Questa pagina fornisce soluzioni dettagliate passo dopo passo a domande sull'addizione, sottrazione e semplificazione di espressioni razionali. Troverai spiegazioni chiare, esempi di base e problemi di pratica avanzati progettati per aiutare studenti e insegnanti a padroneggiare questo argomento di algebra.
Suggerimento: puoi usare il nostro calcolatore per semplificare le espressioni razionali per controllare i tuoi risultati!
L'addizione, la sottrazione e la semplificazione di espressioni razionali si eseguono esattamente nello stesso modo dell'addizione e della sottrazione di frazioni numeriche. Ci sono due casi principali:
Caso 1: Stesso denominatore
Se le espressioni razionali hanno già lo stesso denominatore, basta addizionare o sottrarre i numeratori e mantenere lo stesso denominatore.
$$ \frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C} $$
Caso 2: Denominatori diversi
Se le espressioni hanno denominatori diversi, devi prima trovare il minimo comune multiplo (mcm) per convertirle a un denominatore comune prima di combinare i numeratori.
Sottrai e semplifica: $$ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} $$
Le due frazioni hanno lo stesso denominatore, quindi sottraiamo direttamente i numeratori:
$$ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3} $$
Sottrai e semplifica: $$ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} $$
Le due frazioni hanno denominatori diversi, quindi dobbiamo trovare il minimo comune multiplo (mcm) di 5 e 10.
Convertiamo le frazioni al denominatore comune 10:
$$ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10} $$
Ora semplifica:
$$ = \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2} $$
Sottrai e semplifica: $$ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} $$
Le due espressioni razionali hanno lo stesso denominatore, quindi sottraiamo i numeratori e manteniamo lo stesso denominatore:
$$ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2} $$
Semplifica il numeratore:
$$ = \dfrac{-x-2}{x+2} $$
Raccogli a fattor comune un $-1$ dal numeratore e semplifica il fattore comune:
$$ = \dfrac{-(x+2)}{x+2} = -1 \quad \text{per } x \neq -2 $$
Per le seguenti domande, dovrai sapere come trovare il mcm di espressioni.
Valuta: $$ \frac{7}{6} + \frac{1}{18} - \frac{5}{24} $$
Trova il mcm dei denominatori 6, 18 e 24.
Converti tutti e 3 i denominatori al denominatore comune 72:
$$ \frac{7 \times \color{red}{12}}{6 \times \color{red}{12}} + \frac{1 \times \color{red}{4}}{18 \times \color{red}{4}} - \frac{5 \times \color{red}{3}}{24 \times \color{red}{3}} $$
$$ = \frac{84}{72} + \frac{4}{72} - \frac{15}{72} = \frac{84 + 4 - 15}{72} = \frac{73}{72} $$
Semplifica: $$ \frac{x+3}{x+5} + \frac{x-3}{x+2} $$
I due denominatori $(x + 5)$ e $(x + 2)$ non hanno fattori comuni, quindi il loro mcm è dato da:
$$ \text{mcm} = (x + 5)(x + 2) $$
Riscrivi le espressioni razionali con lo stesso denominatore:
$$ \frac{(x+3)\color{red}{(x+2)}}{(x+5)\color{red}{(x+2)}} + \frac{(x-3)\color{red}{(x+5)}}{(x+2)\color{red}{(x+5)}} $$
$$ = \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x+5)}{(x+5)(x+2)} $$
Sviluppa, semplifica e raccogli a fattor comune il numeratore se possibile:
$$ = \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 + 2x - 15}{(x+5)(x+2)} = \frac{2x^2 + 7x - 9}{(x+5)(x+2)} $$
$$ = \frac{(x-1)(2x+9)}{(x+5)(x+2)} $$
Semplifica: $$ \frac{-3}{x-4} + x + 4 $$
Per addizionare un'espressione razionale a un'espressione senza denominatore, moltiplica l'intera espressione per il denominatore comune fratto se stesso:
