Problemi di trigonometria per l'11º anno con soluzioni

a) Sia \( P \) la posizione del passeggero (vedi figura sotto).

L'altezza \( h \) del passeggero è data da:

\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]

Qui, \( y \) dipende dall'angolo di rotazione \( A \). Usando la trigonometria, scriviamo:

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{raggio}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]

L'angolo \( A \) dipende dalla velocità angolare \( \omega \) come segue: \( A = \omega t \).

La velocità angolare \( \omega \) è data da:

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ radianti/secondo} \]

Sostituendo nell'espressione dell'altezza, troviamo:

\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]

dove \( t \) è in secondi e l'altezza è in metri.

b) Per trovare l'altezza a \( t = 45 \) secondi:

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \]

\[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = \mathbf{26 \text{ metri}} \]

Usando la figura sottostante,

Scriviamo le seguenti equazioni basate sui triangoli rettangoli formati:

\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{e} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]

dove \( h \) è l'altezza dell'albero. Risolvendo entrambe le equazioni rispetto a \( x \), otteniamo:

\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{e} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

Uguagliando le due espressioni per \( x \):

\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

Risolvendo rispetto a \( h \):

\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = \mathbf{46.7 \text{ metri}} \]

Usando la figura sottostante, scriviamo le seguenti equazioni basate sulle relazioni trigonometriche:

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{e} \quad \tan(90^\circ - 13^\circ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

Elimina \( y \) dalle due equazioni e risolvi rispetto a \( x \):

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = \mathbf{119.9 \text{ metri}} \]

Siano \( R_1 \) ed \( R_2 \) i raggi dell'ingranaggio 1 e dell'ingranaggio 2. Siano \( S_1 \) ed \( S_2 \) gli archi di rotazione rispettivamente dell'ingranaggio 1 e dell'ingranaggio 2. Poiché gli ingranaggi collegati hanno velocità tangenziale uguale (misurata in pollici al secondo), gli archi \( S_1 \) ed \( S_2 \) hanno la stessa lunghezza.

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

Qui, \( t_1 \) e \( t_2 \) sono rispettivamente gli angoli di rotazione dell'ingranaggio più grande e di quello più piccolo.

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \]

\[ t_1 = 356^\circ \]

La velocità angolare viene calcolata come:

\[ \text{Velocità angolare} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ secondi}} = 89^\circ \text{ al secondo} \]

\[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1} = \mathbf{5340^\circ \text{ al minuto}} \]

La scala, il muro e il terreno formano un triangolo rettangolo. Pertanto,

a) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) oppure \( \mathbf{x = 20 \sin(t)} \)

b) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \)

Sostituisci nell'equazione: \( 5 = 20 \sin(t) \Rightarrow \sin(t) = \dfrac{1}{4} \)

Risolvi rispetto a \( t \): \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{14.48^\circ} \]

Parti dal lato destro:

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \]

Sviluppa \( \sin(x + 2x) \):

\[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]

---

Ora sviluppa il prodotto sul lato sinistro:

\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \]

\[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]

Usa le identità \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) e \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) per trasformare il primo e l'ultimo termine:

\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

I termini \( 2\cos(x)\sin^2(x) \) si eliminano a vicenda:

\[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

Il lato sinistro è stato trasformato in modo da coincidere con il lato destro. La dimostrazione è completa.

Sviluppa e semplifica la prima equazione usando le identità di cofunzione:

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \mathbf{\sin(x) = -\dfrac{3}{5}} \]

Sviluppa e semplifica la seconda equazione:

\[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

Ora calcola \( \tan(x) \):

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \]

La formula di addizione per la tangente può essere applicata al contrario qui:

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \]

\[ = \tan(75^\circ) \]

\[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \]

Sviluppa usando gli angoli speciali:

\[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \]

\[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]

Moltiplica numeratore e denominatore per 3:

\[ = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]

Razionalizza il denominatore:

\[ = \mathbf{\sqrt{3} + 2} \]

Dati \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \) e \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \) e i rispettivi quadranti, usa l'identità pitagorica per trovare \( \cos(s) \) e \( \cos(t) \).

