Vettori 3D (R³): Guida completa e operazioni

Cos'è un vettore?

Un vettore è una quantità che possiede sia un modulo (o intensità) che una direzione. È rappresentato geometricamente da un segmento di retta la cui lunghezza corrisponde al modulo e da una freccia che indica la sua direzione, come mostrato nella figura sottostante. I vettori sono usati in fisica per modellare grandezze dotate di grandezza e direzione, come velocità, forze, accelerazioni; in ingegneria, chimica, computer grafica, robotica e molti altri campi.

Nella figura sopra, il vettore è definito utilizzando un punto iniziale A e un punto terminale B. Pertanto il vettore può essere denotato come \( \vec{AB} \).

Vettori equivalenti

I vettori con moduli uguali e stessa direzione sono vettori equivalenti, indipendentemente dalla loro posizione nello spazio.

Operazioni geometriche con i vettori

Somma di due vettori

Dati due vettori \( \vec{v_1} \) e \( \vec{v_2} \), la loro somma è un vettore ottenuto posizionando dapprima il vettore \( \vec{v_2} \) in modo che il suo punto iniziale coincida con il punto terminale di \( \vec{v_1} \). La somma \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) è il vettore il cui punto iniziale è il punto iniziale di \( \vec{v_1} \) e il cui punto terminale è il punto terminale di \( \vec{v_2} \).

Nota che \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \). Inoltre, la somma di due vettori coincide con la diagonale del parallelogramma determinato da \( \vec{v_1} \) e \( \vec{v_2} \).

Differenza di due vettori

Dati due vettori \( \vec{v_1} \) e \( \vec{v_2} \), la differenza \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) può essere definita come una somma \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \) e rappresentata geometricamente come mostrato di seguito.

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Un vettore \( \vec{v_1} \) moltiplicato per uno scalare \( k \) è definito come un vettore \( k\vec{v_1} \) parallelo a \( \vec{v_1} \) e la cui direzione è la stessa di \( \vec{v_1} \) se \( k \gt 0 \) e opposta se \( k \lt 0 \). Il modulo (lunghezza) di \( k\vec{v_1} \) è pari a \( | k | \) volte il modulo di \( \vec{v_1} \).

La figura sottostante mostra i vettori \( \vec{v_1} \), \( 2\vec{v_1} \) e \( -3 \vec{v_1} \).

Vettori in un sistema di coordinate cartesiane 3D

Un vettore unitario è un vettore con un modulo pari a 1. Di seguito viene mostrato un sistema di coordinate cartesiane 3D con i vettori unitari \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) e \(\vec{k} \) nella direzione positiva rispettivamente degli assi x, y e z. I vettori \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) e \(\vec{k} \) possono essere definiti tramite le loro componenti come segue:

• \(\vec{i} = \langle 1 , 0 , 0 \rangle\), un'unità lungo l'asse x.
• \(\vec{j} = \langle 0 , 1 , 0 \rangle\), un'unità lungo l'asse y.
• \(\vec{k} = \langle 0 , 0 , 1 \rangle\), un'unità lungo l'asse z.

Componenti di un vettore

Le componenti di un qualsiasi vettore \(\vec{v} \) sono definite esprimendo \(\vec{v} \) come una somma di multipli dei vettori unitari \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) e \(\vec{k} \) nel modo seguente:

O in forma di componenti usando le parentesi angolari come segue:

Le componenti di un vettore \(\vec{v} \) definito dal suo punto iniziale \( A = (x_1 , y_1 , z_1) \) e dal suo punto terminale \( B = (x_2 , y_2 , z_2) \) sono date da:

Calcolo del modulo e dei vettori unitari

Dato il vettore \( \vec{v} = \langle a, b, c \rangle \), il suo modulo (o lunghezza) è dato da:

Il vettore unitario \( \vec{u} \), definito come un vettore di modulo pari a 1, nella stessa direzione di \( \vec{v} \) è dato da:

Somma, differenza e moltiplicazione per uno scalare algebriche

Dati i vettori \( \vec{v_1} = \langle a_1, b_1, c_1 \rangle \) e \( \vec{v_2} = \langle a_2, b_2, c_2 \rangle \), la somma \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \), la differenza \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \) e la moltiplicazione per uno scalare \( k \vec{v_1} \) (dove k è un numero reale) sono date da: