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Quando una funzione è rappresentata come una tabella di valori, trovare la sua inversa comporta l'inversione dei ruoli dell'input e dell'output.
Se $f$ è una funzione con un'inversa $f^{-1}$, la relazione è definita da:
\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]In parole semplici: Se la tabella originale indica che $x$ è associato a $y$, allora l'inversa associa $y$ nuovamente a $x$.
Usa la tabella sottostante per trovare i seguenti valori, se possibile:
a) $f^{-1}(-4)$ | b) $f^{-1}(6)$ | c) $f^{-1}(9)$ | d) $f^{-1}(10)$ | e) $f^{-1}(-10)$
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| -4 | 9 |
| -2 | 4 |
| 0 | -5 |
| 3 | 5 |
| 6 | -4 |
| 7 | 7 |
| 8 | -10 |
a) $f^{-1}(-4)$: Cerchiamo $-4$ nella colonna $f(x)$. Corrisponde a $x = 6$. Di conseguenza, $f^{-1}(-4) = 6$.
b) $f^{-1}(6)$: Cerchiamo $6$ nella colonna $f(x)$. Non esiste. Di conseguenza, $f^{-1}(6)$ non è definito.
c) $f^{-1}(9)$: $f(x) = 9$ quando $x = -4$. Di conseguenza, $f^{-1}(9) = -4$.
d) $f^{-1}(10)$: $10$ non è presente nella colonna $f(x)$. Di conseguenza, $f^{-1}(10)$ non è definito.
e) $f^{-1}(-10)$: $f(x) = -10$ quando $x = 8$. Di conseguenza, $f^{-1}(-10) = 8$.
Usa la tabella della funzione $g$ per trovare: $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-5)$, $g^{-1}(-10)$ e $g^{-1}(3)$.
| $x$ | $g(x)$ |
|---|---|
| -5 | 9 |
| -2 | 3 |
| 0 | -5 |
| 3 | 7 |
| 4 | -4 |
| 7 | 10 |
| 11 | 0 |
a) $g^{-1}(0)$: Nella tabella, $g(11) = 0$. Pertanto, $g^{-1}(0) = 11$.
b) $g^{-1}(-5)$: Nella tabella, $g(0) = -5$. Pertanto, $g^{-1}(-5) = 0$.
c) $g^{-1}(-10)$: Il valore $-10$ non compare nella colonna $g(x)$. Pertanto, $g^{-1}(-10)$ non è definito.
d) $g^{-1}(3)$: Nella tabella, $g(-2) = 3$. Pertanto, $g^{-1}(3) = -2$.