$$ \frac{-3}{x-4} + (x+4) \cdot \frac{\color{red}{x-4}}{\color{red}{x-4}} $$
Le due espressioni ora hanno lo stesso denominatore e vengono addizionate come segue:
$$ = \frac{-3 + (x+4)(x-4)}{x-4} = \frac{-3 + x^2 - 16}{x-4} = \frac{x^2 - 19}{x-4} $$
Semplifica: $$ \frac{x-4}{x^2 - 3x + 2} - \frac{x+5}{x^2 + 2x - 3} $$
Scomponi completamente i denominatori in fattori per trovare il mcm:
$$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$
$$ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) $$
$$ \text{mcm} = (x - 1)(x - 2)(x + 3) $$
Riscrivi le espressioni razionali con il denominatore comune:
$$ \frac{x-4}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{\color{red}{x+3}}{\color{red}{x+3}} - \frac{x+5}{(x-1)(x+3)} \cdot \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x-2}} $$
$$ = \frac{(x-4)(x+3)}{(x-1)(x-2)(x+3)} - \frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)(x+3)(x-2)} $$
Sottrai i numeratori, sviluppa e semplifica:
$$ = \frac{(x-4)(x+3) - (x+5)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+3)} $$
$$ = \frac{(x^2 - x - 12) - (x^2 + 3x - 10)}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{-4x - 2}{(x-1)(x-2)(x+3)} $$
Semplifica: $$ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 3} - \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 9x + 18} $$
Riscrivi l'espressione data con numeratori e denominatori in forma fattorizzata e semplifica prima i fattori comuni:
$$ \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{(x + 6)(x - 1)}{(x + 6)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 3} $$
I due nuovi denominatori $(x + 1)$ e $(x + 3)$ non hanno fattori comuni, quindi il loro mcm è $(x + 1)(x + 3)$. Riscrivi con il denominatore comune:
$$ = \frac{(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} $$
Sviluppa e semplifica:
$$ = \frac{(x^2 + 5x + 6) - (x^2 - 1)}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 3)} $$
Semplifica: $$ \frac{2}{2x - 1} + \frac{x + 8}{2x^2 + 9x - 5} - \frac{5}{2x + 10} $$
Scomponi completamente i tre denominatori in fattori per trovare il mcm:
$$ 2x - 1 = 2x - 1 $$
$$ 2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5) $$
$$ 2x + 10 = 2(x + 5) $$
$$ \text{mcm} = 2(2x - 1)(x + 5) $$
Riscrivi le espressioni razionali con il denominatore comune:
$$ \frac{2}{2x-1} \cdot \frac{\color{red}{2(x+5)}}{\color{red}{2(x+5)}} + \frac{x+8}{(2x-1)(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} - \frac{5}{2(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{(2x-1)}}{\color{red}{(2x-1)}} $$
Combina i numeratori e semplifica:
$$ = \frac{2 \cdot 2(x+5) + 2(x+8) - 5(2x-1)}{2(2x-1)(x+5)} $$
$$ = \frac{4x + 20 + 2x + 16 - 10x + 5}{2(2x-1)(x+5)} $$
$$ = \frac{-4x + 41}{2(2x-1)(x+5)} = \frac{-(4x-41)}{2(2x-1)(x+5)} $$
Semplifica: $$ \frac{y-2}{y(xy-y+3x-3)} + \frac{x}{2x-2} $$
Scomponi completamente i due denominatori in fattori per trovare il mcm:
$$ y(xy - y + 3x - 3) = y(y(x - 1) + 3(x - 1)) = y(x - 1)(y + 3) $$
$$ 2x - 2 = 2(x - 1) $$
$$ \text{mcm} = 2y(x - 1)(y + 3) $$
Riscrivi le espressioni razionali con il denominatore comune:
$$ \frac{y-2}{y(x-1)(y+3)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} + \frac{x}{2(x-1)} \cdot \frac{\color{red}{y(y+3)}}{\color{red}{y(y+3)}} $$
$$ = \frac{2(y-2) + xy(y+3)}{2y(x-1)(y+3)} $$
Sviluppa e semplifica:
$$ = \frac{2y - 4 + xy^2 + 3xy}{2y(x-1)(y+3)} = \frac{xy^2 + 3xy + 2y - 4}{2y(x-1)(y+3)} $$