Alcune delle propriet� del grafico di f (x) = tan (x) sono i seguenti:

1 - Il dominio di tan x � l'insieme di tutti i numeri reali tranne che x = pi / 2 + pi * n, dove n � un numero intero.

2 - La gamma di tan(x) � l'insieme di tutti i numeri reali.

3 - Il asintoti verticale del grafico di tan x Si trova in x = pi / 2 + pi * n, dove n � un numero intero.

4 - Il periodo di tan x � uguale a PI.

Esempio 1: Grafico

Soluzione Esempio 1:

tan x non � definito per valori di x pari a pi / 2 e-pi / 2. Tuttavia abbiamo bisogno di capire il comportamento del grafico di tan x come x approches pi / 2 e-pi / 2. Vediamo i valori di tan x per x vicino a pi / 2 tali che x � pi� piccolo quindi pi / 2.

x	pi/2-0.5	pi/2-0.1	pi/2-0.01	pi/2-0.001	pi / 2
tan x	1,8	10,0	100,0	1000,0	undefined

Notiamo che per x che tende pi / 2 da sinistra (per valori inferiori a pi / 2) tan x aumenta undefinetely. Diciamo che il grafico di tan x � un asintoto per x = pi / 2. Esso � rappresentato da una linea spezzata rossa verticale x = pi / 2 nel grafico qui sotto.

Ora guardiamo i valori di tan x per x vicino a-pi / 2 tali che x � pi� grande poi-pi / 2.

x	-pi / 2 0,5	-pi / 2 0,1	-pi / 2 0,01	-pi / 2 0,001	-pi / 2
tan x	-1,8	-10,0	-100,0	-1000,0	undefined

Notiamo che per x che tende-pi / 2 da destra (per valori superiori a-pi / 2) tan x diminuisce undefinetely. Il grafico di tan x � un asintoto per x =-pi / 2. Esso � rappresentato da una linea spezzata rossa verticale x =-pi / 2 nel grafico qui sotto.

tan x ha un comportamento asintotico vicino a pi / 2 e-pi / 2. Utilizzando i valori di tan x sopra, pi� i seguenti valori:

tan 0 = 0, pi tan / 4 = 1 e tan-pi / 4 = -1,

Iniziamo riportando i punti (0,0), (pi / 4,1) e (-pi / 4, -1) e gli asintoti verticali.

Esempio 2: Grafico funzione f data da

Soluzione Esempio 2:

Sia T = 2 x - pi / 4. Facciamo un tavolo su un periodo (-pi / 2, pi / 2), utilizzando la variabile t.

t	-pi / 2	-pi / 4	-0	pi / 4	pi / 2
2 tan t	AV	-2,0	0,0	2,0	AV

Adesso noi usiamo la relazione tra x e t, t = 2 x - pi / 4, per trovare i valori di x corrispondenti a valori di t utilizzato nella tabella di cui sopra. Solve t = 2 x - pi / 4 per x.

x = t / 2 + pi / 8

Una riga che mostra i valori di x pu� essere aggiunto alla tabella di cui sopra: Questi valori di x sono stati trovati con x = t / 2 + pi / 8 trovati sopra ed i valori di t nella tabella.

t	-pi / 2	-pi / 4	-0	pi / 4	pi / 2
2 tan t	AV	-2,0	0,0	2,0	AV
x	-pi / 8	0	PI / 8	2 pi / 8	PI 3 / 8

Ora abbiamo i valori della funzione di 2 t tan ed i corrispondenti valori x. Abbiamo informazioni sufficienti per rappresentare graficamente la funzione data.

Esempio 3: Grafico funzione f definita da

Soluzione Esempio 3:

Sia T = x + pi / 2. Per prima cosa creare una tabella con T durante un periodo.

t	-pi / 2	-pi / 4	-0	pi / 4	pi / 2
- Tan t	AV	1,0	0,0	-1,0	AV

Solve t = x + pi / 2 per X.

x = t - pi / 2

Una riga che mostra i valori di x viene aggiunto alla tabella di cui sopra.

t	-pi / 2	-pi / 4	-0	pi / 4	pi / 2
- Tan t	AV	1,0	0,0	-1,0	AV
x	-pi	-3PI / 4	-pi / 2	- Pi / 4	0

Ora abbiamo i valori della funzione - t tan ed i corrispondenti valori x.