Di seguito vengono presentate le domande della 10ª classe sulle radici dei numeri e sui radicali. Rivedi le definizioni e le proprietà, prova a risolvere le domande di pratica e clicca sulle frecce per visualizzare le soluzioni passo dopo passo.
1) Per $n$ pari e $y$ positivo, esistono due radici $n^\text{esime}$ di $y$.
Esempio: Poiché $10^4 = 10000$ e $(-10)^4 = 10000$, le radici quarte di $10000$ sono $10$ e $-10$.
2) Per $n$ pari e $y < 0$, non esistono radici $n^\text{esime}$ reali di $y$.
Esempi:
3) Per $n$ dispari, esiste sempre una sola radice $n^\text{esima}$ di $y$.
Esempi:
Per $n$ pari, la radice principale è definita come la radice positiva. Per $n$ dispari, esiste una sola radice ed essa corrisponde alla radice principale.
Il simbolo $\sqrt{\hphantom{9}}$ è chiamato radicale e viene utilizzato per indicare la radice principale di un numero nel modo seguente:
dove $n$ è chiamato indice del radicale e $y$ è chiamato radicando.
$$ \sqrt[6]{64} = 2 $$
$$ \sqrt[3]{-27} = -3 $$
Nota: per via del suo utilizzo diffuso, la radice quadrata ($n=2$) di $y$ viene scritta come $\sqrt{y}$ senza indicare l'indice.
Quali sono le radici quarte ($4^\text{esime}$) di $16$?
$2$ e $-2$ perché $2^4 = 16$ e $(-2)^4 = 16$.
Quali sono le radici settime ($7^\text{esime}$) di $-1$?
$-1$ perché $(-1)^7 = -1$.
Quale numero ha una radice quinta pari a $-3$?
Il numero è $(-3)^5 = -243$.
Se la radice sesta di $y$ è pari a $-5$, allora $y = \underline{\hspace{2cm}}$
$y = (-5)^6 = 15625$.
Quali sono le radici ventesime ($20^\text{esime}$) di $-1$?
Se $x$ è la radice ventesima di $-1$, allora $x^{20} = -1$. Non esiste alcun numero reale $x$ elevato a una potenza pari che possa dare un numero negativo. La radice ventesima di $-1$ non è un numero reale.
Qual è la radice quarta principale di $81$?
$81 = 3^4$ e $81 = (-3)^4$. Pertanto $81$ ha due radici quarte, ma quella principale è quella positiva, ovvero $3$.
Valuta: $\sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}}$
Non è un numero reale.
Valuta: $\sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} $$
Non è un numero reale.
Valuta: $\sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{-1} = -1 $$
Valuta: $\sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 $$
Valuta: $\sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 $$
Valuta: $\sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 $$
Valuta: $\sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 $$
Valuta: $\sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[7]{5^7} = 5 $$
Valuta: $\sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} $$
Questo può essere semplificato utilizzando gli esponenti frazionari:
$$ = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,828 $$
Valuta: $\sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
Valuta: $\sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}}$
Converti il numero misto in una frazione impropria:
$$ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2,5 $$
Usa una calcolatrice per approssimare i seguenti valori a 3 cifre decimali: