Problema 1
Trova $x$ e $H$ nel triangolo rettangolo sottostante.
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$$ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8,1 \; \text{ (2 cifre significative)} $$
$$ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{ (2 cifre significative) } $$
Problema 2
Trova le lunghezze di tutti i lati del triangolo rettangolo sottostante se la sua area è 400.
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L'area è data da:
$$ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 $$
Risolvi per $x$:
$$ x = 20, \quad 2x = 40 $$
Usa il teorema di Pitagora:
$$ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 $$
Risolvi per $H$:
$$ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} $$
Problema 3
$BH$ è perpendicolare a $AC$. Trova $x$, la lunghezza di $BC$.
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$BH$ perpendicolare a $AC$ significa che i triangoli $\triangle ABH$ e $\triangle HBC$ sono triangoli rettangoli. Quindi:
$$ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$
$$ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$
Applica il teorema di Pitagora al triangolo $\triangle HBC$:
$$ 11^2 + HC^2 = x^2 $$
Sostituisci $HC$ e risolvi per $x$:
$$ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} $$
$$ x \approx 12,3 \quad \text{(arrotondato a 3 cifre significative)} $$
Problema 4
ABC è un triangolo rettangolo con un angolo retto in $A$. Trova $x$, la lunghezza di $DC$.
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Poiché $\angle A$ è retto, entrambi i triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle ABD$ sono rettangoli e, di conseguenza, possiamo applicare il teorema di Pitagora:
$$ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 $$
Risolvi per $AD$ e $AC$:
$$ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} $$
Inoltre, $x = AC - AD$:
$$ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} $$
$$ x \approx 2,69 \quad \text{(arrotondato a 3 cifre significative)} $$
Problema 5
Nella figura sottostante, $AB$ e $CD$ sono perpendicolari a $BC$ e l'ampiezza dell'angolo $\angle ACB$ è $31^\circ$. Trova la lunghezza del segmento $BD$.
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Usa il triangolo rettangolo $\triangle ABC$ per scrivere:
$$ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} $$
Usa il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo $\triangle BCD$ per scrivere:
$$ 9^2 + BC^2 = BD^2 $$
Risolvi per $BD$ e sostituisci $BC$:
$$ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} $$
$$ BD \approx 13,4 \quad \text{(arrotondato a 3 cifre significative)} $$
Problema 6
L'area di un triangolo rettangolo è 50. Uno dei suoi angoli è $45^\circ$. Trova le lunghezze dei lati e dell'ipotenusa del triangolo.
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Il triangolo è rettangolo e uno dei suoi angoli è $45^\circ$. Anche il terzo angolo è $45^\circ$ e, di conseguenza, il triangolo è rettangolo e isoscele.
Sia $x$ la lunghezza di uno dei cateti e $H$ l'ipotenusa.
$$ \text{Area} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$
Usa il teorema di Pitagora:
$$ x^2 + x^2 = H^2 $$
$$ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} $$
Problema 7
In un triangolo rettangolo $\triangle ABC$, $\tan(A) = \frac{3}{4}$. Trova $\sin(A)$ e $\cos(A)$.
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Sia $a$ la lunghezza del lato opposto all'angolo $A$, $b$ la lunghezza del lato adiacente all'angolo $A$ e $h$ la lunghezza dell'ipotenusa.
$$ \tan(A) = \frac{\text{lato opposto}}{\text{lato adiacente}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $$
Possiamo scrivere che: $a = 3k$ e $b = 4k$, dove $k$ è un coefficiente di proporzionalità.
Troviamo $h$. Usando il teorema di Pitagora, scriviamo:
$$ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$
$$ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k $$
$$ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} $$
Problema 8
In un triangolo rettangolo $\triangle ABC$ con l'angolo $A = 90^\circ$, trova gli angoli $B$ e $C$ tali che $\sin(B) = \cos(B)$.
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Sia $b$ la lunghezza del lato opposto all'angolo $B$, $c$ la lunghezza del lato opposto all'angolo $C$ e $h$ l'ipotenusa.
$$ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} $$
$$ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c $$
Poiché i due lati hanno la stessa lunghezza, il triangolo è isoscele e gli angoli $B$ e $C$ sono uguali, ciascuno di misura $45^\circ$.
