Trovare la funzione inversa dai grafici

Spiegazioni grafiche e domande risolte passo dopo passo

Trovare i valori di una funzione inversa a partire da un grafico è un processo visivo. Si basa sulla proprietà fondamentale per cui se una funzione originaria mappa $x$ in $y$, la funzione inversa mappa $y$ nuovamente in $x$.

La relazione inversa

Se $f$ è una funzione e $f^{-1}$ è la sua inversa, la loro relazione è definita come:

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

Strategia visiva: Per trovare $f^{-1}(b)$, stai essenzialmente cercando il valore di $x$ che produce un valore di $y$ pari a $b$.

Esempio svolto: Relazione curvilinea $f(x)$

Usa il grafico della funzione $f$ sottostante per trovare:

Grafico della funzione f
Visualizza soluzioni

a) $f^{-1}(5)$: Individua $y = 5$ sull'asse y. Spostati orizzontalmente verso il grafico e poi verso il basso fino all'asse x. Troviamo $x = 3$. Pertanto, $f^{-1}(5) = 3$.

Soluzione visiva per f^-1(5)

b) $f^{-1}(0)$: In $y = 0$, il grafico si trova in $x = 2$. Quindi, $f^{-1}(0) = 2$.

c) $f^{-1}(-3)$: In $y = -3$, il grafico si trova in $x = 1$. Quindi, $f^{-1}(-3) = 1$.

d) $f^{-1}(-4)$: In $y = -4$, il grafico si trova in $x = 0$. Quindi, $f^{-1}(-4) = 0$.

e) $f^{-1}(-5)$: Il grafico non raggiunge $y = -5$. Questo valore non è definito.

Domande di pratica

Domanda 1: Relazione lineare $g(x)$

Trova: $g^{-1}(6)$, $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-2)$ e $g^{-1}(8)$.

Grafico della funzione g
Visualizza soluzione

a) $g^{-1}(6)$: Il valore di $x$ per $y = 6$ è 2. Quindi, $g^{-1}(6) = 2$.

Soluzione per g^-1

b) $g^{-1}(0)$: Il grafico interseca l'asse x ($y=0$) in $x = -1$. Quindi, $g^{-1}(0) = -1$.

c) $g^{-1}(-2)$: Il grafico si trova in $x = -2$ quando $y = -2$. Quindi, $g^{-1}(-2) = -2$.

d) $g^{-1}(8)$: L'altezza massima del grafico è $y = 6$. Pertanto, $g^{-1}(8)$ non è definito.

Domanda 2: Relazione trigonometrica $h(x)$

Trova: $h^{-1}(1)$, $h^{-1}(0)$ e $h^{-1}(-1)$.

Grafico della funzione trigonometrica h
Visualizza soluzione

a) $h^{-1}(1)$: Il grafico si trova all'altezza 1 quando $x = 0$. Quindi, $h^{-1}(1) = 0$.

b) $h^{-1}(0)$: Il grafico interseca $y=0$ in $x = \pi/2$. Quindi, $h^{-1}(0) = \pi/2$.

c) $h^{-1}(-1)$: Il grafico raggiunge $-1$ in $x = \pi$. Quindi, $h^{-1}(-1) = \pi$.

d) $h^{-1}(2)$: Il valore massimo di $y$ è 1. Pertanto, $h^{-1}(2)$ non è definito.

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