Risolutore e Calcolatore di Rette Concorrenti

Calcolatore online per determinare se tre rette date \( L_1 \), \( L_2 \), e \( L_3 \) sono concorrenti, ovvero se passano tutte per lo stesso punto.

Soluzione Analitica al Problema delle Rette Concorrenti

Le tre rette siano date dalle equazioni:

\[ L_1: \quad a_1 x + b_1 y = c_1 \] \[ L_2: \quad a_2 x + b_2 y = c_2 \] \[ L_3: \quad a_3 x + b_3 y = c_3 \]

Per prima cosa, trova il punto di intersezione delle rette \( L_1 \) e \( L_2 \) risolvendo il sistema di equazioni:

\[ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \]

Usando la regola di Cramer (determinanti), le coordinate del punto di intersezione sono:

\[ x_0 = \frac{ \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{c_1 b_2 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \] \[ y_0 = \frac{ \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{a_1 c_2 - c_1 a_2}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \]

Poi, verifica se il punto \( P(x_0, y_0) \) giace sulla retta \( L_3 \) controllando se:

\[ a_3 x_0 + b_3 y_0 = c_3 \]

📝 Esempio

Considera le tre rette (valori predefiniti nel calcolatore):

\[ L_1: 2x + y = -1 \] \[ L_2: 3x + 2y = -1 \] \[ L_3: -3x + 4y = 7 \]

Usando la regola di Cramer:

\[ x_0 = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{(-1)(2) - (1)(-1)}{(2)(2) - (1)(3)} = \frac{-2 + 1}{4 - 3} = -1 \] \[ y_0 = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{(2)(-1) - (-1)(3)}{4 - 3} = \frac{-2 + 3}{1} = 1 \]

Verifica L₃: \( -3(-1) + 4(1) = 3 + 4 = 7 \) ✓

Pertanto, le tre rette sono concorrenti nel punto P(-1, 1).

Usa il Calcolatore di Rette Concorrenti

Inserisci i coefficienti a, b, e c per le rette L₁, L₂, e L₃ (come definite sopra) e premi "Calcola".

Verifica Concorrenza di Tre Rette

Inserisci i coefficienti per le rette nella forma ax + by = c

Retta L₁: a₁x + b₁y = c₁

a₁

b₁

c₁

Retta L₂: a₂x + b₂y = c₂

a₂

b₂

c₂

Retta L₃: a₃x + b₃y = c₃

a₃

b₃

c₃

Cifre Decimali

Punto di Intersezione X₀ --

Punto di Intersezione Y₀ --

Stato —

📚 Attività di Pratica

Verifica analiticamente, e usando il calcolatore sopra, se queste rette sono concorrenti e trova i loro punti di intersezione:

a) L₁: \(-2x + 7y = 11\)
L₂: \(3x + 7y = 1\)
L₃: \(6x - y = -13\)

b) L₁: \(-7x + y = -32\)
L₂: \(-2x + y = -12\)
L₃: \(x - 7y = 32\)

c) L₁: \(-x - 2y = 3\)
L₂: \(y = -2\) (Nota: Questa è 0·x + 1·y = -2)
L₃: \(3x - 4y = 11\)

⚠️ Casi Particolari

Rette parallele: Se L₁ e L₂ sono parallele, non hanno alcun punto di intersezione.
Rette coincidenti: Se L₁ e L₂ sono la stessa retta, hanno infiniti punti di intersezione.
Rette verticali/orizzontali: Gestite automaticamente (es. quando a=0 o b=0).

Altri Riferimenti e Link

Equazione Generale di una Retta: ax + by = c
Regola di Cramer per la Risoluzione di Sistemi
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Equazioni della Retta in Forme Diverse
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