Problema 9
Un rettangolo ha dimensioni 10 cm per 5 cm. Determina le misure degli angoli nel punto in cui si intersecano le diagonali.
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Il diagramma sottostante mostra un rettangolo con le diagonali e la metà di uno degli angoli etichettata con $x$.
$$ \tan(x) = \frac{5}{2,5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) $$
L'angolo maggiore formato dalle diagonali è $2x$:
$$ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(3 cifre significative)} $$
$$ \text{Angolo minore formato dalle diagonali: } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ $$
Problema 10
Le lunghezze del lato AB e del lato BC di un triangolo scaleno ABC sono rispettivamente 12 cm e 8 cm. L'ampiezza dell'angolo C è $59^\circ$. Trova la lunghezza del lato AC.
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Sia $x$ la lunghezza del lato AC. Usa il teorema del coseno:
$$ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) $$
Risolvi l'equazione di secondo grado per $x$:
$$ x = 14,0 \quad \text{e} \quad x = -5,7 $$
Poiché $x$ non può essere negativo, la soluzione è:
$$ x = 14,0 \quad \text{(arrotondato a una cifra decimale)} $$
Problema 11
Dalla cima di un edificio alto 200 metri, l'angolo di depressione rispetto alla base di un secondo edificio è di 20 gradi. Dallo stesso punto, l'angolo di elevazione rispetto alla cima del secondo edificio è di 10 gradi. Calcola l'altezza del secondo edificio.
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$$ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} $$
$$ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \quad \Rightarrow \quad H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) $$
$$ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} $$
$$ \text{Altezza del secondo edificio} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ metri} $$
Problema 12
Karla sta volando verticalmente in una mongolfiera, direttamente sopra un punto P al suolo. Karla avvista un'auto parcheggiata a terra con un angolo di depressione di $30^\circ$. La mongolfiera sale di 50 metri. Ora l'angolo di depressione dell'auto è $35^\circ$. Quanto dista l'auto dal punto P?
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Sia $h$ l'altezza iniziale della mongolfiera sopra il punto $P$. Dopo la salita, la nuova altezza è $h + 50$ metri.
La distanza orizzontale dall'auto al punto $P$ è $d$ (che rimane costante).
L'angolo di depressione dalla mongolfiera all'auto è uguale all'angolo di elevazione dall'auto alla mongolfiera (per angoli alterni interni).
Quindi, per la posizione iniziale:
$$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(poiché } \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} $$
Pertanto,
$$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} $$
Dopo essere salita di 50 metri, la nuova altezza è $h + 50$ e l'angolo di depressione è $35^\circ$:
$$ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} $$
Quindi,
$$ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} $$
Ora sostituisci l'equazione (1) nell'equazione (2):
$$ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) $$
Riorganizza per risolvere rispetto a $d$:
$$ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} $$
$$ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$
$$ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} $$
Usa i valori numerici: $\tan(35^\circ) \approx 0,7002$ e $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,57735$ per ottenere:
$$ d = \frac{50}{0,7002 - 0,57735} = \frac{50}{0,12285} \approx 406,97 $$
Pertanto, l'auto si trova a circa $407$ metri dal punto $P$.
Problema 13
Se l'ombra di un edificio aumenta di 10 metri quando l'angolo di elevazione dei raggi solari diminuisce da $70^\circ$ a $60^\circ$, qual è l'altezza dell'edificio?
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Sia $h$ l'altezza dell'edificio. Inizialmente, quando l'angolo di elevazione è $70^\circ$, la lunghezza dell'ombra è $s$.
Quando l'angolo di elevazione diminuisce a $60^\circ$, la lunghezza dell'ombra diventa $s + 10$.
Per il caso iniziale (angolo $70^\circ$):
$$ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} $$
Quindi,
$$ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} $$
Per il nuovo caso (angolo $60^\circ$):
$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} $$
Quindi,
$$ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} $$
Ora, sottrai l'equazione (1) dall'equazione (2):
$$ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} $$
$$ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) $$
Quindi,
$$ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } $$
Semplifica l'espressione:
$$ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } $$
Valuta numericamente:
$$ h \approx 46,86474 $$
Pertanto, l'altezza dell'edificio è di circa $46,9$ metri.