Domande e problemi sulla parabola con soluzioni dettagliate

Le intercette x sono l'intersezione della parabola con l'asse x, che sono punti sull'asse x e quindi le loro coordinate y sono uguali a 0. Pertanto, dobbiamo risolvere l'equazione:

\[ 0 = - x^2 + 2x + 3 \]

Scomponi in fattori il lato destro dell'equazione: \[ -(x - 3)(x + 1) = 0\]

Risolvi rispetto a x per trovare: \[ x = 3 \quad \text{e} \quad x = -1\]

L'intercetta y è l'intersezione della parabola con l'asse y, che è un punto sull'asse y e, pertanto, la sua coordinata x è uguale a 0.

L'intercetta y è: \( y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3 \)

Il vertice si trova scrivendo l'equazione della parabola in forma del vertice \(y = a(x - h)^2 + k \) completando il quadrato e identificando le coordinate del vertice \( h \) e \( k \).

Completa il quadrato: \[ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 \]

Vertice nel punto \[ (1 , 4) \]

Puoi verificare tutti i punti trovati sopra utilizzando il grafico di \[ y = - x^2 + 2 x + 3 \] mostrato di seguito.

I punti di intersezione sono le soluzioni del sistema di equazioni \[ 2x + 3y = 7 \quad \text{e} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 \].

Sostituisci \( - 2 x^2 + 2 x + 5 \) a \(y \) nell'equazione \( 2x + 3y = 7 \) per ottenere:

\[ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 \]

Scrivi l'equazione quadratica ottenuta sopra in forma standard:

\[ -6x^2 + 8x + 8 = 0 \]

Dividi tutti i termini dell'equazione per 2.

\[ -3x^2 + 4x + 4 = 0 \]

Soluzione rispetto a x:

\[ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 \]

Sostituisci x con le soluzioni precedenti in \( 2x + 3y = 7 \) per trovare y.

\[ x = 2 , y = 1 \quad \text{e} \quad x = -\frac{2}{3}, \quad y = \frac{25}{9} \]

I punti di intersezione sono:

\[ (2 , 1) \quad \text{e} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9} ) \].

Controlla la risposta graficamente qui sotto.

I punti di intersezione delle due parabole sono soluzioni del sistema di equazioni:

\[ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad \text{e} \quad y = x^2 - 4x + 1 \].

Sostituisci \( y \) con \( -(x - 3)^2 + 2 \) nella seconda equazione:

\[ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 \]

Sviluppa, raggruppa i termini simili e scrivi in forma standard:

\[ -2x^2 + 10x - 8 = 0 \]

Dividi tutti i termini per \( -2 \):

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Le soluzioni della suddetta equazione quadratica sono:

\[ x = 1 \quad \text{e} \quad x = 4 \]

Usa una delle equazioni per trovare y:

\( x = 1 \) nell'equazione \(y = -(x - 3)^2 + 2 \) per ottenere \( y = -(1 - 3)^2 + 2 = -2 \)

\( x = 4 \) nell'equazione \( y = -(x - 3)^2 + 2 \) per ottenere \( y = -(4 - 3)^2 + 2 = 1 \)

I punti di intersezione sono: \[ (1 , -2) \quad \text{e} \quad (4 , 1) \]

Controlla la risposta graficamente qui sotto.

I punti \((-1,-5)\) e \((2,10) \) si trovano sul grafico della parabola \( y = 2 x^2 + b x + c\) e sono quindi soluzioni dell'equazione della parabola. Sostituendo con le coordinate dei due punti, otteniamo le equazioni:

\[ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c\] e \[10 = 2 (2)^2 + b (2) + c\]

Riscrivi il sistema precedente con le incognite \( b \) e \( c \) in forma standard.

\[ - b + c = - 7\]

\[ 2b + c = 2\]

Risolvi il sistema di equazioni per ottenere: \( c = - 4 \) e \( b = 3\)

L'equazione della parabola che passa per i punti \( (-1,-5)\) e \( (2,10)\) è data da: \[ y = 2 x^2 + b x + c = 2 x^2 + 3 x - 4\]

Usa un generatore di grafici per controllare la tua risposta tracciando il grafico di \( y = 2 x^2 + 3 x - 4 \) e verifica che il grafico passi per i punti \( (-1,-5) \) e \((2,10)\).

