Identifica il vertice della funzione quadratica \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \).

Il vertice si trova in \( (1, -1) \).

Trova la coordinata x del vertice per \( f(x) = x^2 + 2x \).

\( h = -b/2a = -2/(2(1)) = -1 \).

Quali sono le proprietà di una funzione quadratica in forma del vertice?

Una funzione in forma del vertice \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) ha un vertice in \( (h, k) \) e un asse di simmetria in \( x = h \). Si apre verso l'alto se \( a > 0 \) e verso il basso se \( a < 0 \).

Rappresentazione grafica di funzioni quadratiche: Forma del vertice, forma standard ed esempi

Le funzioni quadratiche sono funzioni polinomiali di grado 2. I loro grafici sono parabole. Esploreremo la funzione di base \( f(x) = x^2 \), la forma del vertice trasformata \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) e la forma standard \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

1. La parabola di base: \( f(x) = x^2 \)

Prima di graficare le trasformazioni, analizziamo la funzione genitrice. Utilizziamo una tabella di valori per tracciare i punti chiave.

\( x \)	\( f(x) = x^2 \)
-3	9
-2	4
-1	1
0	0 (Vertice)
1	1
2	4
3	9

grafico della funzione quadratica di base f(x) = x^2

2. Proprietà della forma del vertice: \( g(x) = a(x - h)^2 + k \)

La forma del vertice consente l'identificazione immediata del centro e dell'orientamento della parabola:

Vertice: Situato nel punto \( (h, k) \).
Asse di simmetria: La retta verticale \( x = h \).
Direzione di apertura:
- Se \( a > 0 \): Si apre verso l'alto (il vertice è un minimo).
- Se \( a < 0 \): Si apre verso il basso (il vertice è un massimo).
Codominio (Range):
- \( y \ge k \) se \( a > 0 \).
- \( y \le k \) se \( a < 0 \).

Esempio 2: Rappresentazione grafica di \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \)

Visualizza la soluzione passo dopo passo

1. Identifica i parametri: \( a=4, h=1, k=-1 \). Il vertice è (1, -1).

2. Intercette:
Intercetta y: \( g(0) = 4(0-1)^2 - 1 = 3 \). Punto: (0, 3).
Intercette x: Risolvi \( 4(x-1)^2 - 1 = 0 \). Punti: (0.5, 0) e (1.5, 0).

grafico della funzione quadratica g(x) = 4(x-1)^2 - 1

3. Rappresentazione grafica in forma standard: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Per graficare la forma standard, calcoliamo prima le coordinate del vertice \( (h, k) \):

\[ h = -\frac{b}{2a} \quad \text{e} \quad k = f(h) \]

Esempio 5: Rappresentazione grafica di \( p(x) = -2x^2 + 3x + 1 \)

Trova il vertice, le intercette e traccia il grafico.

Visualizza la soluzione

1. Vertice:
\( h = -3 / (2 \cdot -2) = 0.75 \)
\( k = p(0.75) = -2(0.75)^2 + 3(0.75) + 1 = 2.125 \). Vertice: (0.75, 2.13).

2. Grafico: Poiché \( a = -2 \), la parabola si apre verso il basso.

Rappresentazione grafica di funzioni quadratiche

1. La parabola di base: \( f(x) = x^2 \)

2. Proprietà della forma del vertice: \( g(x) = a(x - h)^2 + k \)

Esempio 2: Rappresentazione grafica di \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \)

3. Rappresentazione grafica in forma standard: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Esempio 5: Rappresentazione grafica di \( p(x) = -2x^2 + 3x + 1 \)

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