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{e} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Ora sviluppiamo la formula di addizione della tangente usando seno e coseno:

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \]

\[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

Sostituisci i valori:

\[ = \dfrac{ (\dfrac{1}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(-\dfrac{1}{2}) }{ (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) - (\dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{2}) } \]

\[ = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{8} + \dfrac{\sqrt{15}}{8}}{-\dfrac{\sqrt{45}}{8} + \dfrac{1}{8}} \]

Moltiplica per 8 e semplifica \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \):

\[ = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{1 - 3\sqrt{5}} \]

Razionalizzando il denominatore si ottiene:

\[ = \mathbf{-\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11}} \]

Prima, riduci l'angolo a un quadrante noto:

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

Ora applica la formula dell'angolo metà poiché \( \dfrac{\pi}{12} \) è la metà di \( \dfrac{\pi}{6} \):

\[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \]

Sostituisci \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \):

\[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \]

\[ = \mathbf{-\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}}} \]

La funzione \( f \) è data nella forma:

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

Questo rappresenta uno spostamento verticale del grafico di \( g(x) \) verso l'alto di 2 unità. Ci viene dato il valore \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Sostituisci \( x = \dfrac{\pi}{2} \) nella funzione:

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

Usando il valore noto \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \), otteniamo:

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \]

\[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

Equazione finale:

\[ \mathbf{f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2} \]

La forma generale della funzione è data da:

\[ y = A \sin(Bx - C) + D \]

Dal problema sappiamo: Ampiezza \( A = 5/3 \), Spostamento verticale \( D = 4 \) e Sfasamento \( C = 0 \).

Ci viene detto che il periodo è \( \pi/2 \). La relazione tra periodo e \( B \) è:

\[ \text{Periodo} = \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

Risolvendo rispetto a \( B \):

\[ B = 4 \]

Sostituisci \( A \), \( B \) e \( D \) nella funzione:

\[ \mathbf{y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4} \]

Per trovare la lunghezza del lato \( a \), applichiamo la regola del coseno:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

\[ a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \]

\[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \approx 5.963 \]

Successivamente, usiamo la regola del seno per trovare l'angolo \( B \):

\[ \dfrac{\sin(B)}{b} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{5.963} \]

Risolvendo rispetto all'angolo \( B \), otteniamo:

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{5.963} \right) \approx \mathbf{29^\circ} \text{ (arrotondato al grado più vicino)} \]

Nota che:

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \quad (225 = 144 + 81) \]

Questo significa che il triangolo in questione è un triangolo rettangolo. L'angolo maggiore è esattamente \( \mathbf{90^\circ} \).

Sia l'angolo \( A \) l'angolo opposto al lato di lunghezza 9. Usando SOH CAH TOA:

\[ \sin(A) = \dfrac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}} = \dfrac{9}{15} \]

L'angolo \( A \) è circa \( \mathbf{37^\circ} \) (arrotondato al grado più vicino).

Il terzo angolo è:

\[ 90^\circ - 37^\circ = \mathbf{53^\circ} \]

Passo 1: Usa l'identità pitagorica \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) per scrivere l'equazione interamente in termini di seno.

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) = 1 \]

\[ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 1 \]

Passo 2: Sposta tutti i termini su un lato per formare un'equazione quadratica standard uguale a zero.

\[ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

Passo 3: Scomponi in fattori l'espressione quadratica. Tratta \( \sin(x) \) come una variabile.

\[ (2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \]

Passo 4: Risolvi ciascun fattore rispetto a \( x \) nell'intervallo \( [0, 2\pi) \).

Caso 1: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -1/2 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \]

Caso 2: \( \sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \]

Risposta: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}} \)

Passo 1: Combina le due frazioni trovando un denominatore comune, che è \( \sin(x)\cos(x) \).

\[ \dfrac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Passo 2: Nota che il numeratore è esattamente la forma sviluppata dell'identità della differenza del seno: \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).

\[ = \dfrac{\sin(3x - x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

\[ = \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Passo 3: Applica l'identità dell'angolo doppio per il seno al numeratore: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Passo 4: Cancella i termini comuni.

Risposta: \( \mathbf{2} \)

Passo 1: Per trovare l'area usando \( \text{Area} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) \), dobbiamo prima trovare l'angolo \( C \). A tal fine possiamo usare la regola del coseno.

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(C) \]

\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos(C) \]

\[ 64 = 74 - 70\cos(C) \]

\[ -10 = -70\cos(C) \Rightarrow \cos(C) = \dfrac{1}{7} \]

Passo 2: Ora usa l'identità pitagorica per trovare \( \sin(C) \). Poiché \( C \) è un angolo in un triangolo, \( \sin(C) \) deve essere positivo.

\[ \sin(C) = \sqrt{1 - \cos^2(C)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^2} \]

\[ \sin(C) = \sqrt{\dfrac{48}{49}} = \dfrac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \]

Passo 3: Calcola l'area.

\[ \text{Area} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) = \dfrac{1}{2}(5)(7)\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right) \]

I 7 si elidono e \( \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \).

\[ \text{Area} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{10\sqrt{3}} \]