L'equazione di una parabola con intercette x in \( x = 2 \) e \( x = -3 \) può essere scritta come il prodotto di due fattori i cui zeri sono le intercette x come segue:

\[ y = a(x - 2)(x + 3) \]

Ora usiamo l'intercetta y in (0, 5), che è un punto attraverso il quale passa la parabola, per scrivere:

\[ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \]

Risolvi rispetto a \(a\):

\[ a = - \dfrac{5}{6} \]

Equazione: \[ y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\]

Rappresenta graficamente \( y = - \dfrac{5}{6} (x - 2)(x + 3)\) e verifica che il grafico abbia intercette x in \( x = 2 , x = -3 \) e un'intercetta y in \( y = 5\).

I punti \( (0,3), (1,-4) \) e \( (-1,4) \) si trovano sul grafico della parabola \( y = a x^2 + b x + c \) e sono quindi soluzioni dell'equazione della parabola. Pertanto, scriviamo il sistema di 3 equazioni come segue:

\[ (0,3) \Rightarrow c = 3 \quad (I) \]

\[ (1,-4) \Rightarrow a + b + c = -4 \quad (II) \]

\[ (-1,4) \Rightarrow a - b + c = 4 \quad (III) \]

L'equazione (I) dà:

\[ c = 3 \]

Sostituisci 3 a c nelle equazioni (II) e (III):

\[ a + b = -7 \]

\[ a - b = 1 \]

Risolvi il sistema rispetto ad \( a \) e \( b \) per ottenere:

\[a = - 3 \; , \; b = - 4 \]

L'equazione della parabola è data da: \[ y = a x^2 + b x + c = -3 x^2 - 4x + 3 \]

Rappresenta graficamente \( y = -3 x^2 - 4x + 3 \) e verifica che il grafico passi per i punti \( (0,3), (1,-4) \) e \( (-1 ,4) \).

L'equazione della parabola, con asse di simmetria verticale, ha la forma \( y = a x^2 + b x + c \) o in forma del vertice \( y = a(x - h)^2 + k \) dove il vertice si trova nel punto \( (h , k)\).

In questo caso è tangente a una retta orizzontale \( y = 3 \) in \( x = -2 \), il che significa che il suo vertice si trova nel punto \( (h , k) = (-2 , 3) \). Pertanto, l'equazione di questa parabola può essere scritta come:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x - (-2))^2 + 3 = a(x + 2)^2 + 3 \]

Il suo grafico passa per il punto \( (0 , 5) \) che deve soddisfare l'equazione:

\[ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 = 4 a+ 3 \]

Risolvi l'equazione precedente rispetto ad \( a \):

\[ a = \dfrac{1}{2} \]

L'equazione della parabola è data da: \[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 \]

Traccia i grafici di \( y = \dfrac{1}{2} (x + 2)^2 + 3 \) e verifica che il grafico sia tangente alla retta orizzontale \( y = 3 \) in \( x = -2 \) e che passi anche per il punto \( (0 , 5) \).

Una retta e una parabola sono tangenti se hanno un solo punto di intersezione, che è il punto di tangenza. I punti di intersezione si trovano risolvendo il sistema:

\( y = m x - 3 \quad \text{e} \quad y = 3 x^2 - x \)

Sostituisci \( y \) con \( m x - 3 \) nella seconda equazione:

\[ mx - 3 = 3 x^2 - x \]

Scrivi come equazione quadratica standard:

\[ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 \]

Il discriminante della suddetta equazione quadratica è dato da:

\[ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) \]

La retta è tangente alla parabola se hanno un solo punto di intersezione, il che significa se:

\[\Delta = 0 \]

Da cui l'equazione:

\[(1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 \]

risolvi rispetto a \( m \):

\[(1 + m)^2 = 36 \]

Le soluzioni sono: \[ m = 5 \quad \text{e} \quad m = -7 \]

Usa un generatore di grafici per controllare la tua risposta tracciando i grafici delle rette: \( y = 5 x - 3 \) (soluzione \( m = 5 \)), \( y = -7 x - 3 \) (soluzione \( m = -7 \)) e della parabola \( y = 3 x^2 - x\), e verifica che le due rette siano tangenti al grafico della parabola \( y = 3 x^2 - x\).

