Formule dettagliate, definizioni e soluzioni passo dopo passo
Una successione è un elenco ordinato di numeri. Una successione aritmetica ha una differenza comune, mentre una successione geometrica ha un rapporto comune. Una serie è la somma dei termini di una successione.
Differenza comune (d): \( d = a_{n} - a_{n-1} \)
Termine $n^{\text{esimo}}$:
\[ a_n = a + (n-1)d \]Somma di $n$ termini ($S_n$):
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \] \[ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]Rapporto comune (r): \( r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \)
Termine $n^{\text{esimo}}$:
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]Somma di $n$ termini ($S_n$):
\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \ne 1 \]Una serie geometrica infinita ha una somma finita (converge) solo se il rapporto comune soddisfa \( |r| < 1 \). Se \( |r| \ge 1 \), la serie diverge e non ha somma.
Somma all'infinito ($S_{\infty}$):
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]Domanda 1 (Aritmetica): Trova il 15º termine della successione aritmetica: \( 10, 6, 2, -2, \dots \)
Identifica il primo termine \( a = 10 \) e la differenza comune \( d = 6 - 10 = -4 \).
\[ a_{15} = 10 + (15-1)(-4) \] \[ a_{15} = 10 + 14(-4) = 10 - 56 = -46 \]Domanda 2 (Geometrica): Trova l'8º termine della successione geometrica: \( 5, 10, 20, 40, \dots \)
Identifica \( a = 5 \) e \( r = 10/5 = 2 \). Risolvi per \( a_8 \):
\[ a_8 = 5 \cdot (2)^{8-1} = 5 \cdot 2^7 \] \[ a_8 = 5 \cdot 128 = 640 \]Domanda 3 (Sfida): In una successione aritmetica, \( a_3 = 13 \) e \( a_9 = 37 \). Trova il primo termine \( a \) e la differenza comune \( d \).
Imposta due equazioni usando \( a_n = a + (n-1)d \):
(1) \( a + 2d = 13 \)
(2) \( a + 8d = 37 \)
Sottrai (1) da (2): \( 6d = 24 \Rightarrow d = 4 \).
Sostituisci \( d = 4 \) in (1): \( a + 2(4) = 13 \Rightarrow a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5 \).
Domanda 4 (Somma aritmetica): Trova la somma dei primi 50 numeri interi positivi pari.
La successione è \( 2, 4, 6, \dots \), quindi \( a = 2 \), \( d = 2 \) e \( n = 50 \).
\[ S_{50} = \frac{50}{2}[2(2) + (50-1)(2)] \] \[ S_{50} = 25[4 + 98] = 25[102] = 2550 \]Domanda 5 (Somma geometrica): Trova la somma dei primi 6 termini della serie geometrica: \( 3, -6, 12, -24, \dots \)
Identifica \( a = 3 \), \( r = -2 \) e \( n = 6 \):
\[ S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} \] \[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{-3} = \frac{3(63)}{-3} = -63 \]Domanda 6 (Sfida): Trova la somma di tutti i multipli di 7 di tre cifre.
Primo multiplo \( a = 105 \). Ultimo multiplo \( a_n = 994 \). Differenza comune \( d = 7 \).
Trova \( n \): \( 994 = 105 + (n-1)7 \Rightarrow 889 = 7(n-1) \Rightarrow n = 128 \).
Trova la somma: \[ S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994) = 64(1099) = 70336 \]
Domanda 7: Determina la somma della serie infinita: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \)
Identifica \( a = 1 \) e \( r = 0,5 \). Poiché \( |0,5| < 1 \), la serie converge:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0,5} = \frac{1}{0,5} = 2 \]Domanda 8: Una serie geometrica infinita ha una somma pari a 20 e un primo termine pari a 5. Trova il rapporto comune \( r \).