Le funzioni logaritmiche ed esponenziali sono fondamentali per l'algebra. Poiché sono funzioni inverse, possiamo risolvere equazioni complesse convertendo tra le loro forme. Questa guida fornisce regole di ripasso complete e problemi di pratica risolti per gli studenti di matematica dell'11º anno.
Le espressioni logaritmiche ed esponenziali sono equivalenti:
\[ \log_b(x) = y \iff x = b^y \]Dove \( b > 0 \), \( b \neq 1 \) e \( x > 0 \).
a) \( \log_x(a) = c \)
b) \( \log_b(2x + 1) = 3 \)
Usando \( \log_b(x) = y \iff x = b^y \):
a) \( \mathbf{a = x^c} \)
b) \( \mathbf{2x + 1 = b^3} \)
a) \( 3^x = m \)
b) \( x^2 = a \)
Usando \( x = b^y \iff y = \log_b(x) \):
a) \( \mathbf{x = \log_3(m)} \)
b) \( \mathbf{2 = \log_x(a)} \)
Trova il valore di: a) \( \log_2(16) \) | b) \( \log_3(27) \) | c) \( \log_{25}(5) \)
a) Sia \( y = \log_2(16) \implies 2^y = 16 \). Poiché \( 16 = 2^4 \), \( y = \mathbf{4} \).
b) Sia \( y = \log_3(27) \implies 3^y = 27 \). Poiché \( 27 = 3^3 \), \( y = \mathbf{3} \).
c) Sia \( y = \log_{25}(5) \implies 25^y = 5 \). Poiché \( 5 = \sqrt{25} = 25^{1/2} \), \( y = \mathbf{1/2} \).
Risolvi rispetto a \( x \): \( \log_2(3x + 1) = 4 \)
Converti in forma esponenziale:
\[ 3x + 1 = 2^4 \] \[ 3x + 1 = 16 \] \[ 3x = 15 \implies \mathbf{x = 5} \]Risolvi rispetto a \( x \): \( \log_4 \frac{x+1}{2x-1} = 0 \)
Converti in forma esponenziale:
\[ \frac{x+1}{2x-1} = 4^0 = 1 \] \[ x + 1 = 2x - 1 \] \[ \mathbf{x = 2} \]Risolvi rispetto a \( x \): \( 4^{2x+1} = 16 \)
Scrivi entrambi i lati con base 4:
\[ 4^{2x+1} = 4^2 \]Uguaglia gli esponenti:
\[ 2x + 1 = 2 \implies 2x = 1 \implies \mathbf{x = 0.5} \]Risolvi: \( 2^{2x} - 6(2^x) = -8 \)
Nota che \( 2^{2x} = (2^x)^2 \). Sia \( u = 2^x \):
\[ u^2 - 6u + 8 = 0 \]Scomponi il trinomio in fattori:
\[ (u - 2)(u - 4) = 0 \implies u = 2, u = 4 \]Sostituisci nuovamente \( x \):
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