I punti di intersezione si trovano risolvendo il sistema:

\[ y = 2 x + b \quad \text{e} \quad y = - x^2 - 2x + 1 \]

Sostituisci \( y \) con \( 2 x + b \) nella seconda equazione:

\[ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \]

Scrivi come equazione quadratica standard:

\[ - x^2 - 4x + 1 - b = 0 \]

Il discriminante della suddetta equazione è dato da:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4(-1)(1 - b) = 20 - 4b \]

I grafici di \( y = 2 x + b \) e \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) hanno due punti di intersezione se \( \Delta \gt 0 \) (caso di due soluzioni reali di un'equazione quadratica), da cui la disuguaglianza:

\[ 20 - 4 b \gt 0 \]

Risolvi rispetto a \( b \):

\[ b \lt 5 \]

Usa un generatore di grafici per controllare la tua risposta tracciando i grafici di \( y = - x^2 - 2 x + 1 \) e delle rette di equazione \( y = 2 x + b \) per valori di \( b \gt 5 \), \( b \lt 5 \) e \( b = 5 \) per vedere quanti punti di intersezione tra la parabola e la retta ci sono per ciascuno di questi valori di \( b \).

I punti di intersezione si trovano risolvendo il sistema:

\[ y = a x^2 + x \quad \text{e} \quad y = 3 x + 1 \]

Sostituisci \( y \) con \( 3 x + 1 \) nell'equazione \( y = a x^2 + x \):

\[ 3 x + 1 = a x^2 + x \]

Scrivi come equazione quadratica standard:

\[ a x^2 - 2 x - 1 = 0 \]

Discriminante dell'equazione quadratica: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4 a \]

I grafici sono tangenti se hanno un punto di intersezione (caso di un'unica soluzione di un'equazione quadratica) se \( \Delta = 0 \). Da cui:

\[ 4 + 4 a = 0 \]

Risolvi rispetto a \(a\):

\[ a = -1 \]

Equazione della parabola: \[ y = -x^2 + x \]

Rappresenta graficamente \( y = - x^2 + x \) e \( y = 3 x + 1 \) per verificare la risposta sopra.

Parti da: \[ y = x^2 \]

Trasla di 3 unità a sinistra: \[ y = (x + 3)^2 \]

Rifletti rispetto all'asse x: \[ y = -(x + 3)^2 \]

Trasla di 4 unità verso l'alto: \[ y = -(x + 3)^2 + 4 \]

Dato: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 \]

Riscrivi in forma del vertice completando il quadrato: \[ y = - x^2 + 4 x + 6 = - (x - 2)^2 + 10\]

Inizio: \[ y = x^2\]

Trasla di 2 unità a destra: \[ y = (x - 2)^2\]

Rifletti rispetto all'asse x: \[ y = -(x - 2)^2 \]

Trasla di 10 unità verso l'alto: \[ y = -(x - 2)^2 + 10 \]

Qualsiasi punto identificato sul grafico dato può essere utilizzato per trovare l'equazione della parabola. Tuttavia, l'uso delle intercette x e y e del vertice sono i modi migliori per trovare l'equazione della parabola il cui grafico è mostrato sotto.

Vengono presentati due metodi per risolvere il problema:

Metodo 1:

Il grafico ha due intercette x: (-5, 0) e (-1, 0)

Usa le due intercette x in (-5, 0) e (-1, 0) per scrivere l'equazione della parabola come prodotto di due fattori lineari:

\[ y = a(x + 1)(x + 5)\]

Usa l'intercetta y in (0, -5) per scrivere:

\[ - 5 = a(0 + 1)(0 + 5) = 5 a\]

Risolvi rispetto a \(a \):

\[ a = -1 \]

Scrivi l'equazione della parabola:

\[ y = -(x + 1)(x + 5) = - x^2 - 6 x - 5 \]

Metodo 2:

Usa il vertice in \( ( h , k) = (-3 , 4) \) per scrivere l'equazione della parabola in forma del vertice come segue:

\[ y = a(x - h)^2 + k = a(x + 3)^2 + 4 \]

Usa l'intercetta y (0, -5) per trovare \(a\).

\[ - 5 = a(0 + 3)^2 + 4 \]

Risolvi l'equazione precedente rispetto a \(a\): \[ a = -1 \]

L'equazione della parabola è data da:

\[ y = -(x + 3)^2 + 4 = - x^2 -6 x - 5 \]