Come si semplificano le espressioni razionali? Le regole di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione delle espressioni razionali vengono utilizzate per semplificare frazioni algebriche complesse. Di seguito sono presentati esempi per l'11º anno insieme a soluzioni dettagliate passo dopo passo.
Suggerimento: Puoi utilizzare il nostro calcolatore online per semplificare le espressioni razionali per verificare i tuoi risultati finali.
In caso di difficoltà, rivedi i tutorial su Addizione e sottrazione e Moltiplicazione e divisione prima di iniziare.
| Addizione e sottrazione (Richiede un denominatore comune) |
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \] |
| Moltiplicazione | \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \] |
| Divisione (Moltiplica per il reciproco) |
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \] |
Semplifica: \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Semplifichiamo prima il numeratore \( \dfrac{2}{3} + 5 \). Converti a un denominatore comune.
\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Cambia 4 in una frazione \( \dfrac{4}{1} \) e semplifica dividendo le frazioni (moltiplicando per il reciproco).
\[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Moltiplica le frazioni.
\[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \]
Converti a un denominatore comune e addiziona.
\[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \mathbf{\dfrac{23}{12}} \]
Semplifica: \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]
Semplifichiamo prima il numeratore convertendo al minimo comune denominatore \( (x - 2)(x + 1) \).
\[ = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} \]
\[ = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\]
Applica la regola della divisione moltiplicando per il reciproco del denominatore.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \]
Semplifica cancellando i fattori comuni.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{x-2}\]
Sviluppa e semplifica il numeratore.
\[ = \dfrac{(x^2+2x+1) + (x^2-2x)}{x-2} = \mathbf{\dfrac{2x^2+1}{x-2}} \;\; \text{per} \;\; x \ne -1\]
Semplifica: \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Converti i termini del numeratore allo stesso denominatore.
\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3(3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Sviluppa e semplifica la parte superiore.
\[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Moltiplica per il reciproco.
\[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \]
Raccogli le costanti a fattor comune per trovare cancellazioni comuni.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \]
Cancella \( (3x+2) \) e moltiplica.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \]
Converti allo stesso denominatore e combina.
\[ = \dfrac{10(2x+1)}{x+1} - 2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{20x + 10 - 2x - 2}{x+1} = \dfrac{18x+8}{x+1} = \mathbf{\dfrac{2(9x+4)}{x+1}} \]
Semplifica: \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]
Inizia dalla frazione più interna e procedi verso l'alto. Converti i termini in \( x + \dfrac{1}{x+1} \) allo stesso denominatore.
\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \]
Nota che \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} \) è il reciproco \( \dfrac{B}{A} \).
\[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Converti i restanti termini del denominatore in un denominatore comune.
\[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Semplifica e addiziona.
\[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}}\]
Prendi il reciproco finale.
\[ = \mathbf{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}} \]
Semplifica le seguenti espressioni. Clicca su "Mostra la soluzione" per verificare le tue risposte.
Problema: \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
Risposta: \( \dfrac{353}{60} \)
Problema: \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
Risposta: \( 4(x-1) \)
Problema: \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
Risposta: \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)} \)
Problema: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
Risposta: \( \dfrac{ (x+2)(x-5)}{3(x+1)} \)
Problema: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
Risposta: \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
Problema: \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)
Risposta: \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)
Sfida 1: Semplifica una frazione complessa che richiede la scomposizione in fattori di polinomi.
\[ \dfrac{ \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} }{ \dfrac{x+3}{x-2} } \]
Passo 1: Applica la regola della divisione (moltiplica per il reciproco).
\[ = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Passo 2: Scomponi in fattori numeratori e denominatori. Nota la differenza di quadrati e il trinomio quadrato perfetto.
\[ = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Passo 3: Cancella i fattori comuni \( (x+3) \) e \( (x-2) \).
\[ = \dfrac{(x-3){\cancel{(x+3)}}}{(x-2){\cancel{(x-2)}}} \cdot \dfrac{\cancel{x-2}}{\cancel{x+3}} \]
Risposta: \( \mathbf{\dfrac{x-3}{x-2}} \)
Sfida 2: Addiziona e sottrai espressioni razionali con denominatori quadratici.
\[ \dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} \]
Passo 1: Scomponi in fattori tutti i denominatori per trovare il Minimo Comune Denominatore (mcd). Qui, \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \).
Il mcd è \( (x-1)(x+1) \).
Passo 2: Riscrivi ciascuna frazione con il mcd.
\[ \dfrac{2x}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Passo 3: Combina su un unico denominatore. Fai attenzione a distribuire il segno meno!
\[ = \dfrac{2x - (x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Passo 4: Sviluppa e combina i termini simili al numeratore.
\[ = \dfrac{2x - x - 1 + 3x - 3}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{4x - 4}{(x-1)(x+1)} \]
Passo 5: Scomponi in fattori il numeratore per vedere se qualcos'altro si semplifica.
\[ = \dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Risposta: \( \mathbf{\dfrac{4}{x+1}} \)
Sfida 3: Semplifica una frazione continua multilivello.
\[ 2 - \dfrac{1}{2 - \dfrac{1}{2 - x}} \]
Passo 1: Semplifica il denominatore più interno \( 2 - \dfrac{1}{2 - x} \).
\[ 2 \cdot \dfrac{2-x}{2-x} - \dfrac{1}{2-x} = \dfrac{4 - 2x - 1}{2-x} = \dfrac{3 - 2x}{2-x} \]
Passo 2: Sostituisci questo risultato nell'equazione principale. Ricorda che \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{B}{A} \).
\[ 2 - \dfrac{1}{\dfrac{3 - 2x}{2-x}} = 2 - \dfrac{2-x}{3-2x} \]
Passo 3: Trova un denominatore comune per combinare i termini finali.
\[ = \dfrac{2(3-2x)}{3-2x} - \dfrac{2-x}{3-2x} = \dfrac{6 - 4x - (2 - x)}{3-2x} \]
Passo 4: Combina i termini simili.
\[ = \dfrac{6 - 4x - 2 + x}{3-2x} \]
Risposta: \( \mathbf{\dfrac{4 - 3x}{3 - 2x}} \)