;
(1 / 4) Luas lingkaran = \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} a^2 ( \cos 2t + 1 ) / 2 \; dt\)
Evaluasi integralnya
(1 / 4) Luas lingkaran = \( \displaystyle (1/2)a^2 \left[(1/2) \sin 2t + t\right]_0^{\pi/2} \)
Menyederhanakan
(1/4) Luas lingkaran = \( (1/4) \pi a^2 \)
Luas total lingkaran diperoleh dengan mengalikan dengan 4
Luas lingkaran = \( 4 \times (1/4) \pi a^2 = \pi a^2 \)
